Geometria

Área y perímetro de los polígonos: ejercicios resueltos de fácil a difícil

Cuál es la diferencia entre área y perímetro, las fórmulas de los polígonos más comunes y cinco ejercicios resueltos de dificultad creciente con solución verificada paso a paso.

Recomendado para: 1º ESO · 2º ESO

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados y se mide en cm; el área es la medida de la superficie que encierra el polígono y se mide en cm². Son dos magnitudes distintas: la primera se refiere al borde, la segunda a lo que hay dentro.

El perímetro siempre funciona igual

En cualquier polígono el perímetro se calcula del mismo modo: sumas todos los lados. Las fórmulas abreviadas solo sirven para ahorrar tiempo cuando algunos lados son iguales. En el cuadrado P = 4 × l, en el rombo P = 4 × l, en el rectángulo P = 2 × (b + h). Si la figura no tiene lados iguales, sumas y ya está.

Las fórmulas de área que de verdad necesitas

El área, en cambio, tiene una regla para cada figura:

  • rectángulo: A = b × h
  • cuadrado: A = l × l
  • triángulo: A = (b × h) / 2
  • paralelogramo: A = b × h
  • rombo: A = (d₁ × d₂) / 2
  • trapecio: A = ((B + b) × h) / 2

El error más frecuente no es olvidar la fórmula, sino usar un lado oblicuo como altura. La altura siempre es perpendicular a la base.

Cuando los datos no bastan

Muchos ejercicios no te dan directamente el número que necesitas. Si te piden el perímetro de un rombo y te dan las diagonales, el lado lo sacas con el teorema de Pitágoras. Si te piden el perímetro de un trapecio rectángulo, el lado oblicuo se halla igual. Así que antes de calcular, pregúntate siempre: ¿qué medida me falta y de dónde la saco?

El perímetro y el área no van de la mano

Dos figuras con el mismo perímetro pueden tener áreas muy distintas, y se puede recortar un trozo de una figura de modo que su área baje sin que cambie su perímetro. El último ejercicio de abajo muestra justo ese caso.

En los ejercicios que siguen encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: se empieza por el rectángulo con los datos ya listos, se pasa al rombo y al trapecio donde hay que deducir una medida, y se termina con una figura compuesta. Cada resultado se ha verificado rehaciendo los cálculos.

Ejercicios resueltos

1. Un rectángulo tiene una base de 12 cm y una altura de 7 cm. Calcula su perímetro y su área. base

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  1. El perímetro es la suma de los cuatro lados; en el rectángulo los lados son iguales dos a dos, así que P = 2 × (b + h).
  2. P = 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 cm.
  3. El área del rectángulo es A = b × h.
  4. A = 12 × 7 = 84 cm².

Resultado: P = 38 cm ; A = 84 cm²

2. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula su perímetro y su área. base

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  1. Para el perímetro necesito también la hipotenusa, que obtengo con el teorema de Pitágoras.
  2. h = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
  3. P = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
  4. En el triángulo rectángulo los dos catetos hacen de base y altura: A = (6 × 8) / 2 = 48 / 2 = 24 cm².
  5. Ojo: los números salen iguales, pero 24 cm y 24 cm² son medidas distintas.

Resultado: P = 24 cm ; A = 24 cm²

3. Un rombo tiene las diagonales de 12 cm y 16 cm. Calcula su área y su perímetro. intermedio

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  1. El área del rombo se calcula con las diagonales: A = (d₁ × d₂) / 2.
  2. A = (12 × 16) / 2 = 192 / 2 = 96 cm².
  3. Para el perímetro necesito el lado. Las diagonales del rombo se cortan en su punto medio y en ángulo recto, formando cuatro triángulos rectángulos de catetos 12/2 = 6 cm y 16/2 = 8 cm.
  4. lado = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm.
  5. El rombo tiene cuatro lados iguales: P = 4 × 10 = 40 cm.

Resultado: A = 96 cm² ; P = 40 cm

4. Un trapecio rectángulo tiene la base mayor de 14 cm, la base menor de 8 cm y la altura de 8 cm. Calcula su área y su perímetro. intermedio

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  1. Área del trapecio: A = ((B + b) × h) / 2.
  2. A = ((14 + 8) × 8) / 2 = (22 × 8) / 2 = 176 / 2 = 88 cm².
  3. Para el perímetro me falta el lado oblicuo. En el trapecio rectángulo un lado coincide con la altura (8 cm), mientras que el lado oblicuo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la diferencia de las bases.
  4. diferencia de las bases = 14 − 8 = 6 cm ; lado oblicuo = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm.
  5. P = 14 + 8 + 8 + 10 = 40 cm.

Resultado: A = 88 cm² ; P = 40 cm

5. De un rectángulo de 20 cm × 12 cm se recorta un cuadrado de 5 cm de lado en una esquina, y queda una figura en forma de L. Calcula el área y el perímetro de la figura en L. avanzato

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  1. Área del rectángulo inicial: 20 × 12 = 240 cm².
  2. Área del cuadrado que se quita: 5 × 5 = 25 cm².
  3. Área de la figura en L: 240 − 25 = 215 cm².
  4. Para el perímetro recorro el contorno: 20 + 7 + 5 + 5 + 15 + 12.
  5. P = 64 cm. Es el mismo perímetro del rectángulo inicial, porque los dos lados del cuadrado que desaparecen del contorno (5 + 5) se sustituyen exactamente por los dos lados del corte (5 + 5).
  6. Conclusión: el área bajó 25 cm², el perímetro no cambió.

Resultado: A = 215 cm² ; P = 64 cm

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre área y perímetro?

El perímetro mide el contorno de la figura, es decir cuánto mide la línea que la rodea; el área mide la superficie interior, es decir cuánto espacio ocupa. Vallar un jardín es un problema de perímetro, poner el césped es un problema de área.

¿Por qué el área se mide en cm² y el perímetro en cm?

El perímetro es una suma de longitudes, así que sigue siendo una longitud (cm). El área nace del producto de dos longitudes, y cm por cm da centímetros cuadrados (cm²).

¿Dos figuras con el mismo perímetro tienen siempre la misma área?

No. Un rectángulo de 5 cm × 1 cm y un cuadrado de 3 cm de lado tienen ambos perímetro 12 cm, pero el primero tiene área 5 cm² y el segundo 9 cm². Con el mismo perímetro, cuanto más compacta es la figura, mayor es su área.