Géométrie

Aire et périmètre : 8 exercices corrigés de polygones

A = b · h pour le rectangle et A = b · h / 2 pour le triangle. Tableau de toutes les formules, conversion des unités et 8 exercices corrigés pas à pas.

Recommandé pour: 6e · 5e

Le périmètre d’un polygone est la somme de ses côtés et se mesure en cm ou en m ; l’aire mesure la surface intérieure et s’exprime en cm² ou en m². Pour le rectangle on a A = b · h, pour le triangle A = b · h / 2 : presque toutes les autres formules découlent de ces deux-là.

Toutes les formules d’aire et de périmètre

Voici le tableau à retenir. La dernière colonne applique chaque formule à un exemple numérique entièrement calculé.

Figure	Périmètre	Aire	Exemple numérique
Carré	P = 4 · c	A = c · c	c = 12 cm : P = 48 cm, A = 144 cm²
Rectangle	P = 2 · (L + l)	A = L · l	15 cm sur 8 cm : P = 46 cm, A = 120 cm²
Triangle	P = somme des trois côtés	A = b · h / 2	b = 18 cm, h = 5 cm : A = 45 cm²
Parallélogramme	P = 2 · (b + côté oblique)	A = b · h	b = 20 cm, h = 7 cm, côté 9 cm : P = 58 cm, A = 140 cm²
Losange	P = 4 · c	A = D · d / 2	D = 24 cm, d = 10 cm, c = 13 cm : P = 52 cm, A = 120 cm²
Trapèze	P = somme des quatre côtés	A = (B + b) · h / 2	B = 19 cm, b = 11 cm, h = 6 cm : A = 90 cm²
Polygone régulier	P = n · c	A = P · a / 2	octogone c = 6 cm, a = 7,2 cm : P = 48 cm, A = 172,8 cm²

Deux lectures importantes de ce tableau. D’abord, dans toute formule d’aire la lettre h désigne la hauteur, c’est-à-dire la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé, et jamais le côté oblique. Ensuite, l’apothème a d’un polygone régulier est la distance du centre au milieu d’un côté, et la formule A = P · a / 2 vaut pour n’importe quel polygone régulier, du triangle équilatéral au décagone.

L’apothème est presque toujours donné dans l’énoncé, car ce n’est pas toujours un nombre entier. Dans un hexagone régulier de 10 cm de côté, par exemple, l’apothème vaut exactement 5√3 cm, soit environ 8,66 cm en arrondissant à deux décimales.

Convertir les unités d’aire

C’est ici que se cache l’erreur la plus fréquente de toute la géométrie plane. Entre deux unités de longueur consécutives le facteur est 10 ; entre deux unités d’aire consécutives il est 100, parce que l’unité d’aire est un carré et que le facteur de longueur intervient deux fois.

Équivalence d’aire	Facteur	Longueur correspondante	Facteur
1 cm² = 100 mm²	100	1 cm = 10 mm	10
1 dm² = 100 cm²	100	1 dm = 10 cm	10
1 m² = 100 dm²	100	1 m = 10 dm	10
1 m² = 10 000 cm²	10 000	1 m = 100 cm	100
1 m² = 1 000 000 mm²	1 000 000	1 m = 1 000 mm	1 000

La dernière ligne montre bien le mécanisme : la longueur passe des m aux mm en multipliant par 1 000, et l’aire en multipliant par 1 000 · 1 000 = 1 000 000.

La méthode en trois étapes

1. Identifier la figure et trier les données. Notez ce qui est la base, ce qui est la hauteur et ce qui est le côté oblique. Dans un parallélogramme ou un trapèze il y a presque toujours une donnée en trop, qui ne sert que pour le périmètre.

2. Choisir la bonne formule et remplacer avec les unités. Gardez les cm ou les m à chaque ligne : si l’aire finale n’est pas en cm², c’est qu’il y a une erreur.

3. Vérifier. Refaites le chemin en sens inverse, par exemple en divisant l’aire par la base pour retrouver la hauteur, ou recalculez la même aire autrement.

