Géométrie

Périmètre et aire du cercle : 8 exercices corrigés

P = 2πr donne le périmètre du cercle et A = πr² l'aire du disque. Formules directes et inverses, secteur et couronne, et 8 exercices corrigés pas à pas.

Recommandé pour: 6e · 4e · 3e

Le périmètre du cercle vaut P = 2πr et l’aire du disque vaut A = πr². Deux formules très courtes, mais qui exigent deux précautions : travailler avec le rayon et jamais avec le diamètre, et annoncer clairement la valeur de π choisie avant d’arrondir.

Le cercle est la ligne, le disque est la surface

Cette distinction n’est pas un détail de vocabulaire : elle détermine la formule à écrire et l’unité à mettre dans la réponse.

Le cercle est la ligne fermée constituée de tous les points situés à la même distance d’un point fixe, le centre. Cette distance est le rayon. Le cercle n’est que le contour, il possède donc un périmètre, mesuré en cm, m ou km.

Le disque est la surface délimitée par ce cercle : le contour et tout ce qu’il y a à l’intérieur. Le disque possède une aire, mesurée en cm², m² ou km².

En pratique : la longueur de grillage nécessaire pour entourer un massif rond se calcule avec P = 2πr, la quantité de gazon pour le couvrir avec A = πr². C’est le même raisonnement qui sépare périmètre et aire pour les figures rectilignes, comme dans les exercices sur l’aire et le périmètre des polygones.

π est un rapport constant

Si on mesure le périmètre de n’importe quel cercle et qu’on le divise par son diamètre, on tombe toujours sur le même nombre, quelle que soit la taille du cercle : environ 3,14159. Ce nombre est π.

Tout découle de là : de P : d = π on tire P = πd et, comme d = 2r, on obtient P = 2πr. C’est aussi la vérification la plus rapide d’un exercice de périmètre : on divise le résultat par le diamètre et on doit retrouver la valeur de π utilisée.

Comme π possède une infinité de décimales et n’est égal à aucune fraction, tout résultat numérique est approché. La bonne habitude consiste à garder la valeur exacte, par exemple 49π cm², et à ne remplacer π par 3,14 qu’à la toute fin, en le signalant.

Toutes les formules, directes et inverses

Le tableau ci-dessous porte toujours sur le même cercle, de rayon 4 cm et de diamètre 8 cm, pour montrer que les six chemins mènent au même objet.

Ce que je chercheFormuleExemple avec r = 4 cm
Périmètre à partir du rayonP = 2πrP = 2π · 4 = 8π cm ≈ 25,12 cm
Périmètre à partir du diamètreP = πdP = π · 8 = 8π cm ≈ 25,12 cm
Aire à partir du rayonA = πr²A = π · 4² = 16π cm² ≈ 50,24 cm²
Aire à partir du diamètreA = πd² : 4A = π · 64 : 4 = 16π cm² ≈ 50,24 cm²
Rayon à partir du périmètrer = P : (2π)r = 25,12 : 6,28 = 4 cm
Rayon à partir de l’airer = √(A : π)r = √(50,24 : 3,14) = √16 = 4 cm

Toutes les valeurs approchées de la colonne de droite sont obtenues avec π ≈ 3,14. On remarque que l’aire calculée à partir du rayon et celle calculée à partir du diamètre donnent le même 16π cm² : c’est la même formule, puisque d² : 4 = (2r)² : 4 = r².

Secteur angulaire, longueur d’un arc et couronne

Un secteur angulaire est une part de disque délimitée par deux rayons et un arc. Le principe ne change jamais : un secteur d’angle α représente la fraction α/360 du disque entier, il suffit donc de prendre cette fraction des mesures du cercle complet.

Une couronne est la surface comprise entre deux cercles concentriques, comme une rondelle ou une piste d’athlétisme vue de dessus.

FigureFormuleExemple numérique
Longueur d’un arc d’angle αarc = 2πr · α/360r = 15 cm, α = 72° : arc = 2π · 15 · 72/360 = 6π cm ≈ 18,84 cm
Aire d’un secteur d’angle αsecteur = πr² · α/360r = 15 cm, α = 72° : secteur = π · 225 · 72/360 = 45π cm² ≈ 141,3 cm²
Aire d’une couronnecouronne = π(R² - r²)R = 15 cm et r = 12 cm : couronne = π(225 - 144) = 81π cm² ≈ 254,34 cm²

Valeurs approchées obtenues avec π ≈ 3,14. Pour la couronne, le point délicat est de calculer la différence des carrés R² - r² et non le carré de la différence (R - r)² : avec R = 15 et r = 12 on obtient respectivement 81 et 9, deux résultats sans rapport.

