Matematica

Sistemas de ecuaciones: ejercicios resueltos con sustitucion y reduccion

Como resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con el metodo de sustitucion y con el de reduccion, paso a paso, y cinco ejercicios resueltos de dificultad creciente con solucion verificada.

Recomendado para: 3º ESO · 4º ESO

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas se resuelve encontrando la pareja (x, y) que cumple a la vez las dos ecuaciones. Los dos metodos principales son la sustitucion y la reduccion (o eliminacion): llevan al mismo resultado, solo cambia el camino.

¿Sustitucion o reduccion?

Con la sustitucion despejas una incognita en una ecuacion y la colocas en su lugar en la otra: asi te queda una sola ecuacion con una sola incognita. Conviene cuando una de las dos ecuaciones ya tiene una incognita despejada o con coeficiente 1.

Con la reduccion sumas o restas las dos ecuaciones, tras multiplicarlas por un numero si hace falta, para que desaparezca una incognita. Es la via mas rapida cuando los coeficientes se pueden volver opuestos.

Una sola comprobacion al final

Una vez hallada la pareja (x, y), sustituyela en las dos ecuaciones originales: ambas deben resultar verdaderas. En los ejercicios de abajo se parte de sistemas con una incognita ya despejada y se llega a un sistema que exige multiplicar las dos ecuaciones antes de reducir. Cada solucion esta verificada sustituyendo los valores hallados.

Ejercicios resueltos

1. Resuelve el sistema: x + y = 5 ; y = x + 1 base

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  1. La segunda ecuacion ya tiene la y despejada: y = x + 1.
  2. Sustituyo en la primera: x + (x + 1) = 5.
  3. Simplifico: 2x + 1 = 5, luego 2x = 4 y x = 2.
  4. Obtengo y: y = x + 1 = 2 + 1 = 3.

Resultado: x = 2 ; y = 3

2. Resuelve el sistema: x + y = 10 ; x - y = 4 base

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  1. Uso la reduccion: sumo las dos ecuaciones miembro a miembro.
  2. (x + y) + (x - y) = 10 + 4, es decir 2x = 14.
  3. Por tanto x = 7.
  4. Sustituyo en la primera: 7 + y = 10, luego y = 3.

Resultado: x = 7 ; y = 3

3. Resuelve el sistema: y = x - 4 ; 2x + y = 11 intermedio

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  1. La primera da y = x - 4: la sustituyo en la segunda.
  2. 2x + (x - 4) = 11, es decir 3x - 4 = 11.
  3. 3x = 15, luego x = 5.
  4. Obtengo y: y = x - 4 = 5 - 4 = 1.

Resultado: x = 5 ; y = 1

4. Resuelve el sistema: 2x + 3y = 12 ; x - y = 1 intermedio

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  1. Uso la reduccion: multiplico la segunda ecuacion por 3.
  2. Obtengo 3x - 3y = 3.
  3. Sumo con la primera: (2x + 3y) + (3x - 3y) = 12 + 3, es decir 5x = 15.
  4. x = 3; sustituyo en la segunda: 3 - y = 1, luego y = 2.

Resultado: x = 3 ; y = 2

5. Resuelve el sistema: 3x + 2y = 4 ; 2x - 3y = 7 avanzato

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  1. Elimino y: multiplico la primera por 3 y la segunda por 2.
  2. 9x + 6y = 12 y 4x - 6y = 14.
  3. Sumo: 13x = 26, luego x = 2.
  4. Sustituyo en la primera: 3(2) + 2y = 4, es decir 6 + 2y = 4, 2y = -2, y = -1.

Resultado: x = 2 ; y = -1

Preguntas frecuentes

¿Es mejor el metodo de sustitucion o el de reduccion?

Depende del sistema. La sustitucion conviene cuando una incognita ya esta despejada o tiene coeficiente 1; la reduccion es mas rapida cuando los coeficientes se pueden volver opuestos sumando o restando las ecuaciones.

¿Que significa que un sistema sea incompatible o indeterminado?

Un sistema es incompatible cuando no existe ninguna pareja (x, y) que cumpla las dos ecuaciones (rectas paralelas); es indeterminado cuando tiene infinitas soluciones (la misma recta escrita de dos formas).

¿Como me aseguro de que la solucion es correcta?

Sustituye los valores de x e y en las dos ecuaciones originales: ambas deben resultar verdaderas. Si una sola no cuadra, hay un error en los calculos.