Área y perímetro de polígonos: fórmulas y ejercicios

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados y se mide en cm (una longitud); el área es la medida de la superficie que encierra y se mide en cm² (una superficie). Son dos magnitudes distintas y con unidades distintas: la primera se refiere al borde, la segunda a lo que hay dentro. Nunca se mide un perímetro en cm².

El perímetro siempre funciona igual

En cualquier polígono el perímetro se calcula del mismo modo: sumas todos los lados. Las fórmulas abreviadas solo sirven para ahorrar tiempo cuando algunos lados son iguales. En el cuadrado P = 4 × l, en el rombo P = 4 × l, en el rectángulo P = 2 × (b + h). Si la figura no tiene lados iguales, sumas y ya está.

Las fórmulas de área que de verdad necesitas

El área, en cambio, tiene una regla para cada figura:

• rectángulo: A = b × h
• cuadrado: A = l × l
• triángulo: A = (b × h) / 2
• paralelogramo: A = b × h
• rombo: A = (d₁ × d₂) / 2
• trapecio: A = ((B + b) × h) / 2

El error más frecuente no es olvidar la fórmula, sino usar un lado oblicuo como altura. La altura siempre es perpendicular a la base.

Polígonos regulares: la apotema y una sola fórmula

Un polígono es regular cuando todos sus lados y todos sus ángulos son iguales: el pentágono, el hexágono y el octógono regulares son los que más aparecen. Aquí no hace falta una fórmula por figura, porque valen las dos mismas para todas:

• Perímetro: P = n × l, donde n es el número de lados y l el lado.
• Área: A = (P × a) / 2, donde a es la apotema.

La apotema es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado, perpendicular a él. La fórmula del área sale de descomponer el polígono en n triángulos iguales con base l y altura a: cada uno mide (l × a) / 2, y multiplicando por n aparece el perímetro.

Polígono regular	Lados	Perímetro	Área
Pentágono	5	5 × l	(P × a) / 2
Hexágono	6	6 × l	(P × a) / 2
Octógono	8	8 × l	(P × a) / 2

Cuando el enunciado no te da la apotema, la sacas con el teorema de Pitágoras a partir del lado. En el hexágono regular es especialmente cómodo, porque se divide en seis triángulos equiláteros y la apotema es simplemente la altura de uno de ellos.

Cuidado con un caso frecuente: si el polígono es irregular, la fórmula de la apotema no sirve. Hay que dividir la figura en triángulos o rectángulos, calcular cada área por separado y sumarlas.

Cuando los datos no bastan

Muchos ejercicios no te dan directamente el número que necesitas. Si te piden el perímetro de un rombo y te dan las diagonales, el lado lo sacas con el teorema de Pitágoras. Si te piden el perímetro de un trapecio rectángulo, el lado oblicuo se halla igual. Y si la figura es curva en lugar de poligonal, las fórmulas que necesitas son las de la circunferencia y el área del círculo. Así que antes de calcular, pregúntate siempre: ¿qué medida me falta y de dónde la saco?

El perímetro y el área no van de la mano

Dos figuras con el mismo perímetro pueden tener áreas muy distintas, y se puede recortar un trozo de una figura de modo que su área baje sin que cambie su perímetro. El último ejercicio de abajo muestra justo ese caso.

En los ejercicios que siguen encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: se empieza por el rectángulo con los datos ya listos, se pasa al rombo y al trapecio donde hay que deducir una medida, se practica con el pentágono y el hexágono regulares, y se termina con una figura compuesta. Cada resultado se ha verificado rehaciendo los cálculos.