Doubler le rayon quadruple l’aire

Dans A = πr² le rayon est élevé au carré, et c’est ce qui fait grandir l’aire beaucoup plus vite que le contour. Si le rayon double, le périmètre double aussi, mais l’aire est multipliée par 2² = 4. Si le rayon triple, l’aire devient 3² = 9 fois plus grande.

RayonPérimètre P = 2πrAire A = πr²
5 cm10π cm ≈ 31,4 cm25π cm² ≈ 78,5 cm²
10 cm20π cm ≈ 62,8 cm100π cm² ≈ 314 cm²

Le périmètre a doublé, l’aire a quadruplé. C’est exactement l’effet de l’exposant 2 que l’on retrouve dans les propriétés des puissances, et c’est pour cette raison qu’une pizza de 40 cm de diamètre contient quatre fois plus de pâte qu’une pizza de 20 cm, et non deux fois plus.

Les erreurs les plus fréquentes

  • Utiliser le diamètre à la place du rayon dans l’aire. Si d = 20 cm, l’aire vaut π · 10² ≈ 314 cm² et non π · 20² ≈ 1256 cm². Cette confusion multiplie le résultat par quatre.
  • Confondre 2πr et πr². La première formule décrit la ligne et donne une longueur, la seconde décrit la surface et donne une aire. En cas de doute, on regarde l’unité demandée : des cm pour le périmètre, des cm² pour l’aire.
  • Croire qu’en doublant le rayon on double l’aire. L’aire est quadruplée, car le rayon intervient au carré.
  • Arrondir π trop tôt. Remplacer π par 3,14 dès la première ligne puis réarrondir à chaque étape accumule les écarts. Il vaut mieux garder la forme exacte en π et n’approcher qu’à la fin.
  • Oublier le carré dans l’unité d’aire. Une aire s’exprime toujours en cm² ou m². Répondre 314 cm au lieu de 314 cm² coûte des points.
  • Mélanger les unités. Si la roue est mesurée en centimètres et le trajet en kilomètres, il faut tout convertir dans la même unité avant de diviser.

Face à une figure composée, la méthode est toujours de décomposer : on isole la partie rectiligne et la partie circulaire, on calcule chacune séparément, puis on additionne ou on soustrait. Dans beaucoup de ces exercices le rayon n’est pas donné et se déduit d’un triangle rectangle, ce qui ramène au théorème de Pythagore.

Dans les exercices ci-dessous la difficulté augmente volontairement : on commence par l’application directe des deux formules, on passe par le cas où l’énoncé fournit le diamètre, on inverse la formule de l’aire avec une racine carrée, on aborde le secteur angulaire puis la couronne, on décompose une figure composée et on termine par un calcul de tours de roue qui oblige à convertir les unités.

Exercices corrigés

1. Calcule le périmètre d'un cercle de rayon 3 cm. On prendra π ≈ 3,14. base

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  1. J'écris la formule du périmètre du cercle : P = 2πr.
  2. Je remplace le rayon : P = 2 · π · 3 = 6π cm. C'est la valeur exacte, sans aucun arrondi.
  3. Je donne ensuite la valeur approchée avec π ≈ 3,14 : P = 6 · 3,14 = 18,84 cm.
  4. Vérification : je divise le périmètre par le diamètre, 18,84 : 6 = 3,14. Je retrouve la valeur de π que j'ai utilisée, le calcul est donc cohérent.

Réponse: P = 6π cm ≈ 18,84 cm (avec π ≈ 3,14)

2. Calcule l'aire d'un disque de rayon 6 cm. On prendra π ≈ 3,14. base

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  1. La formule de l'aire du disque est A = πr². Attention : c'est le rayon qui est au carré, il n'y a pas de facteur 2 comme dans le périmètre.
  2. Je remplace : A = π · 6² = 36π cm². Valeur exacte.
  3. Valeur approchée avec π ≈ 3,14 : A = 36 · 3,14 = 113,04 cm².
  4. Vérification : le disque est inscrit dans un carré de côté 12 cm, dont l'aire vaut 144 cm². Comme 113,04 cm² est un peu inférieur à 144 cm², l'ordre de grandeur convient.

