Matematica

Equazioni di secondo grado: esercizi svolti dal facile al difficile

Come si risolve un'equazione di secondo grado con la formula risolutiva, passo per passo, e quattro esercizi svolti di difficoltà crescente con soluzione verificata.

Consigliato per: 2ª superiore

Un’equazione di secondo grado nella forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) si risolve con la formula risolutiva: x = (−b ± √Δ) / 2a, dove Δ = b² − 4ac è il discriminante. Il segno di Δ ti dice subito quante soluzioni aspettarti.

Il discriminante decide tutto

Prima ancora di calcolare le soluzioni, guarda il discriminante Δ = b² − 4ac:

  • se Δ > 0 ci sono due soluzioni reali distinte;
  • se Δ = 0 c’è una sola soluzione (due coincidenti), x = −b / 2a;
  • se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali.

I tre passaggi

Il metodo è sempre lo stesso. Prima porti l’equazione in forma ordinata ax² + bx + c = 0 e identifichi a, b, c con il loro segno. Poi calcoli Δ e ne fai la radice. Infine applichi la formula, tenendo separati i due casi ± per ottenere le due soluzioni.

Negli esercizi qui sotto trovi lo stesso schema applicato a difficoltà crescente: si parte da coefficienti semplici con a = 1 e si arriva a un’equazione con a ≠ 2 da gestire con attenzione. Ogni soluzione è verificata sostituendo i valori trovati nell’equazione di partenza.

Esercizi svolti

1. Risolvi: x² − 5x + 6 = 0 base

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  1. Identifico i coefficienti: a = 1, b = −5, c = 6.
  2. Calcolo il discriminante: Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1.
  3. Δ > 0, quindi due soluzioni reali distinte. √Δ = 1.
  4. x = (−b ± √Δ) / 2a = (5 ± 1) / 2.
  5. x₁ = 6/2 = 3 ; x₂ = 4/2 = 2.

Risultato: x = 2 ; x = 3

2. Risolvi: x² − 7x + 10 = 0 base

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  1. a = 1, b = −7, c = 10.
  2. Δ = 49 − 40 = 9 ; √Δ = 3.
  3. x = (7 ± 3) / 2.
  4. x₁ = 10/2 = 5 ; x₂ = 4/2 = 2.

Risultato: x = 2 ; x = 5

3. Risolvi: x² + 2x − 8 = 0 intermedio

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  1. a = 1, b = 2, c = −8.
  2. Δ = 4 + 32 = 36 ; √Δ = 6.
  3. x = (−2 ± 6) / 2.
  4. x₁ = 4/2 = 2 ; x₂ = −8/2 = −4.

Risultato: x = 2 ; x = −4

4. Risolvi: 2x² − 4x − 6 = 0 avanzato

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  1. a = 2, b = −4, c = −6.
  2. Δ = 16 + 48 = 64 ; √Δ = 8.
  3. x = (4 ± 8) / 4.
  4. x₁ = 12/4 = 3 ; x₂ = −4/4 = −1.

Risultato: x = −1 ; x = 3

Domande frequenti

Quando un'equazione di secondo grado non ha soluzioni reali?

Quando il discriminante Δ = b² − 4ac è negativo: in quel caso le soluzioni sono complesse coniugate, non reali.

Cosa succede se il discriminante è uguale a zero?

Se Δ = 0 l'equazione ha una sola soluzione reale (due soluzioni coincidenti), pari a x = −b / 2a.

Serve sempre la formula risolutiva?

No. Se manca il termine noto o quello di primo grado, conviene il raccoglimento o la radice diretta; la formula risolutiva è il metodo generale che funziona sempre.