Geometrie

Flächeninhalt und Umfang: 8 Aufgaben mit Lösungen

A = a · b beim Rechteck und A = g · h / 2 beim Dreieck. Tabelle mit allen Formeln, Umrechnung der Flächeneinheiten und 8 Aufgaben mit vollem Lösungsweg.

Empfohlen für: 6. Klasse · 7. Klasse

Der Umfang eines Vielecks ist die Summe seiner Seiten und wird in cm oder m angegeben; der Flächeninhalt misst die Größe der inneren Fläche und wird in cm² oder m² angegeben. Für das Rechteck gilt A = a · b, für das Dreieck A = g · h / 2: fast alle weiteren Formeln lassen sich auf diese beiden zurückführen.

Alle Formeln für Flächeninhalt und Umfang

Das ist die Tabelle zum Auswendiglernen. In der letzten Spalte steht zu jeder Formel ein vollständig durchgerechnetes Zahlenbeispiel.

FigurUmfangFlächeninhaltZahlenbeispiel
QuadratU = 4 · aA = a · aa = 15 cm: U = 60 cm, A = 225 cm²
RechteckU = 2 · (a + b)A = a · b20 cm mal 9 cm: U = 58 cm, A = 180 cm²
DreieckU = Summe der drei SeitenA = g · h / 2g = 24 cm, h = 11 cm: A = 132 cm²
ParallelogrammU = 2 · (g + schräge Seite)A = g · hg = 16 cm, h = 13 cm, Seite 15 cm: U = 62 cm, A = 208 cm²
RauteU = 4 · aA = e · f / 2e = 18 cm, f = 24 cm, a = 15 cm: U = 60 cm, A = 216 cm²
TrapezU = Summe der vier SeitenA = (a + c) · h / 2a = 25 cm, c = 15 cm, h = 8 cm: A = 160 cm²
Regelmäßiges VieleckU = n · aA = U · ρ / 2Sechseck a = 9 cm, ρ = 7,8 cm: U = 54 cm, A = 210,6 cm²

Zwei Dinge sind an dieser Tabelle entscheidend. Erstens: in jeder Flächenformel steht h für die Höhe, also für den senkrechten Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Seite, niemals für die schräge Seite. Zweitens: das Apothem ρ eines regelmäßigen Vielecks ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite, und die Formel A = U · ρ / 2 gilt für jedes regelmäßige Vieleck, vom gleichseitigen Dreieck bis zum Zehneck.

Das Apothem steht fast immer in der Aufgabe, weil es selten eine ganze Zahl ist. Bei einem regelmäßigen Sechseck mit 14 cm Seitenlänge beträgt es exakt 7√3 cm, also gerundet auf zwei Nachkommastellen ungefähr 12,12 cm.

Flächeneinheiten umrechnen

Hier steckt der häufigste Fehler der ganzen Planimetrie. Zwischen zwei benachbarten Längeneinheiten liegt der Faktor 10, zwischen zwei benachbarten Flächeneinheiten dagegen der Faktor 100, weil die Flächeneinheit ein Quadrat ist und der Längenfaktor deshalb zweimal eingeht.

FlächeneinheitenFaktorZugehörige LängeFaktor
1 cm² = 100 mm²1001 cm = 10 mm10
1 dm² = 100 cm²1001 dm = 10 cm10
1 m² = 100 dm²1001 m = 10 dm10
1 m² = 10.000 cm²10.0001 m = 100 cm100
1 m² = 1.000.000 mm²1.000.0001 m = 1.000 mm1.000

Die letzte Zeile zeigt das Prinzip deutlich: die Länge wird von m auf mm mit 1.000 multipliziert, der Flächeninhalt mit 1.000 · 1.000 = 1.000.000.

Die Methode in drei Schritten

1. Figur erkennen und Angaben sortieren. Notiere, was Grundseite, was Höhe und was schräge Seite ist. Bei Parallelogramm und Trapez ist fast immer eine Angabe zu viel dabei, die nur für den Umfang gebraucht wird.

2. Passende Formel wählen und mit Einheiten einsetzen. Führe cm oder m in jeder Zeile mit: steht am Ende kein cm² da, stimmt etwas nicht.

3. Probe machen. Gehe den Weg rückwärts, teile also zum Beispiel den Flächeninhalt durch die Grundseite, um die Höhe wiederzufinden, oder berechne denselben Flächeninhalt auf einem zweiten Weg.