Réponse: A = 36π cm² ≈ 113,04 cm² (avec π ≈ 3,14)

3. Un couvercle circulaire a un diamètre de 14 cm. Calcule le périmètre du cercle et l'aire du disque correspondant. On prendra π ≈ 3,14. base

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  1. L'énoncé donne le diamètre et non le rayon. Premier réflexe obligatoire : r = d : 2 = 14 : 2 = 7 cm.
  2. Périmètre : j'utilise directement le diamètre avec P = πd = 14π cm, soit 43,96 cm avec π ≈ 3,14.
  3. Aire : A = πr² = π · 7² = 49π cm², soit 153,86 cm² avec π ≈ 3,14.
  4. L'erreur classique serait d'écrire A = π · 14² = 196π cm², soit environ 615,44 cm² : c'est quatre fois trop.
  5. Vérification : 43,96 : 14 = 3,14, la valeur de π utilisée. Le résultat est cohérent.

Réponse: P = 14π cm ≈ 43,96 cm et A = 49π cm² ≈ 153,86 cm² (avec π ≈ 3,14)

4. L'aire d'un disque vaut 314 cm². Détermine son rayon, son diamètre et le périmètre du cercle. On prendra π ≈ 3,14. intermedio

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  1. Je pars de A = πr² et j'isole le carré du rayon : r² = A : π.
  2. Je remplace : r² = 314 : 3,14 = 100.
  3. Je prends la racine carrée en ne gardant que la solution positive, puisqu'un rayon est une longueur : r = √100 = 10 cm.
  4. Le diamètre vaut le double du rayon : d = 2 · 10 = 20 cm.
  5. Le périmètre : P = 2πr = 20π cm, soit 62,8 cm avec π ≈ 3,14.
  6. Vérification : je refais le calcul dans l'autre sens, A = 3,14 · 10² = 314 cm². C'est bien la valeur de l'énoncé.

Réponse: r = 10 cm, d = 20 cm et P = 20π cm ≈ 62,8 cm (avec π ≈ 3,14)

5. Dans un cercle de rayon 8 cm, on considère un secteur angulaire d'angle au centre 45°. Calcule la longueur de l'arc et l'aire du secteur. On prendra π ≈ 3,14. intermedio

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  1. Un secteur de 45° représente la fraction 45/360 = 1/8 du disque entier. Tout le calcul revient à prendre le huitième des mesures du cercle complet.
  2. Périmètre du cercle entier : P = 2π · 8 = 16π cm. L'arc en est le huitième : arc = 16π : 8 = 2π cm, soit 6,28 cm avec π ≈ 3,14.
  3. Aire du disque entier : A = π · 8² = 64π cm². Le secteur en est le huitième : 64π : 8 = 8π cm², soit 25,12 cm² avec π ≈ 3,14.
  4. Vérification : huit secteurs identiques reconstituent le disque, et 8 · 25,12 = 200,96 cm². Or 3,14 · 64 = 200,96 cm². Cela concorde.

Réponse: arc = 2π cm ≈ 6,28 cm et aire du secteur = 8π cm² ≈ 25,12 cm² (avec π ≈ 3,14)

6. Une rondelle métallique a un rayon extérieur de 9 cm et un rayon intérieur de 5 cm. Calcule l'aire de la couronne. On prendra π ≈ 3,14. intermedio

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  1. La couronne est ce qui reste du grand disque lorsqu'on retire le petit : A = πR² - πr² = π(R² - r²).
  2. Je calcule d'abord la différence des carrés : 9² - 5² = 81 - 25 = 56.
  3. Donc A = 56π cm², soit 175,84 cm² avec π ≈ 3,14.
  4. Attention au piège : (9 - 5)² = 16 n'a rien à voir avec 81 - 25 = 56. La différence des carrés n'est jamais le carré de la différence.
  5. Vérification en deux temps : grand disque 3,14 · 81 = 254,34 cm², petit disque 3,14 · 25 = 78,5 cm², et 254,34 - 78,5 = 175,84 cm². Cela concorde.

