Geometria

Area e perimetro dei poligoni: esercizi svolti dal facile al difficile

Qual è la differenza tra area e perimetro, tutte le formule dei poligoni più comuni e cinque esercizi svolti di difficoltà crescente con soluzione verificata passo per passo.

Consigliato per: 1ª media · 2ª media · 3ª media

Il perimetro di un poligono è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati e si misura in cm; l’area è la misura della superficie racchiusa dal poligono e si misura in cm². Sono due grandezze diverse: la prima riguarda il bordo, la seconda quello che sta dentro.

Il perimetro è sempre la stessa cosa

Per qualunque poligono il perimetro si calcola allo stesso modo: sommi tutti i lati. Le formule abbreviate servono solo a risparmiare tempo quando alcuni lati sono uguali. Nel quadrato P = 4 × l, nel rombo P = 4 × l, nel rettangolo P = 2 × (b + h). Se la figura non ha lati uguali, sommi e basta.

Le formule delle aree che ti servono davvero

Per l’area invece ogni figura ha la sua regola:

  • rettangolo: A = b × h
  • quadrato: A = l × l
  • triangolo: A = (b × h) / 2
  • parallelogramma: A = b × h
  • rombo: A = (d₁ × d₂) / 2
  • trapezio: A = ((B + b) × h) / 2

L’errore più frequente non è dimenticare la formula, ma usare come altezza un lato obliquo. L’altezza è sempre perpendicolare alla base.

Quando i dati non bastano

Molti esercizi non ti danno subito il numero che ti serve. Se ti chiedono il perimetro di un rombo e ti danno le diagonali, il lato lo ricavi con il teorema di Pitagora. Se ti chiedono il perimetro di un trapezio rettangolo, il lato obliquo si trova allo stesso modo. Prima di calcolare, quindi, chiediti sempre: quale misura mi manca e da dove la ricavo?

Perimetro e area non vanno di pari passo

Due figure con lo stesso perimetro possono avere aree molto diverse, e si può ritagliare un pezzo da una figura facendone diminuire l’area senza cambiarne il perimetro. L’ultimo esercizio qui sotto mostra esattamente questo caso.

Negli esercizi che seguono trovi lo stesso schema a difficoltà crescente: si parte dal rettangolo con i dati già pronti, si passa a rombo e trapezio dove una misura va ricavata, e si arriva a una figura composta. Ogni risultato è stato verificato rifacendo i calcoli.

Esercizi svolti

1. Un rettangolo ha base 12 cm e altezza 7 cm. Calcola il perimetro e l'area. base

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  1. Il perimetro è la somma dei quattro lati: nel rettangolo i lati sono uguali a due a due, quindi P = 2 × (b + h).
  2. P = 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 cm.
  3. L'area del rettangolo è A = b × h.
  4. A = 12 × 7 = 84 cm².

Risultato: P = 38 cm ; A = 84 cm²

2. Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 6 cm e 8 cm. Calcola il perimetro e l'area. base

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  1. Per il perimetro mi serve anche l'ipotenusa: la trovo con il teorema di Pitagora.
  2. i = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
  3. P = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
  4. Nel triangolo rettangolo i due cateti sono base e altezza: A = (6 × 8) / 2 = 48 / 2 = 24 cm².
  5. Attenzione: i numeri vengono uguali, ma 24 cm e 24 cm² sono due misure diverse.

Risultato: P = 24 cm ; A = 24 cm²

3. Un rombo ha le diagonali lunghe 12 cm e 16 cm. Calcola l'area e il perimetro. intermedio

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  1. L'area del rombo si calcola con le diagonali: A = (d₁ × d₂) / 2.
  2. A = (12 × 16) / 2 = 192 / 2 = 96 cm².
  3. Per il perimetro mi serve il lato. Le diagonali del rombo si tagliano a metà e ad angolo retto, quindi formano quattro triangoli rettangoli con cateti 12/2 = 6 cm e 16/2 = 8 cm.
  4. lato = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm.
  5. Il rombo ha quattro lati uguali: P = 4 × 10 = 40 cm.

Risultato: A = 96 cm² ; P = 40 cm

4. Un trapezio rettangolo ha la base maggiore di 14 cm, la base minore di 8 cm e l'altezza di 8 cm. Calcola l'area e il perimetro. intermedio

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  1. Area del trapezio: A = ((B + b) × h) / 2.
  2. A = ((14 + 8) × 8) / 2 = (22 × 8) / 2 = 176 / 2 = 88 cm².
  3. Per il perimetro mi manca il lato obliquo. Nel trapezio rettangolo un lato coincide con l'altezza (8 cm), mentre il lato obliquo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti pari all'altezza e alla differenza delle basi.
  4. differenza delle basi = 14 − 8 = 6 cm ; lato obliquo = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm.
  5. P = 14 + 8 + 8 + 10 = 40 cm.

Risultato: A = 88 cm² ; P = 40 cm

5. Da un rettangolo di 20 cm × 12 cm viene ritagliato un quadrato di lato 5 cm in uno degli angoli, ottenendo una figura a L. Calcola l'area e il perimetro della figura a L. avanzato

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  1. Area del rettangolo di partenza: 20 × 12 = 240 cm².
  2. Area del quadrato tolto: 5 × 5 = 25 cm².
  3. Area della figura a L: 240 − 25 = 215 cm².
  4. Per il perimetro percorro il contorno della L: 20 + 7 + 5 + 5 + 15 + 12.
  5. P = 64 cm. È lo stesso perimetro del rettangolo iniziale, perché i due lati del quadrato tolti dal contorno (5 + 5) vengono rimpiazzati esattamente dai due lati del taglio (5 + 5).
  6. Conclusione: l'area è diminuita di 25 cm², il perimetro no.

Risultato: A = 215 cm² ; P = 64 cm

Domande frequenti

Qual è la differenza tra area e perimetro?

Il perimetro misura il contorno della figura, cioè quanto è lunga la linea che la racchiude; l'area misura la superficie interna, cioè quanto spazio occupa. Se recinti un giardino calcoli il perimetro, se ci metti il prato calcoli l'area.

Perché l'area si misura in cm² e il perimetro in cm?

Il perimetro è una somma di lunghezze, quindi resta una lunghezza (cm). L'area nasce invece dal prodotto di due lunghezze, e moltiplicando cm per cm si ottengono cm quadrati (cm²).

Due figure con lo stesso perimetro hanno anche la stessa area?

No. Un rettangolo di 5 cm × 1 cm e un quadrato di lato 3 cm hanno entrambi perimetro 12 cm, ma il primo ha area 5 cm² e il secondo 9 cm². A parità di perimetro, più la figura è compatta e più l'area è grande.