Geometria

Área e perímetro: 8 exercícios resolvidos de polígonos

A = b · h para o retângulo e A = b · h / 2 para o triângulo. Tabela com todas as fórmulas, conversão de unidades e 8 exercícios resolvidos passo a passo.

Recomendado para: 6º ano · 7º ano

O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados e se mede em cm ou m; a área é a medida da superfície interna e se mede em cm² ou m². Para o retângulo vale A = b · h, para o triângulo A = b · h / 2: quase todas as outras fórmulas nascem dessas duas.

Todas as fórmulas de área e perímetro

Esta é a tabela para memorizar. Na última coluna cada fórmula aparece aplicada a um exemplo numérico completo.

Figura	Perímetro	Área	Exemplo numérico
Quadrado	P = 4 · l	A = l · l	l = 9 cm: P = 36 cm, A = 81 cm²
Retângulo	P = 2 · (b + h)	A = b · h	11 cm por 6 cm: P = 34 cm, A = 66 cm²
Triângulo	P = soma dos três lados	A = b · h / 2	b = 10 cm, h = 7 cm: A = 35 cm²
Paralelogramo	P = 2 · (b + lado obliquo)	A = b · h	b = 14 cm, h = 5 cm, lado 6 cm: P = 40 cm, A = 70 cm²
Losango	P = 4 · l	A = D · d / 2	D = 16 cm, d = 12 cm, l = 10 cm: P = 40 cm, A = 96 cm²
Trapézio	P = soma dos quatro lados	A = (B + b) · h / 2	B = 13 cm, b = 7 cm, h = 4 cm: A = 40 cm²
Polígono regular	P = n · l	A = P · a / 2	pentágono l = 8 cm, a = 5,5 cm: P = 40 cm, A = 110 cm²

Duas leituras importantes desta tabela. Primeiro: em toda fórmula de área a letra h é sempre a altura, ou seja a distância perpendicular entre a base e o lado oposto, e nunca o lado oblíquo. Segundo: o apótema a do polígono regular é a distância do centro ao meio de um lado, e a fórmula A = P · a / 2 funciona para qualquer polígono regular, do triângulo equilátero ao decágono.

O apótema costuma ser dado no enunciado porque nem sempre é um número inteiro. Num hexágono regular de lado 12 cm, por exemplo, o apótema vale exatamente 6√3 cm, ou seja aproximadamente 10,39 cm arredondando para duas casas decimais.

Como converter as unidades de área

Aqui mora o erro mais frequente de toda a geometria plana. Entre duas unidades de comprimento consecutivas o fator é 10; entre duas unidades de área consecutivas o fator é 100, porque a unidade de área é um quadrado e o fator de comprimento entra duas vezes.

Equivalência de área	Fator	Comprimento correspondente	Fator
1 cm² = 100 mm²	100	1 cm = 10 mm	10
1 dm² = 100 cm²	100	1 dm = 10 cm	10
1 m² = 100 dm²	100	1 m = 10 dm	10
1 m² = 10.000 cm²	10.000	1 m = 100 cm	100
1 m² = 1.000.000 mm²	1.000.000	1 m = 1.000 mm	1.000

A última linha mostra bem o mecanismo: o comprimento passa de m para mm multiplicando por 1.000, e a área multiplicando por 1.000 · 1.000 = 1.000.000.

O método em três passos

1. Identificar a figura e separar os dados. Escreva o que é base, o que é altura e o que é lado oblíquo. Num paralelogramo ou num trapézio quase sempre há um dado a mais que serve só para o perímetro.

2. Escolher a fórmula certa e substituir com as unidades. Carregue cm ou m em cada passagem: se no fim a área não estiver em cm² alguma coisa saiu errada.

3. Verificar. Refaça o caminho ao contrário, como dividir a área pela base para reencontrar a altura, ou calcule a mesma área por outro caminho.

Figuras compostas e problema inverso

Uma figura irregular feita de ângulos retos se resolve por decomposição: corte em retângulos e triângulos, calcule cada área e some. Como alternativa, calcule a área do retângulo que envolve a figura e subtraia o pedaço que falta. As duas vias devem dar o mesmo resultado, e usar as duas é a melhor verificação possível.

Para o perímetro a regra é diferente: percorra só o contorno externo. Os lados onde duas partes se encostam ficam dentro da figura e não contam.

No problema inverso o enunciado dá a área e pede um lado. Basta inverter a fórmula: da área do retângulo tira-se b = A : h, e da área do triângulo tira-se b = 2 · A : h, com o 2 que reaparece porque a fórmula direta dividia por ele.

Erros mais comuns

Usar o lado oblíquo no lugar da altura. No paralelogramo de base 18 cm, altura 12 cm e lado 13 cm a área é 18 · 12 = 216 cm², nunca 18 · 13. A altura é perpendicular à base, o lado oblíquo não.
Esquecer de dividir por 2 no triângulo e no trapézio. São as duas fórmulas com divisão: A = b · h / 2 e A = (B + b) · h / 2. Sem o 2 a área sai dobrada.
Converter as áreas como se fossem comprimentos. De m² para cm² multiplica-se por 10.000, não por 100. O fator 100 é o que existe entre m² e dm².
Somar os perímetros das partes numa figura composta. Os lados internos, onde as partes se encostam, não fazem parte do contorno e precisam ser descartados.
Escrever a área sem o quadrado na unidade. Escrever 360 cm em vez de 360 cm² é considerado erro: a área é sempre uma medida quadrada.
Somar as bases do trapézio com a altura. Na fórmula (B + b) · h / 2 só as duas bases são somadas; a altura multiplica a soma.

