Matematica

Sistemi di equazioni: esercizi svolti con sostituzione e riduzione

Come si risolve un sistema di due equazioni di primo grado con il metodo di sostituzione e con quello di riduzione, passo per passo, e cinque esercizi svolti di difficolta crescente con soluzione verificata.

Consigliato per: 2ª superiore

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite si risolve trovando la coppia (x, y) che soddisfa contemporaneamente entrambe le equazioni. I due metodi principali sono la sostituzione e la riduzione (o eliminazione): portano allo stesso risultato, cambia solo la strada.

Sostituzione o riduzione?

Con la sostituzione ricavi un’incognita da un’equazione e la metti al posto suo nell’altra: cosi resti con una sola equazione in una sola incognita. Conviene quando una delle due equazioni ha gia un’incognita isolata o con coefficiente 1.

Con la riduzione sommi o sottrai le due equazioni, dopo averle eventualmente moltiplicate per un numero, in modo da far sparire un’incognita. E la via piu rapida quando i coefficienti si possono rendere opposti.

Un solo controllo alla fine

Trovata la coppia (x, y), sostituiscila in entrambe le equazioni di partenza: devono risultare vere tutte e due. Negli esercizi qui sotto si parte da sistemi con un’incognita gia isolata e si arriva a un sistema che richiede di moltiplicare entrambe le equazioni prima di ridurle. Ogni soluzione e verificata sostituendo i valori trovati.

Esercizi svolti

1. Risolvi il sistema: x + y = 5 ; y = x + 1 base

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  1. La seconda equazione ha gia y isolata: y = x + 1.
  2. Sostituisco nella prima: x + (x + 1) = 5.
  3. Semplifico: 2x + 1 = 5, quindi 2x = 4 e x = 2.
  4. Ricavo y: y = x + 1 = 2 + 1 = 3.

Risultato: x = 2 ; y = 3

2. Risolvi il sistema: x + y = 10 ; x - y = 4 base

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  1. Uso la riduzione: sommo le due equazioni membro a membro.
  2. (x + y) + (x - y) = 10 + 4, cioe 2x = 14.
  3. Da cui x = 7.
  4. Sostituisco nella prima: 7 + y = 10, quindi y = 3.

Risultato: x = 7 ; y = 3

3. Risolvi il sistema: y = x - 4 ; 2x + y = 11 intermedio

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  1. La prima da y = x - 4: la sostituisco nella seconda.
  2. 2x + (x - 4) = 11, cioe 3x - 4 = 11.
  3. 3x = 15, quindi x = 5.
  4. Ricavo y: y = x - 4 = 5 - 4 = 1.

Risultato: x = 5 ; y = 1

4. Risolvi il sistema: 2x + 3y = 12 ; x - y = 1 intermedio

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  1. Uso la riduzione: moltiplico la seconda equazione per 3.
  2. Ottengo 3x - 3y = 3.
  3. Sommo con la prima: (2x + 3y) + (3x - 3y) = 12 + 3, cioe 5x = 15.
  4. x = 3; sostituisco nella seconda: 3 - y = 1, quindi y = 2.

Risultato: x = 3 ; y = 2

5. Risolvi il sistema: 3x + 2y = 4 ; 2x - 3y = 7 avanzato

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  1. Elimino y: moltiplico la prima per 3 e la seconda per 2.
  2. 9x + 6y = 12 e 4x - 6y = 14.
  3. Sommo: 13x = 26, quindi x = 2.
  4. Sostituisco nella prima: 3(2) + 2y = 4, cioe 6 + 2y = 4, 2y = -2, y = -1.

Risultato: x = 2 ; y = -1

Domande frequenti

Meglio il metodo di sostituzione o di riduzione?

Dipende dal sistema. La sostituzione conviene quando un'incognita e gia isolata o ha coefficiente 1; la riduzione e piu rapida quando i coefficienti si possono rendere opposti sommando o sottraendo le equazioni.

Cosa vuol dire che un sistema e impossibile o indeterminato?

Un sistema e impossibile quando non esiste alcuna coppia (x, y) che soddisfa entrambe le equazioni (rette parallele); e indeterminato quando ha infinite soluzioni (la stessa retta scritta in due modi).

Come faccio a essere sicuro che la soluzione sia giusta?

Sostituisci i valori di x e y trovati in entrambe le equazioni di partenza: devono risultare vere tutte e due. Se anche una sola non torna, c'e un errore nei calcoli.