Zusammengesetzte Figuren und Umkehraufgabe

Eine unregelmäßige Figur aus lauter rechten Winkeln löst man durch Zerlegen: in Rechtecke und Dreiecke aufteilen, jeden Flächeninhalt berechnen und addieren. Alternativ berechnet man den Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks und zieht das fehlende Stück ab. Beide Wege müssen dasselbe ergeben, und beide zu gehen ist die beste Probe überhaupt. Genau so rechnet man auch eine Rasenfläche aus, die um ein Gebäude herumführt.

Beim Umfang gilt eine andere Regel: nur der äußere Rand wird abgelaufen. Die Strecken, an denen zwei Teile aneinanderstoßen, liegen im Inneren der Figur und zählen nicht mit.

Bei der Umkehraufgabe ist der Flächeninhalt gegeben und eine Seite gesucht. Man stellt die Formel einfach um: aus der Rechtecksfläche folgt a = A : b, aus der Dreiecksfläche g = 2 · A : h, wobei die 2 wieder auftaucht, weil in der ursprünglichen Formel durch sie geteilt wurde.

Die häufigsten Fehler

  • Die schräge Seite statt der Höhe verwenden. Beim Parallelogramm mit Grundseite 27 cm, Höhe 14 cm und schräger Seite 16 cm ist A = 27 · 14 = 378 cm², niemals 27 · 16. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite, die schräge Seite nicht.
  • Das Teilen durch 2 bei Dreieck und Trapez vergessen. Das sind die beiden Formeln mit Division: A = g · h / 2 und A = (a + c) · h / 2. Ohne die 2 kommt der doppelte Flächeninhalt heraus.
  • Flächen wie Längen umrechnen. Von m² zu cm² wird mit 10.000 multipliziert, nicht mit 100. Der Faktor 100 liegt zwischen m² und dm².
  • Bei zusammengesetzten Figuren die Umfänge der Teile addieren. Die inneren Berührungsstrecken gehören nicht zum Rand und müssen weggelassen werden.
  • Den Flächeninhalt ohne Quadrat in der Einheit angeben. 1.050 cm statt 1.050 cm² gilt als Fehler: ein Flächeninhalt wird immer in Quadrateinheiten angegeben.
  • Beim Trapez die Höhe zu den parallelen Seiten addieren. In (a + c) · h / 2 werden nur die beiden parallelen Seiten addiert; die Höhe multipliziert diese Summe.

Sobald der Rand nicht mehr aus Strecken, sondern aus einer Kurve besteht, reichen diese Formeln nicht mehr aus und der Weg führt über Kreisumfang und Kreisfläche, wo die Kreiszahl pi ins Spiel kommt.

In den Aufgaben unten bleibt das Schema gleich, die Schwierigkeit steigt aber: Es geht vom Rechteck und vom Dreieck über das Parallelogramm mit einer Falle, die Raute mit ihren Diagonalen und das Trapez zur Umkehraufgabe und endet mit einer L-förmigen Figur und einer Terrassenaufgabe, die eine Umrechnung von Einheiten verlangt.

Gelöste Aufgaben

1. Ein Rechteck ist 42 cm lang und 25 cm breit. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. base

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  1. Der Umfang ist die Summe aller vier Seiten, und im Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: U = 2 · (42 cm + 25 cm).
  2. Ich rechne die Klammer aus: 42 cm + 25 cm = 67 cm, also U = 2 · 67 cm = 134 cm.
  3. Der Flächeninhalt ist das Produkt der beiden Seiten: A = 42 cm · 25 cm = 1.050 cm².
  4. Probe: 1.050 : 42 = 25, das ist die Breite aus der Aufgabe. Und 134 : 2 = 67 = 42 + 25. Stimmt.
  5. Achte auf die Einheiten: der Umfang steht in cm, weil er eine Länge ist, der Flächeninhalt in cm², weil ich zwei Längen multipliziert habe.

Ergebnis: U = 134 cm und A = 1.050 cm²

2. Ein Dreieck hat eine Grundseite von 38 cm und die zugehörige Höhe von 22 cm. Berechne den Flächeninhalt. base

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  1. Ich verwende die Dreiecksformel: A = g · h / 2.
  2. Zuerst multipliziere ich Grundseite und Höhe: 38 cm · 22 cm = 836 cm².
  3. Jetzt teile ich durch 2: A = 836 cm² : 2 = 418 cm².
  4. Probe: 418 · 2 = 836 = 38 · 22. Stimmt.
  5. Hinweis: den Umfang kann ich mit diesen Angaben nicht bestimmen, denn die Höhe ist keine Seite des Dreiecks und die beiden anderen Seiten sind nicht gegeben.

