Geometria

Circonferenza e area del cerchio: formule ed esercizi svolti

Le formule della circonferenza (C = 2πr) e dell'area del cerchio (A = πr²), come ricavare il raggio all'inverso e cinque esercizi svolti passo per passo con risultati verificati.

Consigliato per: 3ª media · 1ª superiore

La circonferenza di un cerchio si calcola con C = 2πr (oppure C = πd), l’area con A = πr². In pratica ti serve un solo dato, il raggio: se hai il diametro lo dimezzi, se hai la circonferenza o l’area lo ricavi girando la formula.

Circonferenza e cerchio non sono la stessa cosa

La circonferenza è la linea, il bordo. Il cerchio è la superficie che quella linea racchiude. È una distinzione che sembra pedante finché non arriva un problema che chiede “il perimetro dell’aiuola” e uno che chiede “quanta erba serve”: nel primo caso lavori sulla linea, nel secondo sulla superficie. Le unità di misura te lo ricordano: cm per la circonferenza, cm² per l’area.

Le due formule e i loro inversi

Le formule dirette sono due, ma nei compiti servono quasi sempre anche al contrario:

  • C = 2πr → r = C / (2π)
  • A = πr² → r = √(A / π)
  • d = 2r → r = d / 2

Quando un esercizio ti dà l’area e chiede la circonferenza (o viceversa), il percorso è sempre lo stesso: prima torni al raggio, poi vai avanti con l’altra formula. Il raggio è il ponte fra le due.

π: quando approssimare

π è un numero irrazionale, con infinite cifre decimali non periodiche. Nei problemi di terza media e biennio si usa quasi sempre 3,14. Un consiglio pratico: fai tutti i passaggi tenendo π simbolico e sostituisci 3,14 solo alla fine, così eviti di trascinarti errori di arrotondamento.

Settori e corone

Un settore circolare è una “fetta” di cerchio: la sua area e il suo arco sono la stessa frazione del cerchio intero. Se l’angolo è α, la frazione è α/360. Una corona circolare è invece un anello: la sua area è la differenza fra il cerchio grande e quello piccolo, cioè π(R² − r²).

Negli esercizi qui sotto trovi lo stesso schema a difficoltà crescente: si parte dal raggio già noto, si passa alle formule inverse e a una ruota che gira, e si finisce con un settore e una corona circolare. Ogni risultato è stato ricontrollato rifacendo i calcoli.

Esercizi svolti

1. Un cerchio ha raggio 5 cm. Calcola la sua circonferenza e la sua area (usa π ≈ 3,14). base

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  1. La circonferenza si trova con C = 2πr.
  2. C = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
  3. L'area si trova con A = πr², quindi mi serve r² = 5 × 5 = 25.
  4. A = 3,14 × 25 = 78,5 cm².

Risultato: C = 31,4 cm ; A = 78,5 cm²

2. Una ruota di bicicletta ha diametro 70 cm. Quanti metri percorre la bici in 100 giri completi della ruota? (π ≈ 3,14) base

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  1. A ogni giro completo la ruota avanza di una lunghezza pari alla sua circonferenza.
  2. Con il diametro conviene la formula C = πd.
  3. C = 3,14 × 70 = 219,8 cm.
  4. In 100 giri: 219,8 × 100 = 21 980 cm.
  5. Converto in metri dividendo per 100: 21 980 : 100 = 219,8 m.

Risultato: 219,8 m

3. La circonferenza di un cerchio misura 43,96 cm. Calcola il raggio e l'area (π ≈ 3,14). intermedio

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  1. Parto dalla formula diretta C = 2πr e la giro: r = C / (2π).
  2. 2π = 2 × 3,14 = 6,28.
  3. r = 43,96 : 6,28 = 7 cm.
  4. Verifica: 6,28 × 7 = 43,96 cm, corretto.
  5. Ora l'area: A = πr² = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 cm².

Risultato: r = 7 cm ; A = 153,86 cm²

4. In un cerchio di raggio 12 cm considera un settore circolare di ampiezza 45°. Calcola la lunghezza dell'arco e l'area del settore (π ≈ 3,14). intermedio

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  1. Un settore di 45° è una frazione del cerchio intero: 45/360 = 1/8.
  2. Calcolo la circonferenza intera: C = 2 × 3,14 × 12 = 75,36 cm.
  3. L'arco è un ottavo della circonferenza: 75,36 : 8 = 9,42 cm.
  4. Calcolo l'area intera: A = 3,14 × 12² = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
  5. Il settore è un ottavo dell'area: 452,16 : 8 = 56,52 cm².

Risultato: arco = 9,42 cm ; area del settore = 56,52 cm²

5. Una corona circolare è formata da un cerchio esterno di raggio 10 cm e da un cerchio interno di raggio 6 cm. Calcola l'area della corona e stabilisci che percentuale rappresenta rispetto al cerchio esterno (π ≈ 3,14). avanzato

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  1. L'area della corona è la differenza fra le due aree: A = πR² − πr² = π(R² − r²).
  2. R² − r² = 100 − 36 = 64.
  3. A = 3,14 × 64 = 200,96 cm².
  4. Area del cerchio esterno: 3,14 × 100 = 314 cm².
  5. Percentuale: 200,96 : 314 = 0,64, cioè il 64 %.

Risultato: A = 200,96 cm² ; pari al 64 % del cerchio esterno

Domande frequenti

Qual è la differenza fra circonferenza e cerchio?

La circonferenza è la linea curva chiusa, cioè il contorno; il cerchio è tutta la superficie racchiusa da quella linea. Per questo la circonferenza si misura in cm e l'area del cerchio in cm².

Quando uso 3,14 e quando lascio π nella risposta?

Se il testo chiede un risultato numerico approssimato usa 3,14 (o 3,1416 se serve più precisione). Se chiede il risultato esatto, lascia π nella risposta: per esempio A = 25π cm² invece di 78,5 cm².

Come trovo il raggio se conosco l'area?

Giri la formula A = πr² e ottieni r = √(A/π). Per esempio, se A = 78,5 cm², allora 78,5 : 3,14 = 25 e r = √25 = 5 cm.