Geometrie

Kreisumfang und Kreisfläche: 8 Aufgaben mit Lösungen

U = 2πr ergibt den Kreisumfang und A = πr² die Kreisfläche. Direkte und umgekehrte Formeln, Kreissektor und Kreisring sowie 8 Aufgaben mit vollem Lösungsweg.

Die Linie und das Gebiet

Der Kreis als Linie und die Kreisfläche als Gebiet sind zwei verschiedene Objekte, und die Unterscheidung entscheidet über Formel und Einheit.

Die Kreislinie besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dieser Abstand ist der Radius, das Doppelte davon der Durchmesser. Die Linie hat eine Länge, den Umfang, gemessen in cm, m oder km.

Die Kreisfläche ist das von dieser Linie eingeschlossene Gebiet. Sie hat einen Flächeninhalt, gemessen in cm², m² oder km².

Praktisch: Die Länge des Zauns um ein rundes Beet berechnet man mit U = 2πr, die Menge Rasen zum Bedecken mit A = πr². Es ist derselbe Unterschied wie zwischen Umfang und Flächeninhalt bei geradlinigen Figuren.

Die Kreiszahl π ist ein festes Verhältnis

Misst man bei einem beliebigen Kreis den Umfang und teilt ihn durch den Durchmesser, erhält man immer dieselbe Zahl, egal wie groß der Kreis ist: etwa 3,14159. Diese Zahl ist π.

Daraus folgt alles Weitere: Aus U : d = π ergibt sich U = πd, und weil d = 2r ist, auch U = 2πr. Das liefert zugleich die schnellste Probe bei Umfangsaufgaben: Ergebnis durch Durchmesser teilen und prüfen, ob die eingesetzte Kreiszahl herauskommt.

Da π unendlich viele Dezimalstellen besitzt und keinem Bruch entspricht, ist jedes Zahlenergebnis ein Näherungswert. Gute Praxis: den exakten Wert stehen lassen, etwa 144π cm², und erst im letzten Schritt π durch 3,14 ersetzen und die Rundung benennen.

Alle Formeln, direkt und umgekehrt

Die folgende Tabelle betrachtet durchgehend denselben Kreis mit dem Radius 10 cm und dem Durchmesser 20 cm, damit sichtbar wird, dass alle sechs Wege dasselbe Objekt beschreiben.

Gesucht	Formel	Beispiel mit r = 10 cm
Umfang aus dem Radius	U = 2πr	U = 2π · 10 = 20π cm ≈ 62,8 cm
Umfang aus dem Durchmesser	U = πd	U = π · 20 = 20π cm ≈ 62,8 cm
Fläche aus dem Radius	A = πr²	A = π · 10² = 100π cm² ≈ 314 cm²
Fläche aus dem Durchmesser	A = πd² : 4	A = π · 400 : 4 = 100π cm² ≈ 314 cm²
Radius aus dem Umfang	r = U : (2π)	r = 62,8 : 6,28 = 10 cm
Radius aus der Fläche	r = √(A : π)	r = √(314 : 3,14) = √100 = 10 cm

Alle Näherungswerte der rechten Spalte sind mit π ≈ 3,14 berechnet. Auffällig: Fläche aus dem Radius und Fläche aus dem Durchmesser liefern dasselbe 100π cm². Es ist dieselbe Formel, denn d² : 4 = (2r)² : 4 = r².

Kreissektor, Bogenlänge und Kreisring

Ein Kreissektor ist ein von zwei Radien und einem Bogen begrenztes Stück der Kreisfläche. Das Prinzip bleibt immer gleich: Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel α ist der Bruchteil α/360 des ganzen Kreises, man nimmt also einfach diesen Anteil der Maße des Vollkreises.

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, etwa eine Unterlegscheibe oder eine Laufbahn von oben gesehen.

Figur	Formel	Zahlenbeispiel
Bogenlänge zum Winkel α	b = 2πr · α/360	r = 6 cm, α = 120°: b = 2π · 6 · 120/360 = 4π cm ≈ 12,56 cm
Kreissektor zum Winkel α	A = πr² · α/360	r = 6 cm, α = 120°: A = π · 36 · 120/360 = 12π cm² ≈ 37,68 cm²
Kreisring	A = π(R² - r²)	R = 6 cm und r = 3 cm: A = π(36 - 9) = 27π cm² ≈ 84,78 cm²

Näherungswerte mit π ≈ 3,14. Beim Kreisring liegt die Schwierigkeit darin, die Differenz der Quadrate R² - r² zu bilden und nicht das Quadrat der Differenz (R - r)²: Mit R = 6 und r = 3 ergibt das eine 27, das andere 9.

