Geometria
Circunferência e área do círculo: 8 exercícios resolvidos
C = 2πr dá a circunferência e A = πr² dá a área do círculo. Fórmulas diretas e inversas, setor e coroa circular e 8 exercícios resolvidos passo a passo.
Recomendado para: 8º ano · 9º ano
O comprimento da circunferência é C = 2πr e a área do círculo é A = πr². Duas fórmulas curtas, mas que só funcionam se você tomar dois cuidados: usar sempre o raio e nunca o diâmetro, e declarar qual valor de π está usando antes de arredondar.
Circunferência é a linha, círculo é a região
Essa distinção não é frescura de livro didático: ela decide qual fórmula você vai usar e qual unidade vai escrever na resposta.
A circunferência é a linha fechada formada por todos os pontos que ficam à mesma distância de um ponto fixo, o centro. Essa distância é o raio. A circunferência é só o contorno, e por isso ela tem comprimento, medido em cm, m ou km.
O círculo é a região do plano limitada pela circunferência: o contorno mais tudo o que está dentro. O círculo tem área, medida em cm², m² ou km².
Na prática: para saber quanto arame cerca um canteiro redondo, use C = 2πr; para saber quanta grama cobre esse canteiro, use A = πr². É o mesmo raciocínio que separa perímetro de área nas figuras retas, como nos exercícios de área e perímetro de polígonos.
π é uma razão constante, não um número mágico
Se você medir o comprimento de qualquer circunferência e dividir pelo seu diâmetro, sempre encontra o mesmo número, independentemente do tamanho: aproximadamente 3,14159. Esse número é π.
É daí que sai tudo: de C : d = π vem direto C = πd e, como d = 2r, também C = 2πr. Por isso a verificação mais rápida de um exercício de circunferência é dividir o resultado pelo diâmetro e ver se dá o π que você usou.
Como π tem infinitas casas decimais e não é uma fração exata, todo resultado numérico é aproximado. A boa prática é deixar a resposta na forma exata (por exemplo 49π cm²) e só no último passo trocar π por 3,14, dizendo que foi isso que você fez.
Todas as fórmulas, diretas e inversas
A tabela abaixo usa sempre o mesmo círculo, com raio 6 cm e diâmetro 12 cm, para você ver que os seis caminhos levam ao mesmo objeto.
| O que eu quero | Fórmula | Exemplo com r = 6 cm |
|---|---|---|
| Circunferência a partir do raio | C = 2πr | C = 2π · 6 = 12π cm ≈ 37,68 cm |
| Circunferência a partir do diâmetro | C = πd | C = π · 12 = 12π cm ≈ 37,68 cm |
| Área a partir do raio | A = πr² | A = π · 6² = 36π cm² ≈ 113,04 cm² |
| Área a partir do diâmetro | A = πd² : 4 | A = π · 144 : 4 = 36π cm² ≈ 113,04 cm² |
| Raio a partir da circunferência | r = C : (2π) | r = 37,68 : 6,28 = 6 cm |
| Raio a partir da área | r = √(A : π) | r = √(113,04 : 3,14) = √36 = 6 cm |
Todos os valores aproximados da coluna da direita foram obtidos com π ≈ 3,14. Repare que a área a partir do raio e a área a partir do diâmetro dão exatamente o mesmo 36π cm²: são a mesma fórmula, porque d² : 4 = (2r)² : 4 = r².
Setor circular, arco e coroa circular
Um setor circular é uma fatia do círculo delimitada por dois raios e por um arco. A ideia é sempre a mesma: um setor de ângulo α é a fração α/360 do círculo inteiro, então basta tomar essa fração do comprimento ou da área.
A coroa circular é a região entre dois círculos concêntricos, como uma arruela ou uma pista de atletismo vista de cima.
| Figura | Fórmula | Exemplo numérico |
|---|---|---|
| Arco de ângulo α | arco = 2πr · α/360 | r = 9 cm, α = 40°: arco = 2π · 9 · 40/360 = 2π cm ≈ 6,28 cm |
| Setor circular de ângulo α | setor = πr² · α/360 | r = 9 cm, α = 40°: setor = π · 81 · 40/360 = 9π cm² ≈ 28,26 cm² |
| Coroa circular | coroa = π(R² - r²) | R = 9 cm e r = 6 cm: coroa = π(81 - 36) = 45π cm² ≈ 141,3 cm² |
Aproximações obtidas com π ≈ 3,14. Na coroa, o ponto delicado é calcular a diferença dos quadrados R² - r² e não o quadrado da diferença (R - r)²: com R = 9 e r = 6 os dois dão 45 e 9, valores completamente diferentes.