Ergebnis: A = 418 cm²

3. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 27 cm, die Höhe 14 cm und die schräge Seite 16 cm. Berechne Flächeninhalt und Umfang. base

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  1. Für den Flächeninhalt nehme ich Grundseite mal Höhe, niemals Grundseite mal schräge Seite: A = 27 cm · 14 cm = 378 cm².
  2. Die 16 cm gehören nicht in die Flächenformel: sie sind eine Falle und werden nur für den Umfang gebraucht.
  3. Für den Umfang addiere ich die vier Seiten, die paarweise gleich lang sind: U = 2 · (27 cm + 16 cm) = 2 · 43 cm = 86 cm.
  4. Probe: mit 27 · 16 hätte ich 432 cm² erhalten, also mehr als den echten Flächeninhalt. Das passt, denn die schräge Seite ist nie kürzer als die Höhe.

Ergebnis: A = 378 cm² und U = 86 cm

4. Eine Raute hat die Diagonalen 40 cm und 42 cm. Berechne den Flächeninhalt, die Seitenlänge und den Umfang. intermedio

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  1. Der Flächeninhalt der Raute ergibt sich aus den Diagonalen: A = e · f / 2 = 40 cm · 42 cm : 2.
  2. Ich rechne: 40 · 42 = 1.680, also A = 1.680 cm² : 2 = 840 cm².
  3. Für die Seitenlänge nutze ich, dass sich die Diagonalen halbieren und senkrecht schneiden: die halben Diagonalen sind 40 : 2 = 20 cm und 42 : 2 = 21 cm.
  4. Ich wende den [Satz des Pythagoras](/de/blog/satz-des-pythagoras-aufgaben-mit-losungen/) im rechtwinkligen Teildreieck an: Seite = √(20² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 cm.
  5. Die Raute hat vier gleich lange Seiten: U = 4 · 29 cm = 116 cm.
  6. Probe: 29² = 841 und 400 + 441 = 841. Stimmt, und die Seite ist ganzzahlig, weil 20, 21 und 29 ein pythagoreisches Zahlentripel bilden.

Ergebnis: A = 840 cm², Seite = 29 cm und U = 116 cm

5. Ein Hochbeet hat die Form eines Trapezes mit den parallelen Seiten 46 cm und 28 cm und der Höhe 20 cm. Berechne den Flächeninhalt. intermedio

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  1. Ich verwende die Trapezformel: A = (a + c) · h / 2.
  2. Ich addiere die beiden parallelen Seiten: 46 cm + 28 cm = 74 cm.
  3. Ich multipliziere mit der Höhe: 74 cm · 20 cm = 1.480 cm².
  4. Ich teile durch 2: A = 1.480 cm² : 2 = 740 cm².
  5. Probe über einen zweiten Weg: die Mittellinie misst 74 : 2 = 37 cm, und 37 cm · 20 cm = 740 cm². Stimmt.

Ergebnis: A = 740 cm²

6. Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 675 cm² und die Breite 15 cm. Bestimme die Länge und den Umfang. intermedio

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  1. Das ist eine Umkehraufgabe: der Flächeninhalt ist bekannt, gesucht ist eine Seite. Ich gehe von A = a · b aus und stelle nach a um.
  2. Ich schreibe die Gleichung auf: 675 = a · 15, eine [lineare Gleichung](/de/blog/lineare-gleichungen-aufgaben-mit-losungen/) mit der Unbekannten a.
  3. Ich teile beide Seiten durch 15: a = 675 : 15 = 45 cm.
  4. Jetzt kenne ich beide Seiten und berechne den Umfang: U = 2 · (45 cm + 15 cm) = 2 · 60 cm = 120 cm.
  5. Probe: 45 cm · 15 cm = 675 cm². Stimmt.
  6. Auch die Einheit bestätigt den Weg: cm² geteilt durch cm ergibt cm, also tatsächlich eine Länge.

Ergebnis: a = 45 cm und U = 120 cm

7. Ein Schulhof hat die Form eines L. Der untere Teil ist ein Rechteck von 24 m mal 11 m; darüber liegt, links bündig, ein Rechteck von 14 m mal 7 m. Berechne Flächeninhalt und Umfang des Schulhofs. avanzato

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  1. Ich zerlege die Figur in die beiden genannten Rechtecke und berechne jeden Flächeninhalt einzeln.
  2. Unteres Rechteck: 24 m · 11 m = 264 m². Oberes Rechteck: 14 m · 7 m = 98 m².
  3. Ich addiere: A = 264 m² + 98 m² = 362 m².
  4. Beim Umfang darf ich die Umfänge der beiden Rechtecke NICHT addieren: die Berührungsstrecke liegt im Inneren der Figur und gehört nicht zum Rand.
  5. Ich laufe den echten Rand ab: 24 m unten, 11 m rechts nach oben, 24 - 14 = 10 m nach links, 7 m nach oben, 14 m oben nach links und 11 + 7 = 18 m links nach unten.
  6. Ich summiere: U = 24 + 11 + 10 + 7 + 14 + 18 = 84 m.
  7. Probe: bei einer L-Figur aus lauter rechten Winkeln ist der Umfang so groß wie der des umschließenden Rechtecks, hier 24 m mal 18 m, also 2 · (24 + 18) = 84 m. Stimmt.
  8. Hätte ich die beiden Umfänge addiert, wäre 2 · (24 + 11) + 2 · (14 + 7) = 70 + 42 = 112 m herausgekommen, weil die 14 m Berührungsstrecke doppelt gezählt würden.