Doppelter Radius, vierfache Fläche

In A = πr² steht der Radius im Quadrat, und genau deshalb wächst die Fläche viel schneller als der Rand. Verdoppelt sich der Radius, verdoppelt sich auch der Umfang, die Fläche wird jedoch mit 2² = 4 multipliziert. Verdreifacht sich der Radius, wird die Fläche 3² = 9 mal so groß.

Radius	Umfang U = 2πr	Fläche A = πr²
5 cm	10π cm ≈ 31,4 cm	25π cm² ≈ 78,5 cm²
10 cm	20π cm ≈ 62,8 cm	100π cm² ≈ 314 cm²

Der Umfang hat sich verdoppelt, die Fläche vervierfacht. Es ist derselbe Effekt des Exponenten 2, der auch bei den Potenzgesetzen auftritt, und der Grund dafür, dass eine Pizza mit 40 cm Durchmesser viermal so viel Teig hat wie eine mit 20 cm und nicht doppelt so viel.

Die häufigsten Fehler

Den Durchmesser statt des Radius in die Flächenformel einsetzen. Bei d = 20 cm ist A = π · 10² ≈ 314 cm² und nicht π · 20² ≈ 1256 cm². Dieser Fehler vervierfacht das Ergebnis.
2πr und πr² verwechseln. Die erste Formel beschreibt die Linie und liefert eine Länge, die zweite das Gebiet und liefert einen Flächeninhalt. Im Zweifel hilft die gesuchte Einheit: cm bedeutet Umfang, cm² bedeutet Fläche.
Glauben, dass doppelter Radius doppelte Fläche bedeutet. Die Fläche vervierfacht sich, weil der Radius im Quadrat steht.
Die Kreiszahl zu früh runden. Wer π schon in der ersten Zeile durch 3,14 ersetzt und danach in jeder Zeile erneut rundet, sammelt Abweichungen an. Besser exakt in π rechnen und erst am Ende nähern.
Das Quadrat in der Flächeneinheit vergessen. Ein Flächeninhalt steht immer in cm² oder m². Die Antwort 314 cm statt 314 cm² gilt als Fehler.
Einheiten mischen. Wenn der Radius in Zentimetern und die Strecke in Metern angegeben ist, muss vor dem Dividieren alles in dieselbe Einheit umgerechnet werden.

Bei zusammengesetzten Figuren lautet die Methode immer: zerlegen. Man trennt den geradlinigen Teil vom kreisförmigen, berechnet beide getrennt und addiert oder subtrahiert anschließend. In vielen dieser Aufgaben ist der Radius nicht gegeben, sondern muss über ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt werden, und dann führt der Weg über den Satz des Pythagoras.

In den Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit bewusst an: Sie beginnen mit der direkten Anwendung der beiden Formeln, führen über den Fall, in dem der Durchmesser gegeben ist, zur Umkehrung der Flächenformel mit Quadratwurzel, dann zu Kreissektor und Kreisring, weiter zu einem zusammengesetzten Rundbogenfenster und enden mit einer Sachaufgabe zu einer runden Terrasse, bei der Fläche und Umfang getrennt gebraucht werden.

Gelöste Aufgaben

1. Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Radius 9 cm. Rechne mit π ≈ 3,14. base

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Ich notiere die Formel für den Kreisumfang: U = 2πr.
Ich setze den Radius ein: U = 2 · π · 9 = 18π cm. Das ist der exakte Wert, noch ohne jede Rundung.
Jetzt gebe ich den Näherungswert mit π ≈ 3,14 an: U = 18 · 3,14 = 56,52 cm.
Probe: Ich teile den Umfang durch den Durchmesser, 56,52 : 18 = 3,14. Ich erhalte genau die Kreiszahl zurück, die ich eingesetzt habe. Die Rechnung stimmt.

Ergebnis: U = 18π cm ≈ 56,52 cm (mit π ≈ 3,14)

2. Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 4 cm. Rechne mit π ≈ 3,14. base

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Die Formel für die Kreisfläche lautet A = πr². Hier steht der Radius im Quadrat, es gibt keinen Faktor 2 wie beim Umfang.
Ich setze ein: A = π · 4² = 16π cm². Das ist der exakte Wert.
Näherungswert mit π ≈ 3,14: A = 16 · 3,14 = 50,24 cm².
Probe: Der Kreis passt genau in ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm, also in 64 cm². Da 50,24 cm² etwas kleiner ist als 64 cm², stimmt die Größenordnung.