Figures composées et problème inverse

Une figure irrégulière faite d’angles droits se traite par décomposition : on la découpe en rectangles et en triangles, on calcule chaque aire et on additionne. Autre possibilité : calculer l’aire du rectangle qui entoure la figure, puis soustraire la partie manquante. Les deux voies doivent donner le même résultat, et les mener toutes les deux est la meilleure vérification possible.

Pour le périmètre la règle change : on ne suit que le contour extérieur. Les côtés par lesquels deux morceaux se touchent sont à l’intérieur de la figure et ne comptent pas. C’est exactement le calcul que l’on fait pour un mur à recouvrir de papier peint : seule la surface compte pour les rouleaux, et seul le contour compte pour les plinthes.

Dans le problème inverse, l’énoncé donne l’aire et demande un côté. Il suffit de retourner la formule : de l’aire du rectangle on tire L = A : l, et de celle du triangle b = 2 · A : h, le 2 réapparaissant parce que la formule directe divisait par lui.

Les erreurs les plus fréquentes

Utiliser le côté oblique à la place de la hauteur. Dans un parallélogramme de base 21 cm, de hauteur 9 cm et de côté 11 cm, l’aire vaut 21 · 9 = 189 cm², jamais 21 · 11. La hauteur est perpendiculaire à la base, le côté oblique non.
Oublier de diviser par 2 dans le triangle et le trapèze. Ce sont les deux formules avec division : A = b · h / 2 et A = (B + b) · h / 2. Sans le 2 l’aire est doublée.
Convertir les aires comme des longueurs. Des m² aux cm² on multiplie par 10 000, pas par 100. Le facteur 100 est celui qui sépare les m² des dm².
Additionner les périmètres des morceaux dans une figure composée. Les côtés intérieurs, là où les morceaux se touchent, ne font pas partie du contour et doivent être écartés.
Écrire l’aire sans le carré dans l’unité. Écrire 630 cm au lieu de 630 cm² compte comme une faute : une aire est toujours une mesure carrée.
Additionner les bases du trapèze avec la hauteur. Dans (B + b) · h / 2, seules les deux bases s’additionnent ; la hauteur multiplie cette somme.

Dès que le contour n’est plus fait de segments mais d’une courbe, ces formules ne suffisent plus et il faut passer au périmètre et à l’aire du cercle, où intervient le nombre pi.

Dans les exercices ci-dessous le schéma reste le même mais la difficulté augmente : on part du rectangle et du triangle, on passe par le parallélogramme avec une donnée piège, par le losange avec ses diagonales et par le trapèze, on arrive au problème inverse et on termine par une figure en L et un problème de terrasse qui exige une conversion d’unités.

Exercices corrigés

1. Un rectangle mesure 35 cm de longueur et 18 cm de largeur. Calculer son périmètre et son aire. base

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Le périmètre est la somme des quatre côtés, et dans un rectangle les côtés opposés sont égaux : P = 2 · (35 cm + 18 cm).
Je calcule la parenthèse : 35 cm + 18 cm = 53 cm, donc P = 2 · 53 cm = 106 cm.
L'aire est le produit des deux dimensions : A = 35 cm · 18 cm = 630 cm².
Vérification : 630 : 35 = 18, c'est bien la largeur de départ. Et 106 : 2 = 53 = 35 + 18. C'est juste.
Attention aux unités : le périmètre est en cm parce que c'est une longueur, l'aire est en cm² parce que j'ai multiplié deux longueurs.

Réponse: P = 106 cm et A = 630 cm²

2. Un triangle a une base de 31 cm et une hauteur relative à cette base de 16 cm. Calculer son aire. base

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J'applique la formule du triangle : A = b · h / 2.
Je multiplie d'abord la base par la hauteur : 31 cm · 16 cm = 496 cm².
Je divise ensuite par 2 : A = 496 cm² : 2 = 248 cm².
Vérification : 248 · 2 = 496 = 31 · 16. C'est juste.
Remarque : avec ces données le périmètre est impossible à calculer, car la hauteur n'est pas un côté du triangle et les deux autres côtés ne sont pas donnés.