Dobrar o raio quadruplica a área
Em A = πr² o raio está elevado ao quadrado, e é isso que faz a área crescer muito mais depressa do que o contorno. Se o raio dobra, o comprimento da circunferência também dobra, mas a área é multiplicada por 2² = 4. Se o raio triplica, a área fica 3² = 9 vezes maior.
| Raio | Circunferência C = 2πr | Área A = πr² |
|---|---|---|
| 5 cm | 10π cm ≈ 31,4 cm | 25π cm² ≈ 78,5 cm² |
| 10 cm | 20π cm ≈ 62,8 cm | 100π cm² ≈ 314 cm² |
O comprimento dobrou, a área quadruplicou. É a mesma lógica do expoente 2 que você vê nas propriedades da potenciação, e é a razão pela qual uma pizza de 40 cm rende quatro vezes mais que uma de 20 cm, não o dobro.
Erros mais comuns
- Usar o diâmetro no lugar do raio na área. Se d = 20 cm, a área é π · 10² ≈ 314 cm² e não π · 20² ≈ 1256 cm². Esse deslize multiplica o resultado por quatro.
- Confundir 2πr com πr². A primeira é a linha e dá um comprimento, a segunda é a região e dá uma área. Na dúvida, olhe a unidade que o problema pede: cm indica circunferência, cm² indica círculo.
- Achar que dobrando o raio a área dobra. Ela quadruplica, porque o raio aparece ao quadrado.
- Arredondar π cedo demais. Trocar π por 3,14 já no primeiro passo e depois arredondar de novo a cada linha acumula erro. Trabalhe com a forma exata em π e aproxime só no final.
- Escrever a área sem o quadrado na unidade. Área é sempre cm² ou m². Responder 314 cm em vez de 314 cm² é considerado erro na correção.
- Misturar unidades no mesmo problema. Se a roda está em centímetros e o percurso em quilômetros, converta tudo para a mesma unidade antes de dividir.
Quando a figura combina retas e curvas, o caminho é sempre decompor: separe a parte poligonal da parte circular, calcule cada uma e depois some ou subtraia. Em muitos desses problemas o raio não é dado e precisa ser deduzido de um triângulo retângulo, e aí entra o teorema de Pitágoras.
Nos exercícios abaixo a dificuldade cresce de propósito: começamos pela aplicação direta das duas fórmulas, passamos pelo caso em que o enunciado dá o diâmetro, invertemos a fórmula da área com raiz quadrada, entramos em setor e coroa circular, montamos uma figura composta e terminamos com um problema de pizzaria que só se resolve entendendo por que a área cresce com o quadrado do raio.
Exercícios resolvidos
1. Calcule o comprimento da circunferência de um círculo de raio 5 cm. Use π ≈ 3,14. base
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- Escrevo a fórmula do comprimento da circunferência: C = 2πr.
- Substituo o raio: C = 2 · π · 5 = 10π cm. Esta é a forma exata, ainda sem nenhum arredondamento.
- Agora dou o valor aproximado usando π ≈ 3,14: C = 10 · 3,14 = 31,4 cm.
- Verificação: divido o comprimento pelo diâmetro, 31,4 : 10 = 3,14. Reencontro exatamente o valor de π que usei, então a conta está coerente.
Resposta: C = 10π cm ≈ 31,4 cm (com π ≈ 3,14)
2. Calcule a área de um círculo de raio 7 cm. Use π ≈ 3,14. base
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- A fórmula da área do círculo é A = πr². Aqui o raio entra ao quadrado, não multiplicado por 2 como no comprimento.
- Substituo: A = π · 7² = 49π cm². Forma exata.
- Valor aproximado com π ≈ 3,14: A = 49 · 3,14 = 153,86 cm².
- Verificação: o círculo cabe dentro do quadrado de lado 14 cm, que tem 196 cm². Como 153,86 cm² é um pouco menor que 196 cm², a ordem de grandeza está certa.