Quando o contorno deixa de ser feito de segmentos e passa a ser uma curva, estas fórmulas não bastam mais e é preciso passar para a circunferência e a área do círculo, onde entra o número pi.

Nos exercícios abaixo o esquema é sempre o mesmo, mas a dificuldade cresce: começamos pelo retângulo e pelo triângulo, passamos pelo paralelogramo com dado distrator, pelo losango com as diagonais e pelo trapézio, chegamos ao problema inverso e terminamos com uma figura em L e um problema de piso que exige conversão de unidades.

Exercícios resolvidos

1. Um retângulo tem 24 cm de comprimento e 15 cm de largura. Calcule o perímetro e a área. base

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O perímetro é a soma dos quatro lados, e no retângulo os lados opostos são iguais: P = 2 · (24 cm + 15 cm).
Somo dentro do parêntese: 24 cm + 15 cm = 39 cm, logo P = 2 · 39 cm = 78 cm.
A área é o produto das duas dimensões: A = 24 cm · 15 cm = 360 cm².
Verificação: 360 : 24 = 15, que é a largura de partida. E 78 : 2 = 39 = 24 + 15. Confere.
Repare na unidade: o perímetro sai em cm porque é um comprimento, a área sai em cm² porque multipliquei dois comprimentos.

Resposta: P = 78 cm e A = 360 cm²

2. Um triângulo tem base de 26 cm e altura relativa a essa base de 14 cm. Calcule a área. base

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Uso a fórmula do triângulo: A = b · h / 2.
Multiplico primeiro base e altura: 26 cm · 14 cm = 364 cm².
Agora divido por 2: A = 364 cm² : 2 = 182 cm².
Verificação: 182 · 2 = 364 = 26 · 14. Confere.
Observação: com esses dados não dá para achar o perímetro, porque a altura não é um lado do triângulo e os outros dois lados não foram informados.

Resposta: A = 182 cm²

3. Um paralelogramo tem base de 18 cm, altura de 12 cm e lado oblíquo de 13 cm. Calcule a área e o perímetro. base

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Para a área uso base vezes altura, nunca base vezes lado oblíquo: A = 18 cm · 12 cm = 216 cm².
O lado de 13 cm não entra na área: ele é um distrator e serve só para o perímetro.
Para o perímetro somo os quatro lados, iguais dois a dois: P = 2 · (18 cm + 13 cm) = 2 · 31 cm = 62 cm.
Verificação: se eu tivesse usado 18 · 13 obteria 234 cm², um valor maior que a área verdadeira. Faz sentido, porque o lado oblíquo nunca é menor do que a altura.

Resposta: A = 216 cm² e P = 62 cm

4. Um losango tem diagonais de 48 cm e 20 cm. Calcule a área, o lado e o perímetro. intermedio

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A área do losango sai das diagonais: A = D · d / 2 = 48 cm · 20 cm : 2.
Calculo: 48 · 20 = 960, então A = 960 cm² : 2 = 480 cm².
Para o lado uso o fato de que as diagonais se cortam ao meio e formam ângulo reto: as metades valem 48 : 2 = 24 cm e 20 : 2 = 10 cm.
Aplico o [teorema de Pitágoras](/pt/blog/teorema-de-pitagoras-exercicios-resolvidos/) no triângulo retângulo formado pelas duas metades: lado = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26 cm.
O losango tem os quatro lados iguais: P = 4 · 26 cm = 104 cm.
Verificação: 26² = 676 e 576 + 100 = 676. Confere, e o lado deu um número inteiro porque 10, 24 e 26 formam um terno pitagórico.

Resposta: A = 480 cm², lado = 26 cm e P = 104 cm

5. Um trapézio tem bases de 34 cm e 22 cm e altura de 15 cm. Calcule a área. intermedio

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Uso a fórmula do trapézio: A = (B + b) · h / 2.
Somo as duas bases: 34 cm + 22 cm = 56 cm.
Multiplico pela altura: 56 cm · 15 cm = 840 cm².
Divido por 2: A = 840 cm² : 2 = 420 cm².
Verificação com outro caminho: a base média vale 56 : 2 = 28 cm, e 28 cm · 15 cm = 420 cm². Confere.