Réponse: A = 248 cm²

3. Un parallélogramme a une base de 21 cm, une hauteur de 9 cm et un côté oblique de 11 cm. Calculer son aire et son périmètre. base

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Pour l'aire j'utilise base fois hauteur, jamais base fois côté oblique : A = 21 cm · 9 cm = 189 cm².
Le côté de 11 cm n'intervient pas dans l'aire : c'est un piège, il ne sert que pour le périmètre.
Pour le périmètre j'additionne les quatre côtés, égaux deux à deux : P = 2 · (21 cm + 11 cm) = 2 · 32 cm = 64 cm.
Vérification : avec 21 · 11 j'aurais trouvé 231 cm², une valeur plus grande que l'aire réelle. C'est logique, car le côté oblique n'est jamais plus court que la hauteur.

Réponse: A = 189 cm² et P = 64 cm

4. Un losange a des diagonales de 30 cm et 16 cm. Calculer son aire, son côté et son périmètre. intermedio

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L'aire du losange se calcule avec les diagonales : A = D · d / 2 = 30 cm · 16 cm : 2.
Je calcule : 30 · 16 = 480, donc A = 480 cm² : 2 = 240 cm².
Pour le côté j'utilise le fait que les diagonales se coupent en leur milieu et perpendiculairement : les demi-diagonales valent 30 : 2 = 15 cm et 16 : 2 = 8 cm.
J'applique le [théorème de Pythagore](/fr/blog/theoreme-de-pythagore-exercices-corriges/) dans le triangle rectangle formé par les deux demi-diagonales : côté = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 cm.
Le losange a quatre côtés égaux : P = 4 · 17 cm = 68 cm.
Vérification : 17² = 289 et 225 + 64 = 289. C'est juste, et le côté tombe sur un entier parce que 8, 15 et 17 forment un triplet pythagoricien.

Réponse: A = 240 cm², côté = 17 cm et P = 68 cm

5. Un potager a la forme d'un trapèze dont les bases mesurent 29 m et 17 m, pour une hauteur de 12 m. Calculer son aire. intermedio

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J'applique la formule du trapèze : A = (B + b) · h / 2.
J'additionne les deux bases : 29 m + 17 m = 46 m.
Je multiplie par la hauteur : 46 m · 12 m = 552 m².
Je divise par 2 : A = 552 m² : 2 = 276 m².
Vérification par un autre chemin : la base moyenne vaut 46 : 2 = 23 m, et 23 m · 12 m = 276 m². C'est juste.

Réponse: A = 276 m²

6. Un rectangle a une aire de 448 cm² et une largeur de 14 cm. Déterminer sa longueur et son périmètre. intermedio

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C'est un problème inverse : je connais l'aire et je cherche un côté, je repars donc de A = L · l et j'isole L.
J'écris l'égalité : 448 = L · 14, une [équation du premier degré](/fr/blog/equations-du-premier-degre-exercices-corriges/) d'inconnue L.
Je divise les deux membres par 14 : L = 448 : 14 = 32 cm.
Je connais maintenant les deux dimensions, je calcule le périmètre : P = 2 · (32 cm + 14 cm) = 2 · 46 cm = 92 cm.
Vérification : 32 cm · 14 cm = 448 cm². C'est juste.
L'unité confirme le raisonnement : des cm² divisés par des cm donnent des cm, donc bien une longueur.

Réponse: L = 32 cm et P = 92 cm

7. Une cour de récréation a la forme d'un L. La partie basse est un rectangle de 20 m sur 8 m ; au-dessus, appuyé à gauche, se trouve un rectangle de 12 m sur 6 m. Calculer l'aire et le périmètre de la cour. avanzato

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Je décompose la figure en deux rectangles et je calcule chaque aire séparément.
Rectangle du bas : 20 m · 8 m = 160 m². Rectangle du haut : 12 m · 6 m = 72 m².
J'additionne : A = 160 m² + 72 m² = 232 m².
Pour le périmètre je ne peux PAS additionner les périmètres des deux rectangles : le côté par lequel ils se touchent est à l'intérieur de la figure et ne fait pas partie du contour.
Je parcours le contour réel : 20 m en bas, 8 m en montant à droite, 20 - 12 = 8 m vers la gauche, 6 m en montant, 12 m vers la gauche en haut et 8 + 6 = 14 m en descendant à gauche.
Je somme : P = 20 + 8 + 8 + 6 + 12 + 14 = 68 m.
Vérification : dans une figure en L formée uniquement d'angles droits, le périmètre est égal à celui du rectangle qui l'entoure, ici 20 m sur 14 m, soit 2 · (20 + 14) = 68 m. C'est juste.
En additionnant les deux périmètres j'aurais obtenu 2 · (20 + 8) + 2 · (12 + 6) = 56 + 36 = 92 m, en comptant deux fois les 12 m de contact.