Resposta: A = 49π cm² ≈ 153,86 cm² (com π ≈ 3,14)
3. Uma tampa circular tem 20 cm de diâmetro. Calcule a circunferência e a área do círculo correspondente. Use π ≈ 3,14. base
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- O enunciado dá o diâmetro, não o raio. Primeiro passo obrigatório: r = d : 2 = 20 : 2 = 10 cm.
- Circunferência: posso usar direto o diâmetro com C = πd = 20π cm, que com π ≈ 3,14 dá 62,8 cm.
- Área: A = πr² = π · 10² = 100π cm², que com π ≈ 3,14 dá 314 cm².
- O erro clássico é jogar o 20 na fórmula da área: daria 400π cm² ≈ 1256 cm², quatro vezes o valor correto.
- Verificação: 62,8 : 20 = 3,14, o mesmo π que usei. Confere.
Resposta: C = 20π cm ≈ 62,8 cm e A = 100π cm² ≈ 314 cm² (com π ≈ 3,14)
4. A área de um círculo é 200,96 cm². Determine o raio, o diâmetro e a circunferência. Use π ≈ 3,14. intermedio
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- Parto de A = πr² e isolo o quadrado do raio: r² = A : π.
- Substituo os números: r² = 200,96 : 3,14 = 64.
- Extraio a raiz quadrada e fico só com a solução positiva, porque o raio é um comprimento: r = √64 = 8 cm.
- O diâmetro é o dobro do raio: d = 2 · 8 = 16 cm.
- A circunferência: C = 2πr = 16π cm, que com π ≈ 3,14 dá 50,24 cm.
- Verificação: refaço o caminho de ida, A = 3,14 · 8² = 3,14 · 64 = 200,96 cm². É o valor do enunciado. Confere.
Resposta: r = 8 cm, d = 16 cm e C = 16π cm ≈ 50,24 cm (com π ≈ 3,14)
5. Num círculo de raio 12 cm, considere um setor circular de ângulo central 60°. Calcule o comprimento do arco e a área do setor. Use π ≈ 3,14. intermedio
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- Um setor de 60° corresponde à fração 60/360 = 1/6 do círculo inteiro. A conta toda se resume a tomar um sexto das medidas do círculo completo.
- Circunferência inteira: C = 2π · 12 = 24π cm. O arco é a sexta parte: arco = 24π : 6 = 4π cm, que com π ≈ 3,14 dá 12,56 cm.
- Área do círculo inteiro: A = π · 12² = 144π cm². O setor é a sexta parte: 144π : 6 = 24π cm², que com π ≈ 3,14 dá 75,36 cm².
- Verificação: seis setores iguais reconstroem o círculo, e 6 · 75,36 = 452,16 cm². De fato 3,14 · 144 = 452,16 cm². Confere.
Resposta: arco = 4π cm ≈ 12,56 cm e setor = 24π cm² ≈ 75,36 cm² (com π ≈ 3,14)
6. Uma arruela metálica tem raio externo 10 cm e raio interno 4 cm. Calcule a área da coroa circular. Use π ≈ 3,14. intermedio
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- A coroa circular é o que sobra do círculo maior depois de retirar o menor: A = πR² - πr² = π(R² - r²).
- Calculo primeiro a diferença dos quadrados: 10² - 4² = 100 - 16 = 84.
- Portanto A = 84π cm², que com π ≈ 3,14 dá 263,76 cm².
- Atenção à armadilha: (10 - 4)² = 36 não é a mesma coisa que 100 - 16 = 84. A diferença de quadrados nunca é o quadrado da diferença.
- Verificação em duas partes: círculo maior 3,14 · 100 = 314 cm², círculo menor 3,14 · 16 = 50,24 cm², e 314 - 50,24 = 263,76 cm². Confere.
Resposta: A = 84π cm² ≈ 263,76 cm² (com π ≈ 3,14)
7. Um quadrado de lado 20 cm tem um círculo inscrito, ou seja, o círculo toca os quatro lados. Calcule a área da região que sobra entre o quadrado e o círculo. Use π ≈ 3,14. avanzato
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- Se o círculo é inscrito, o diâmetro é igual ao lado do quadrado: d = 20 cm, logo r = 10 cm.
- Área do quadrado: 20² = 400 cm².