Ergebnis: A = 362 m² und U = 84 m

8. Eine rechteckige Terrasse misst 5,60 m mal 4,50 m und soll mit quadratischen Platten von 60 cm Seitenlänge belegt werden. Wie viele Platten werden gebraucht? avanzato

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  1. Ich berechne den Flächeninhalt der Terrasse: A = 5,60 m · 4,50 m = 25,2 m².
  2. Vor dem Teilen müssen beide Flächen dieselbe Einheit haben. Ich rechne die Plattenseite um: 60 cm = 0,6 m.
  3. Flächeninhalt einer Platte: 0,6 m · 0,6 m = 0,36 m². In cm² wären das 60 · 60 = 3.600 cm², und 3.600 : 10.000 = 0,36 m².
  4. Ich teile die Terrassenfläche durch die Plattenfläche: 25,2 : 0,36 = 70.
  5. Probe: 70 · 0,36 m² = 25,2 m². Stimmt.
  6. Typischer Fehler: 5,60 durch 60 teilen und dabei Meter und Zentimeter mischen. Erst umrechnen, dann teilen, und zwar bei Flächen mit dem Faktor 10.000 zwischen m² und cm², nicht mit dem Faktor 100 der Längen.

Ergebnis: 70 Platten

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?

Der Umfang ist die Länge des Randes, also die Summe aller Seiten, und wird in Längeneinheiten wie cm oder m angegeben. Der Flächeninhalt misst die Größe der Fläche im Inneren und wird in Quadrateinheiten wie cm² oder m² angegeben. Zwei Figuren können denselben Umfang und ganz verschiedene Flächeninhalte haben: ein Rechteck mit 1 cm und 9 cm und ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge haben beide den Umfang 20 cm, aber die Flächeninhalte 9 cm² und 25 cm².

Wie berechnet man den Flächeninhalt einer Raute mit den Diagonalen?

Man multipliziert die beiden Diagonalen und teilt durch 2: A = e · f / 2. Bei Diagonalen von 40 cm und 42 cm ergibt das 40 · 42 : 2 = 840 cm². Die Seitenlänge kommt in dieser Formel nicht vor, lässt sich aber bestimmen: die Diagonalen halbieren einander und schneiden sich senkrecht, also ist die Seite die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 20 cm und 21 cm, das ergibt √841 = 29 cm und den Umfang 116 cm.

Wie rechnet man m² in cm² um?

Man multipliziert mit 10.000 und nicht mit 100. Weil 1 m = 100 cm gilt, entspricht ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge 100 cm · 100 cm = 10.000 cm². Zwischen zwei benachbarten Flächeneinheiten liegt immer der Faktor 100, zwischen zwei benachbarten Längeneinheiten dagegen nur der Faktor 10: von m² zu dm² mal 100, von dm² zu cm² noch einmal mal 100, zusammen also 10.000.

Wie findet man eine Seite des Rechtecks, wenn der Flächeninhalt gegeben ist?

Man teilt den Flächeninhalt durch die bekannte Seite. Bei einem Flächeninhalt von 675 cm² und einer Breite von 15 cm ist die Länge 675 : 15 = 45 cm. Das ist die Umkehrung der Formel A = a · b und entspricht dem Lösen der Gleichung 675 = a · 15. Die Einheiten bestätigen die Rechnung, denn cm² geteilt durch cm ergibt cm. Beim Quadrat läuft es anders: wegen A = a² ist die Seite die Quadratwurzel des Flächeninhalts.

Wie berechnet man den Flächeninhalt einer zusammengesetzten Figur?

Man zerlegt die Figur in Rechtecke und Dreiecke, berechnet jeden Teil einzeln und addiert. Hat die Figur eine Aussparung, kann man stattdessen den Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks berechnen und den fehlenden Teil abziehen. Beim Umfang gilt eine andere Vorsicht: man läuft nur den äußeren Rand ab, denn die Strecken, an denen sich die Teile berühren, liegen im Inneren und werden nicht mitgezählt.