Réponse: A = 232 m² et P = 68 m

8. Une terrasse rectangulaire mesure 6,40 m sur 3,50 m et doit être recouverte de dalles carrées de 40 cm de côté. Combien de dalles faut-il ? avanzato

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Je calcule l'aire de la terrasse : A = 6,40 m · 3,50 m = 22,4 m².
Avant de diviser, les deux aires doivent être dans la même unité. Je convertis le côté de la dalle : 40 cm = 0,4 m.
Aire d'une dalle : 0,4 m · 0,4 m = 0,16 m². En cm² cela ferait 40 · 40 = 1 600 cm², et 1 600 : 10 000 = 0,16 m².
Je divise l'aire de la terrasse par l'aire d'une dalle : 22,4 : 0,16 = 140.
Vérification : 140 · 0,16 m² = 22,4 m². C'est juste.
Erreur à éviter : diviser 6,40 par 40 en mélangeant mètres et centimètres. Il faut convertir avant de diviser, et les aires se convertissent avec le facteur 10 000 entre m² et cm², pas avec le facteur 100 des longueurs.

Réponse: 140 dalles

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre aire et périmètre ?

Le périmètre est la longueur du contour de la figure, donc la somme de tous les côtés, et il se mesure en unités de longueur comme le cm ou le m. L'aire mesure la surface intérieure, la place occupée par la figure, et elle s'exprime en unités carrées comme le cm² ou le m². Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes : un rectangle de 1 cm sur 9 cm et un carré de 5 cm de côté ont tous deux un périmètre de 20 cm, mais leurs aires valent 9 cm² et 25 cm².

Comment calculer l'aire d'un losange avec les diagonales ?

On multiplie les deux diagonales et on divise par 2 : A = D · d / 2. Avec des diagonales de 30 cm et 16 cm, l'aire vaut 30 · 16 : 2 = 240 cm². Le côté n'apparaît pas dans cette formule, mais on peut le retrouver : les diagonales se coupent en leur milieu et perpendiculairement, donc le côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 15 cm et 8 cm, ce qui donne √289 = 17 cm et un périmètre de 68 cm.

Comment convertir des m² en cm² ?

Il faut multiplier par 10 000, et non par 100. Comme 1 m = 100 cm, un carré de 1 m de côté vaut 100 cm · 100 cm = 10 000 cm². Le facteur entre deux unités d'aire consécutives est toujours 100, alors qu'il n'est que de 10 entre deux unités de longueur consécutives : des m² aux dm² on multiplie par 100, des dm² aux cm² encore par 100, ce qui fait bien 10 000 en tout.

Comment trouver un côté d'un rectangle connaissant son aire ?

On divise l'aire par le côté connu. Si l'aire vaut 448 cm² et la largeur 14 cm, la longueur est 448 : 14 = 32 cm. C'est le problème inverse de la formule A = L · l, et cela revient à résoudre l'équation 448 = L · 14. Les unités confirment le calcul, puisque des cm² divisés par des cm donnent des cm. Pour un carré le raisonnement change : comme A = c², le côté est la racine carrée de l'aire.

Comment calculer l'aire d'une figure composée ?

On découpe la figure en rectangles et en triangles, on calcule l'aire de chaque morceau et on additionne. Si la figure présente une découpe, on peut aussi calculer l'aire du rectangle qui l'entoure puis soustraire la partie manquante. Pour le périmètre la précaution est différente : on ne parcourt que le contour extérieur, car les côtés par lesquels les morceaux se touchent sont à l'intérieur de la figure et ne doivent pas être comptés.