Matematica

Ecuaciones de segundo grado: ejercicios resueltos de fácil a difícil

Cómo resolver una ecuación de segundo grado con la fórmula general, paso a paso, y cuatro ejercicios resueltos de dificultad creciente con solución verificada.

Recomendado para: 3º ESO · 4º ESO

Una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √Δ) / 2a, donde Δ = b² − 4ac es el discriminante. El signo de Δ indica de inmediato cuántas soluciones esperar.

El discriminante lo decide todo

Antes de calcular las soluciones, observa el discriminante Δ = b² − 4ac: si Δ > 0 hay dos soluciones reales distintas; si Δ = 0 hay una sola (raíz doble); si Δ < 0 no hay soluciones reales.

Los tres pasos

El método no cambia: se ordena la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0 y se identifican a, b, c con su signo; se calcula Δ y su raíz; se aplica la fórmula separando los dos casos ± para obtener ambas soluciones. Cada resultado está verificado sustituyendo las raíces en la ecuación original.

Ejercicios resueltos

1. Resuelve: x² − 5x + 6 = 0 base

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  1. Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
  2. Discriminante: Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1 ; √Δ = 1.
  3. x = (5 ± 1) / 2.
  4. x₁ = 3 ; x₂ = 2.

Resultado: x = 2 ; x = 3

2. Resuelve: x² − 7x + 10 = 0 base

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  1. a = 1, b = −7, c = 10.
  2. Δ = 49 − 40 = 9 ; √Δ = 3.
  3. x = (7 ± 3) / 2.
  4. x₁ = 5 ; x₂ = 2.

Resultado: x = 2 ; x = 5

3. Resuelve: x² + 2x − 8 = 0 intermedio

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  1. a = 1, b = 2, c = −8.
  2. Δ = 4 + 32 = 36 ; √Δ = 6.
  3. x = (−2 ± 6) / 2.
  4. x₁ = 2 ; x₂ = −4.

Resultado: x = 2 ; x = −4

4. Resuelve: 2x² − 4x − 6 = 0 avanzato

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  1. a = 2, b = −4, c = −6.
  2. Δ = 16 + 48 = 64 ; √Δ = 8.
  3. x = (4 ± 8) / 4.
  4. x₁ = 3 ; x₂ = −1.

Resultado: x = −1 ; x = 3

Preguntas frecuentes

¿Cuándo una ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales?

Cuando el discriminante Δ = b² − 4ac es negativo: las soluciones son complejas conjugadas, no reales.

¿Qué ocurre si el discriminante es igual a cero?

Si Δ = 0 la ecuación tiene una única solución real (raíz doble), igual a x = −b / 2a.

¿Siempre hace falta la fórmula general?

No. Si falta el término independiente o el de primer grado, factorizar o la raíz directa es más rápido; la fórmula general es el método que siempre funciona.