- Área do círculo: A = π · 10² = 100π cm², que com π ≈ 3,14 dá 314 cm².
- Subtraio, mantendo primeiro a forma exata: área restante = (400 - 100π) cm², que com π ≈ 3,14 dá 400 - 314 = 86 cm².
- Verificação de sentido: o círculo inscrito ocupa sempre π/4 ≈ 0,785 do quadrado, ou seja cerca de 78,5%, e sobram cerca de 21,5%. De fato 86 : 400 = 0,215. Confere.
Resposta: (400 - 100π) cm² ≈ 86 cm² (com π ≈ 3,14)
8. Numa pizzaria, a pizza broto tem 20 cm de diâmetro e custa R$ 20,00; a pizza grande tem 40 cm de diâmetro e custa R$ 60,00. Com R$ 60,00 compensa mais levar três brotos ou uma grande? Use π ≈ 3,14. avanzato
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- Passo os diâmetros para raios antes de qualquer conta: broto r = 10 cm, grande r = 20 cm.
- Área do broto: A = π · 10² = 100π cm², que com π ≈ 3,14 dá 314 cm².
- Área da grande: A = π · 20² = 400π cm², que com π ≈ 3,14 dá 1256 cm².
- Comparo o que se leva por R$ 60,00: três brotos dão 3 · 314 = 942 cm², uma grande sozinha dá 1256 cm².
- Preço por centímetro quadrado: no broto 20 : 314 ≈ 0,064 real por cm²; na grande 60 : 1256 ≈ 0,048 real por cm².
- Verificação: o raio da grande é o dobro, então a área é 2² = 4 vezes maior, e de fato 1256 : 314 = 4. Uma grande equivale a quatro brotos, não a dois.
Resposta: Compensa a grande: 400π cm² ≈ 1256 cm² contra 300π cm² ≈ 942 cm² dos três brotos (com π ≈ 3,14)
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre circunferência e círculo?
A circunferência é a linha, o conjunto dos pontos que estão à mesma distância do centro; o círculo é a região do plano cercada por essa linha, ou seja, a linha mais todo o miolo. Por isso a circunferência tem comprimento, medido em centímetros, e o círculo tem área, medida em centímetros quadrados. Quando o exercício pede quanto arame é preciso para cercar um canteiro redondo, a resposta é o comprimento da circunferência; quando pede quanta grama cobre o canteiro, é a área do círculo.
Como calcular a área do círculo tendo o diâmetro?
Divida o diâmetro por dois para achar o raio e só depois aplique A = πr². Com d = 20 cm, o raio é 10 cm e a área é π · 10² = 100π cm², ou seja cerca de 314 cm² com π ≈ 3,14. Quem quiser pular essa etapa pode usar a fórmula equivalente A = πd² : 4, que dá o mesmo resultado. O erro mais caro da geometria plana é jogar o diâmetro direto no lugar do raio: o resultado sai quatro vezes maior.
Qual é a fórmula do comprimento da circunferência?
É C = 2πr, com r o raio, ou C = πd usando o diâmetro, já que d = 2r. As duas formas são a mesma fórmula escrita de jeitos diferentes. O resultado é um comprimento e por isso a unidade é linear: cm, m, km. Sempre que possível deixe a resposta na forma exata, como C = 10π cm, e só no final substitua π por 3,14 para dar o valor aproximado, declarando o arredondamento.
Como achar o raio sabendo a área do círculo?
Inverta a fórmula A = πr². Primeiro divida a área por π para obter r², depois extraia a raiz quadrada: r = √(A : π). Se a área é 200,96 cm², então r² = 200,96 : 3,14 = 64 e r = √64 = 8 cm. Fique só com a raiz positiva, porque um raio é um comprimento e não pode ser negativo. Para conferir, refaça o caminho de ida: 3,14 · 8² = 200,96 cm².
Se eu dobrar o raio, a área do círculo dobra?
Não, a área fica quatro vezes maior. Como o raio aparece ao quadrado em A = πr², multiplicar o raio por 2 multiplica a área por 2² = 4. Um círculo de raio 10 cm tem 100π cm² ≈ 314 cm² e um de raio 20 cm tem 400π cm² ≈ 1256 cm², que é o quádruplo. Já o comprimento da circunferência, esse sim, apenas dobra, porque em C = 2πr o raio aparece na primeira potência.