Teoremi di Euclide: 8 esercizi svolti e formule

I teoremi di Euclide descrivono cosa succede quando in un triangolo rettangolo si traccia l’altezza relativa all’ipotenusa. Sono due, e in formule si riassumono in una riga: a² = c · p (primo teorema) e h² = p · q (secondo teorema), dove c è l’ipotenusa, a un cateto, p la sua proiezione sull’ipotenusa, q l’altra proiezione e h l’altezza.

Detti a parole: ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione su di essa, e l’altezza è medio proporzionale tra le due proiezioni. Servono in tutti gli esercizi in cui compaiono l’altezza sull’ipotenusa o le proiezioni dei cateti, dove il solo teorema di Pitagora non basta.

Gli elementi della figura

Prima delle formule serve saper leggere il disegno: in un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in C, tracciando l’altezza da C all’ipotenusa AB compaiono cinque grandezze.

Simbolo	Che cos’è	Dove si trova nel disegno
c	ipotenusa	il lato opposto all’angolo retto, il più lungo
a, b	cateti	i due lati che formano l’angolo retto
h	altezza relativa all’ipotenusa	dal vertice dell’angolo retto, perpendicolare all’ipotenusa
p	proiezione del cateto a	il pezzo di ipotenusa dalla parte di a
q	proiezione del cateto b	il pezzo di ipotenusa dalla parte di b

Due relazioni valgono sempre e sono il controllo più rapido di ogni esercizio: p + q = c (le proiezioni ricompongono l’ipotenusa) e h ≤ c : 2 (l’altezza non può superare metà ipotenusa).

Le formule in tabella

Relazione	Formula	Enunciato
Primo teorema di Euclide	a² = c · p e b² = c · q	ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione
Secondo teorema di Euclide	h² = p · q	l’altezza è medio proporzionale tra le due proiezioni
Teorema di Pitagora	a² + b² = c²	il quadrato dell’ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti
Relazione dell’area	a · b = c · h	l’area si calcola con i cateti o con ipotenusa e altezza

L’ultima riga non è un teorema di Euclide, ma va imparata con le altre: nasce dal fatto che l’area dello stesso triangolo si può scrivere come (a · b) : 2 usando i cateti come base e altezza, oppure come (c · h) : 2 usando l’ipotenusa e la sua altezza. È la scorciatoia che serve ogni volta che dai due cateti bisogna ricavare h.

La forma a proporzione

I libri enunciano i due teoremi anche come proporzioni, e in quella forma il nome medio proporzionale diventa evidente:

c : a = a : p (primo teorema) e p : h = h : q (secondo teorema)

In entrambe la stessa grandezza occupa i due posti centrali. Dato che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, da c : a = a : p si ottiene subito a² = c · p.

Quale teorema usare: la tabella di decisione

Qui si perdono più punti che nei calcoli. La regola è guardare quali grandezze dà il testo.

Dati del problema	Cosa usare	Formula
ipotenusa e una proiezione	primo teorema	a = √(c · p)
un cateto e la sua proiezione	primo teorema al contrario	c = a² : p
un cateto e l’ipotenusa	primo teorema al contrario	p = a² : c
le due proiezioni	secondo teorema	h = √(p · q)
i due cateti	Pitagora + relazione dell’area	c = √(a² + b²), poi h = (a · b) : c
un cateto e l’altezza	Pitagora nel triangolo piccolo	p = √(a² - h²)
ipotenusa e altezza	somma e prodotto delle proiezioni	x² - c·x + h² = 0

Le ultime due righe sono quelle che mandano in crisi: nessun teorema di Euclide collega direttamente un cateto all’altezza. Se il testo dà proprio quella coppia, la strada è Pitagora applicato a uno dei due triangoli piccoli, in cui i cateti sono h e una proiezione e l’ipotenusa è un cateto del triangolo grande.

Un esempio completo: il triangolo 15-20-25

Conviene tenere a mente un triangolo in cui tutti i valori sono interi, così da riconoscere subito un risultato sbagliato.

