Matemáticas
Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado
Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado paso a paso: la fórmula general, el discriminante y los casos incompletos, con 9 ejercicios resueltos.
Recomendado para: 3º ESO · 4º ESO
Una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √Δ) / 2a, donde Δ = b² − 4ac es el discriminante. El signo de Δ indica de inmediato cuántas soluciones esperar.
Los cuatro pasos de la fórmula general
El método no cambia nunca:
- Ordena la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0, con todo a un lado y el cero al otro.
- Identifica a, b, c con su signo. En x² − 5x + 6 = 0 son a = 1, b = −5, c = 6: el signo menos forma parte del coeficiente y arrastrarlo mal es el error más común.
- Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac y su raíz.
- Aplica la fórmula x = (−b ± √Δ) / 2a separando los dos casos del ±.
Conviene sustituir las soluciones en la ecuación original: si los dos lados dan cero, el resultado es correcto.
El discriminante lo decide todo
Antes de calcular las soluciones, el signo de Δ = b² − 4ac ya dice qué vas a encontrar:
| Discriminante | Soluciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dos soluciones reales distintas | x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 ; x = 3 |
| Δ = 0 | una sola solución (raíz doble) | x² − 6x + 9 = 0 → x = 3 |
| Δ < 0 | ninguna solución real | x² + x + 1 = 0 → Δ = −3 |
Calcular Δ antes que todo lo demás ahorra trabajo: con Δ negativo el ejercicio ya está terminado.
Las ecuaciones incompletas: más rápidas sin la fórmula
Cuando falta un término, la fórmula general funciona pero es el camino largo:
| Forma | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| ax² + c = 0 (falta bx) | despejar x² y raíz con los dos signos | x² − 9 = 0 → x = ±3 |
| ax² + bx = 0 (falta c) | sacar factor común x | 3x² − 12x = 0 → x = 0 ; x = 4 |
| ax² = 0 | solución única | 5x² = 0 → x = 0 |
En el segundo caso hay una trampa: dividir los dos miembros por x hace desaparecer la solución x = 0. Siempre se saca factor común, nunca se divide por la incógnita.
Cómo despejar la x cuando la ecuación no está ordenada
Muchos enunciados dan la ecuación en otra forma, por ejemplo x² = 5x − 6 o (x + 1)(x − 3) = 0. Antes de aplicar cualquier método hay que llevar todo a un lado: x² − 5x + 6 = 0. Si el enunciado ya está factorizado, como en el segundo caso, es aún más rápido: cada factor igualado a cero da una solución, x = −1 y x = 3.
Ejercicios resueltos
1. Resuelve: x² − 5x + 6 = 0 base
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- Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
- Discriminante: Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1 ; √Δ = 1.
- x = (5 ± 1) / 2.
- x₁ = 3 ; x₂ = 2.
Resultado: x = 2 ; x = 3
2. Resuelve: x² − 7x + 10 = 0 base
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- a = 1, b = −7, c = 10.
- Δ = 49 − 40 = 9 ; √Δ = 3.
- x = (7 ± 3) / 2.
- x₁ = 5 ; x₂ = 2.
Resultado: x = 2 ; x = 5
3. Resuelve: x² + 2x − 8 = 0 intermedio
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- a = 1, b = 2, c = −8.
- Δ = 4 + 32 = 36 ; √Δ = 6.
- x = (−2 ± 6) / 2.
- x₁ = 2 ; x₂ = −4.
Resultado: x = 2 ; x = −4
4. Resuelve: 2x² − 4x − 6 = 0 avanzato
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- a = 2, b = −4, c = −6.
- Δ = 16 + 48 = 64 ; √Δ = 8.
- x = (4 ± 8) / 4.
- x₁ = 3 ; x₂ = −1.
Resultado: x = −1 ; x = 3
5. Resuelve: x² − 9 = 0 base
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- Falta el término en x: es una ecuación incompleta, no hace falta la fórmula general.
- Despejo x²: x² = 9.
- Extraigo la raíz recordando los DOS signos: x = ±√9.
- x₁ = 3 ; x₂ = −3.
Resultado: x = 3 ; x = −3
6. Resuelve: 3x² − 12x = 0 base
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- Falta el término independiente: saco factor común x.
- 3x² − 12x = 3x(x − 4) = 0.
- Un producto es cero si lo es uno de los factores: 3x = 0 o x − 4 = 0.
- x₁ = 0 ; x₂ = 4. La solución x = 0 se pierde si se divide todo por x: nunca hay que hacerlo.
Resultado: x = 0 ; x = 4
7. Resuelve: x² − 6x + 9 = 0 intermedio
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- a = 1, b = −6, c = 9.
- Δ = 36 − 36 = 0: el discriminante es nulo, así que hay una sola solución.
- Con Δ = 0 la fórmula se reduce a x = −b / 2a = 6 / 2.
- x = 3 (raíz doble). De hecho x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Resultado: x = 3 (raíz doble)
8. Resuelve: x² + x + 1 = 0 intermedio
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- a = 1, b = 1, c = 1.
- Δ = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3.
- El discriminante es negativo, así que no existe la raíz cuadrada en los números reales.
- La ecuación no tiene soluciones reales (las dos soluciones son complejas conjugadas).
Resultado: Ninguna solución real (Δ = −3)
9. Resuelve: 2x² − 7x + 3 = 0 avanzato
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- a = 2, b = −7, c = 3. Aquí a ≠ 1, así que el denominador 2a vale 4.
- Δ = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25 ; √Δ = 5.
- x = (7 ± 5) / 4.
- x₁ = 12/4 = 3 ; x₂ = 2/4 = 1/2.
- Comprobación con x = 1/2: 2·(1/4) − 7·(1/2) + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0. Correcto.
Resultado: x = 1/2 ; x = 3
Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado incompleta?
Si falta el término independiente (ax² + bx = 0) se saca factor común x: x(ax + b) = 0, de donde x = 0 y x = −b/a. Si falta el término en x (ax² + c = 0) se despeja x² y se extrae la raíz con los dos signos: x = ±√(−c/a). En ningún caso hace falta la fórmula general, y en el primero no se debe dividir por x, porque se perdería la solución x = 0.
¿Cuándo una ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales?
Cuando el discriminante Δ = b² − 4ac es negativo: las soluciones son complejas conjugadas, no reales.
¿Qué ocurre si el discriminante es igual a cero?
Si Δ = 0 la ecuación tiene una única solución real (raíz doble), igual a x = −b / 2a.
¿Siempre hace falta la fórmula general?
No. Si falta el término independiente o el de primer grado, factorizar o la raíz directa es más rápido; la fórmula general es el método que siempre funciona.