Proporzioni: 8 esercizi svolti e le 4 proprietà

Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti: 3 : 12 = 5 : 20 si legge “3 sta a 12 come 5 sta a 20” ed è vera perché entrambi i rapporti valgono 0,25. La regola che risolve tutti gli esercizi è una sola: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

I nomi dei termini

In una proporzione a : b = c : d i quattro numeri hanno un nome preciso, e sbagliare a riconoscerli è l’errore che manda fuori strada tutto il resto.

Termine	Posizione in a : b = c : d	Nome
a	primo	antecedente del primo rapporto, estremo
b	secondo	conseguente del primo rapporto, medio
c	terzo	antecedente del secondo rapporto, medio
d	quarto	conseguente del secondo rapporto, estremo

Gli estremi sono il primo e l’ultimo, i medi sono quelli in mezzo. Da qui la proprietà fondamentale: b · c = a · d.

Come si trova il termine incognito

Non serve imparare quattro formule diverse: il meccanismo è sempre lo stesso, cambia solo quale coppia moltiplichi.

Incognita	Formula	Esempio
primo termine (estremo)	x = (b · c) : d	x : 12 = 5 : 20 → x = (12 · 5) : 20 = 3
secondo termine (medio)	x = (a · d) : c	3 : x = 5 : 20 → x = (3 · 20) : 5 = 12
terzo termine (medio)	x = (a · d) : b	3 : 12 = x : 20 → x = (3 · 20) : 12 = 5
quarto termine (estremo)	x = (b · c) : a	3 : 12 = 5 : x → x = (12 · 5) : 3 = 20

In pratica: moltiplichi i due termini noti del tipo opposto all’incognita e dividi per il terzo termine noto.

Le quattro proprietà da ricordare

Oltre alla proprietà fondamentale esistono quattro trasformazioni che lasciano vera la proporzione. Servono soprattutto nei problemi in cui conosci la somma o la differenza dei termini.

Proprietà	Da a : b = c : d ottieni	Quando la usi
invertire	b : a = d : c	per spostare l’incognita a numeratore
permutare i medi	a : c = b : d	per confrontare grandezze omogenee
comporre	(a + b) : b = (c + d) : d	quando il problema dà la somma
scomporre	(a − b) : b = (c − d) : d	quando il problema dà la differenza

Un esempio della proprietà del comporre: se due parti stanno fra loro come 3 : 4, componendo ottieni (3 + 4) : 4 = 7 : 4. Se la somma delle due parti è 84, scrivi 84 : x = 7 : 4 e ricavi subito la parte più grande, x = (84 · 4) : 7 = 48. È lo stesso risultato del quarto esercizio, dove il totale viene diviso in 7 parti uguali.

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Qui si concentra la metà degli errori, perché lo schema della proporzione sembra funzionare sempre, ma il modo di scriverla cambia.

	Direttamente proporzionali	Inversamente proporzionali
Se una raddoppia	l’altra raddoppia	l’altra si dimezza
Resta costante	il rapporto y : x	il prodotto x · y
Formula	y = k · x	y = k : x
Esempi	quaderni e spesa, ore di lavoro e paga, ingredienti di una ricetta	operai e giorni, velocità e tempo di percorrenza, numero di persone e durata di una scorta

Con le grandezze inversamente proporzionali la proporzione va scritta invertendo uno dei due rapporti: 6 operai stanno a 4 operai come i giorni dei 4 stanno ai giorni dei 6.

Gli errori più comuni

Il primo è scrivere una proporzione diretta dove il legame è inverso: se diminuisci gli operai e ti viene fuori un tempo più corto, il risultato è sbagliato a prescindere dai conti. Prima di calcolare, chiediti sempre se il risultato deve essere maggiore o minore del dato di partenza.

Il secondo è mescolare le unità di misura: in una proporzione tra lunghezze non puoi avere centimetri da una parte e metri dall’altra. Converti tutto prima di applicare la proprietà fondamentale.

Il terzo riguarda le aree. Se ingrandisci una figura con un fattore 1,6, le lunghezze si moltiplicano per 1,6 ma le aree per 1,6² = 2,56, e i volumi per 1,6³. Le aree non sono direttamente proporzionali ai lati, ma ai loro quadrati.

Il quarto è puramente di calcolo: sbagliare la divisione finale. Un rapporto fra numeri è una frazione, quindi conviene semplificare prima di moltiplicare, come si fa nelle operazioni con le frazioni.

Proporzioni, percentuali ed equazioni

Una percentuale è una proporzione con un termine fissato a 100: “il 15% di 240” si scrive 15 : 100 = x : 240. Se ti trovi meglio con questo schema, puoi risolvere con le proporzioni tutti gli esercizi sulle percentuali, sconti e aumenti compresi.

Applicare la proprietà fondamentale, inoltre, trasforma sempre una proporzione in un’uguaglianza del tipo a · x = b: da lì in poi stai risolvendo un’equazione di primo grado, e infatti il passaggio finale è sempre una divisione di entrambi i membri per il coefficiente della x.

Come affrontare gli esercizi

Gli otto esercizi qui sotto seguono l’ordine in cui l’argomento si impara davvero: prima il calcolo del termine incognito e la verifica di una proporzione, poi i problemi di proporzionalità diretta, la ripartizione di un totale e le scale, quindi il caso inverso che fa cadere più studenti, e infine il medio proporzionale e l’ingrandimento in scala, dove il rapporto tra le aree non è quello tra i lati. Ogni risultato è verificato rifacendo il calcolo nell’altro verso.