Resposta: A = 420 cm²

6. Um retângulo tem área de 288 cm² e altura de 16 cm. Determine a base e o perímetro. intermedio

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Este é um problema inverso: conheço a área e quero um lado, então parto da fórmula A = b · h e isolo b.
Escrevo a equação: 288 = b · 16, que é uma [equação do 1º grau](/pt/blog/equacoes-do-primeiro-grau-exercicios-resolvidos/) na incógnita b.
Divido os dois membros por 16: b = 288 : 16 = 18 cm.
Agora que tenho os dois lados calculo o perímetro: P = 2 · (18 cm + 16 cm) = 2 · 34 cm = 68 cm.
Verificação: 18 cm · 16 cm = 288 cm². Confere.
Atenção à unidade da divisão: cm² dividido por cm dá cm, ou seja um comprimento, exatamente o que eu procurava.

Resposta: b = 18 cm e P = 68 cm

7. Um quintal tem a forma de um L. A parte de baixo é um retângulo de 12 m por 7 m; sobre ela, encostado à esquerda, há um retângulo de 5 m por 4 m. Calcule a área e o perímetro do quintal. avanzato

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Decomponho a figura nos dois retângulos indicados e calculo cada área separadamente.
Retângulo de baixo: 12 m · 7 m = 84 m². Retângulo de cima: 5 m · 4 m = 20 m².
Somo: A = 84 m² + 20 m² = 104 m².
Para o perímetro NÃO posso somar os perímetros dos dois retângulos: o lado onde eles se encostam fica dentro da figura e não faz parte do contorno.
Percorro o contorno real: 12 m embaixo, 7 m subindo à direita, 12 - 5 = 7 m para a esquerda, 4 m subindo, 5 m para a esquerda em cima e 7 + 4 = 11 m descendo pela esquerda.
Somo: P = 12 + 7 + 7 + 4 + 5 + 11 = 46 m.
Verificação: numa figura em L feita só de ângulos retos o perímetro é igual ao do retângulo que a envolve, aqui 12 m por 11 m, ou seja 2 · (12 + 11) = 46 m. Confere.
Se eu tivesse somado os dois perímetros teria obtido 2 · (12 + 7) + 2 · (5 + 4) = 38 + 18 = 56 m, contando duas vezes os 5 m de encosto.

Resposta: A = 104 m² e P = 46 m

8. O piso de uma sala de aula é um retângulo de 7,5 m por 6 m e será revestido com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado. Quantos ladrilhos são necessários? avanzato

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Calculo a área da sala: A = 7,5 m · 6 m = 45 m².
Antes de dividir preciso das duas áreas na mesma unidade. Converto o lado do ladrilho: 50 cm = 0,5 m.
Área de um ladrilho: 0,5 m · 0,5 m = 0,25 m². Em cm² seria 50 · 50 = 2.500 cm², e de fato 2.500 : 10.000 = 0,25 m².
Divido a área da sala pela área do ladrilho: 45 : 0,25 = 180.
Verificação: 180 · 0,25 m² = 45 m². Confere.
Erro a evitar: dividir 7,5 por 50 misturando metros e centímetros. As unidades precisam ser convertidas antes da divisão, e a área converte com o fator 10.000 entre m² e cm², não com o fator 100 dos comprimentos.

Resposta: 180 ladrilhos

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre área e perímetro?

O perímetro é o comprimento do contorno da figura, ou seja a soma de todos os lados, e se mede em unidades de comprimento como cm ou m. A área é a medida da superfície interna, quanto espaço a figura ocupa, e se mede em unidades quadradas como cm² ou m². Duas figuras podem ter o mesmo perímetro e áreas bem diferentes: um retângulo de 1 cm por 9 cm e um quadrado de 5 cm de lado têm ambos 20 cm de perímetro, mas as áreas são 9 cm² e 25 cm².

Como calcular a área do losango sabendo as diagonais?

Multiplique as duas diagonais e divida por 2: A = D · d / 2. Com diagonais de 48 cm e 20 cm a área é 48 · 20 : 2 = 480 cm². O lado não aparece nessa fórmula, mas dá para achá-lo: as diagonais se cortam ao meio formando ângulo reto, então o lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 24 cm e 10 cm, o que dá √676 = 26 cm e um perímetro de 104 cm.

Como converter m² em cm²?

Multiplique por 10.000, não por 100. Como 1 m = 100 cm, um quadrado de 1 m de lado equivale a 100 cm · 100 cm = 10.000 cm². O fator entre unidades de área consecutivas é sempre 100, enquanto entre unidades de comprimento consecutivas é 10: de m² para dm² multiplica-se por 100, de dm² para cm² por mais 100, e o total de m² para cm² é 10.000.

Como achar o lado de um retângulo sabendo a área?

Divida a área pelo lado conhecido. Se a área é 288 cm² e a altura é 16 cm, a base vale 288 : 16 = 18 cm. É o problema inverso da fórmula A = b · h e equivale a resolver a equação 288 = b · 16. A divisão também confere nas unidades, porque cm² dividido por cm resulta em cm. No quadrado o raciocínio muda: como A = l², o lado é a raiz quadrada da área.

Como calcular a área de uma figura composta?

Divida a figura em retângulos e triângulos, calcule a área de cada parte e some. Se a figura tem um recorte, também dá para calcular a área do retângulo que a envolve e subtrair a parte que falta. Para o perímetro o cuidado é outro: percorra apenas o contorno externo, porque os lados onde as partes se encostam ficam dentro da figura e não devem ser contados.