Grandezza	Valore	Da dove viene
cateti	a = 15, b = 20	dati di partenza
ipotenusa	c = 25	Pitagora: √(225 + 400) = √625
proiezione di a	p = 9	primo teorema: 225 : 25
proiezione di b	q = 16	primo teorema: 400 : 25
altezza	h = 12	secondo teorema: √(9 · 16) = √144
area	150	(15 · 20) : 2 e anche (25 · 12) : 2

Ogni controllo torna: 9 + 16 = 25 e 15 · 20 = 25 · 12 = 300. Altri due triangoli comodi con tutti i valori interi sono 30-40-50 (p = 18, q = 32, h = 24) e 45-60-75 (p = 27, q = 48, h = 36): sono tutti multipli del 3-4-5, ed è per questo che le proiezioni vengono intere.

Perché funzionano: i triangoli simili

L’altezza divide il triangolo rettangolo in due triangoli rettangoli più piccoli. Entrambi hanno un angolo retto e condividono un angolo acuto con il triangolo grande, quindi tutti e tre i triangoli sono simili fra loro: hanno gli stessi angoli e i lati in proporzione.

Triangolo	Cateti	Ipotenusa
grande	a, b	c
piccolo a sinistra	h, p	a
piccolo a destra	h, q	b

Da questa similitudine i due teoremi escono da soli. Nel triangolo grande e in quello di sinistra, il rapporto tra ipotenusa e cateto maggiore adiacente è lo stesso: c : a = a : p, cioè il primo teorema. Fra i due triangoli piccoli, il rapporto tra i cateti dà p : h = h : q, cioè il secondo. Non sono due formule da memorizzare separatamente: sono la stessa similitudine letta in due direzioni.

Il caso limite: quanto può valere l’altezza

Fissata l’ipotenusa, l’altezza non può crescere quanto si vuole. Da p + q = c e p · q = h² segue che p e q sono le soluzioni di x² - c·x + h² = 0, che esistono solo se il discriminante è non negativo:

c² - 4h² ≥ 0, cioè h ≤ c : 2

Il massimo si raggiunge quando Δ = 0, cioè p = q = c : 2: è il triangolo rettangolo isoscele, l’unico in cui l’altezza vale esattamente metà dell’ipotenusa. Con ipotenusa 10 cm, per esempio, l’altezza non può superare 5 cm, e i cateti di quel caso limite misurano √(10 · 5) = √50 ≈ 7,07 cm.

È un controllo che vale la pena fare prima di iniziare i calcoli: se un problema dichiara ipotenusa 10 cm e altezza 6 cm, il triangolo non esiste e l’esercizio va risolto dicendo esattamente questo. L’esercizio 8 qui sotto è proprio di questo tipo.

Errori più comuni

• Abbinare il cateto alla proiezione sbagliata. a va con p, b va con q: ogni cateto sta con la proiezione che parte dal suo stesso vertice. Scrivere a² = c · q è l’errore numero uno e dà un risultato plausibile ma falso.
• Usare il secondo teorema con un cateto. h² = p · q lega l’altezza alle proiezioni, non ai cateti. Scrivere h² = a · b non ha senso: la relazione giusta con i cateti è a · b = c · h.
• Dimenticare la radice. Da a² = 225 il cateto è 15, non 225. È l’errore che costa più punti nei compiti in classe.
• Sommare al posto di sottrarre per trovare la seconda proiezione. Se c = 25 e p = 9, allora q = 25 - 9 = 16, non 25 + 9.
• Applicare i teoremi a un triangolo non rettangolo, o all’altezza tracciata su un cateto invece che sull’ipotenusa. In entrambi i casi le formule sono semplicemente false.
• Non verificare p + q = c. È il controllo più rapido che esista: se le due proiezioni non ricompongono l’ipotenusa, c’è un errore da qualche parte.
• Arrotondare troppo presto. Con dati come 5,4 e 9,6 i risultati restano esatti fino in fondo: si arrotonda solo alla fine, e solo se il testo lo chiede.

Negli otto esercizi qui sotto la difficoltà cresce per davvero, e nessuno si risolve come il precedente. I primi tre applicano i due teoremi in avanti e all’indietro; il quarto e il quinto richiedono un passaggio esterno (Pitagora nel triangolo piccolo, poi la relazione dell’area); il sesto arriva a una equazione di secondo grado impostata su somma e prodotto delle proiezioni; il settimo parte da un rapporto invece che da misure; l’ottavo è un triangolo che non esiste, e va riconosciuto dal discriminante negativo.