Réponse: A = 56π cm² ≈ 175,84 cm² (avec π ≈ 3,14)

7. Une piste en forme de stade est formée d'un rectangle de 30 cm sur 20 cm auquel on accole un demi-disque sur chacun des deux côtés de 20 cm. Calcule le périmètre et l'aire de cette figure. On prendra π ≈ 3,14. avanzato

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  1. Les deux demi-disques ont pour diamètre le côté de 20 cm, donc r = 10 cm. Mis bout à bout, ils forment exactement un disque entier.
  2. Aire : rectangle 30 · 20 = 600 cm², plus le disque π · 10² = 100π cm². Total exact (600 + 100π) cm², soit 600 + 314 = 914 cm² avec π ≈ 3,14.
  3. Périmètre : les deux côtés de 20 cm ne font pas partie du contour, ils sont à l'intérieur de la figure. Il reste les deux longueurs de 30 cm et le tour du disque entier.
  4. Périmètre = 2 · 30 + 2π · 10 = (60 + 20π) cm, soit 60 + 62,8 = 122,8 cm avec π ≈ 3,14.
  5. Vérification : l'aire doit dépasser celle du rectangle seul, 600 cm², sans atteindre celle du rectangle englobant de 50 cm sur 20 cm, soit 1000 cm². Avec 914 cm², l'encadrement est respecté.

Réponse: périmètre = (60 + 20π) cm ≈ 122,8 cm et aire = (600 + 100π) cm² ≈ 914 cm² (avec π ≈ 3,14)

8. La roue d'un vélo a un diamètre de 70 cm. Combien de tours complets fait-elle sur un trajet de 1 km ? On prendra π ≈ 3,14. avanzato

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  1. À chaque tour, la roue avance d'une longueur égale au périmètre du cercle.
  2. Périmètre : P = πd = 70π cm, soit 70 · 3,14 = 219,8 cm avec π ≈ 3,14.
  3. Je convertis pour travailler dans la même unité : 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
  4. Nombre de tours : 100 000 : 219,8 ≈ 454,96.
  5. La question porte sur les tours complets, j'arrondis donc à l'entier inférieur : 454 tours entiers, le 455e n'étant pas terminé.
  6. Vérification par encadrement : 454 · 219,8 = 99 789,2 cm, un peu moins de 1 km, alors que 455 tours donneraient 100 009 cm, un peu plus. Le résultat est confirmé.

Réponse: 454 tours complets, car 100 000 : 219,8 ≈ 454,96 (avec π ≈ 3,14)

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le cercle et le disque ?

Le cercle est la ligne : l'ensemble des points situés à la même distance du centre. Le disque est la surface : le cercle et tout l'intérieur. On calcule donc le périmètre d'un cercle, exprimé en cm, et l'aire d'un disque, exprimée en cm². Concrètement, la longueur de grillage qui entoure un massif rond correspond au périmètre du cercle, alors que la quantité de gazon qui le recouvre correspond à l'aire du disque. On entend souvent parler de l'aire d'un cercle, y compris dans les moteurs de recherche, mais c'est un raccourci : dans une copie, écrivez toujours aire du disque.

Comment calculer l'aire d'un disque à partir du diamètre ?

Il faut d'abord diviser le diamètre par deux pour obtenir le rayon, puis appliquer A = πr². Avec d = 14 cm, le rayon vaut 7 cm et l'aire vaut π · 7² = 49π cm², soit environ 153,86 cm² avec π ≈ 3,14. On peut aussi utiliser la formule équivalente A = πd² : 4, qui évite l'étape intermédiaire. Remplacer directement le rayon par le diamètre multiplie le résultat par quatre : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Quelle est la formule du périmètre d'un cercle ?

C'est P = 2πr avec le rayon, ou P = πd avec le diamètre, puisque d = 2r. Les deux écritures désignent la même formule. Le résultat est une longueur, donc l'unité est linéaire : cm, m ou km. Il vaut mieux garder la valeur exacte, par exemple P = 6π cm, et ne remplacer π par 3,14 qu'à la dernière ligne, en précisant l'arrondi utilisé.

Comment trouver le rayon quand on connaît l'aire du disque ?

On inverse la formule A = πr². On divise d'abord l'aire par π pour obtenir r², puis on prend la racine carrée : r = √(A : π). Si l'aire vaut 314 cm², alors r² = 314 : 3,14 = 100 et r = √100 = 10 cm. On ne garde que la racine positive, car un rayon est une longueur. Pour contrôler, on refait le calcul direct : 3,14 · 10² = 314 cm².

Si on double le rayon, est-ce que l'aire du disque double ?

Non, elle est multipliée par quatre. Dans A = πr² le rayon est au carré, donc multiplier le rayon par 2 multiplie l'aire par 2² = 4. Un disque de rayon 5 cm a une aire de 25π cm² ≈ 78,5 cm², tandis qu'un disque de rayon 10 cm a une aire de 100π cm² ≈ 314 cm², soit quatre fois plus. Le périmètre, lui, double effectivement, car dans P = 2πr le rayon est à la puissance 1.