Ergebnis: A = 16π cm² ≈ 50,24 cm² (mit π ≈ 3,14)

3. Ein runder Deckel hat einen Durchmesser von 24 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des zugehörigen Kreises. Rechne mit π ≈ 3,14. base

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Die Aufgabe gibt den Durchmesser an, nicht den Radius. Der erste Schritt ist deshalb Pflicht: r = d : 2 = 24 : 2 = 12 cm.
Umfang: Hier kann ich den Durchmesser direkt verwenden, U = πd = 24π cm, mit π ≈ 3,14 also 75,36 cm.
Fläche: A = πr² = π · 12² = 144π cm², mit π ≈ 3,14 also 452,16 cm².
Der klassische Fehler wäre, die 24 in die Flächenformel einzusetzen: A = π · 24² = 576π cm² ≈ 1808,64 cm², also das Vierfache des richtigen Werts.
Probe: 75,36 : 24 = 3,14, genau die verwendete Kreiszahl. Stimmt.

Ergebnis: U = 24π cm ≈ 75,36 cm und A = 144π cm² ≈ 452,16 cm² (mit π ≈ 3,14)

4. Ein Kreis hat den Flächeninhalt 78,5 cm². Bestimme den Radius, den Durchmesser und den Umfang. Rechne mit π ≈ 3,14. intermedio

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Ich gehe von A = πr² aus und stelle nach dem Quadrat des Radius um: r² = A : π.
Ich setze die Zahlen ein: r² = 78,5 : 3,14 = 25.
Ich ziehe die Quadratwurzel und behalte nur die positive Lösung, denn ein Radius ist eine Länge: r = √25 = 5 cm.
Der Durchmesser ist doppelt so groß: d = 2 · 5 = 10 cm.
Der Umfang: U = 2πr = 10π cm, mit π ≈ 3,14 also 31,4 cm.
Probe: Ich rechne den Hinweg noch einmal, A = 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5 cm². Das ist der Wert aus der Aufgabe. Stimmt.

Ergebnis: r = 5 cm, d = 10 cm und U = 10π cm ≈ 31,4 cm (mit π ≈ 3,14)

5. In einem Kreis mit dem Radius 8 cm wird ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel 135° betrachtet. Berechne die Bogenlänge und den Flächeninhalt des Sektors. Rechne mit π ≈ 3,14. intermedio

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Ein Sektor mit 135° entspricht dem Bruchteil 135/360 = 3/8 des ganzen Kreises. Die ganze Aufgabe besteht darin, drei Achtel der Maße des Vollkreises zu nehmen.
Umfang des Vollkreises: U = 2π · 8 = 16π cm. Die Bogenlänge ist der Anteil 3/8 davon: b = 16π · 3/8 = 6π cm, mit π ≈ 3,14 also 18,84 cm.
Fläche des Vollkreises: A = π · 8² = 64π cm². Der Sektor ist der Anteil 3/8 davon: 64π · 3/8 = 24π cm², mit π ≈ 3,14 also 75,36 cm².
Probe: Der Vollkreis hat mit π ≈ 3,14 den Inhalt 3,14 · 64 = 200,96 cm², und drei Achtel davon sind 200,96 · 3 : 8 = 75,36 cm². Stimmt.

Ergebnis: b = 6π cm ≈ 18,84 cm und Sektorfläche = 24π cm² ≈ 75,36 cm² (mit π ≈ 3,14)

6. Eine Unterlegscheibe hat den Außenradius 13 cm und den Innenradius 12 cm. Berechne den Flächeninhalt des Kreisrings. Rechne mit π ≈ 3,14. intermedio

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Der Kreisring ist das, was vom großen Kreis übrig bleibt, wenn man den kleinen herausnimmt: A = πR² - πr² = π(R² - r²).
Ich berechne zuerst die Differenz der Quadrate: 13² - 12² = 169 - 144 = 25.
Damit ist A = 25π cm², mit π ≈ 3,14 also 78,5 cm².
Achtung, hier zeigt sich die Falle besonders deutlich: (13 - 12)² = 1, aber 169 - 144 = 25. Die Differenz der Quadrate ist nie das Quadrat der Differenz.
Probe in zwei Schritten: großer Kreis 3,14 · 169 = 530,66 cm², kleiner Kreis 3,14 · 144 = 452,16 cm², Differenz 530,66 - 452,16 = 78,5 cm². Stimmt.

Ergebnis: A = 25π cm² ≈ 78,5 cm² (mit π ≈ 3,14)

7. Ein Rundbogenfenster besteht aus einem Rechteck von 80 cm Breite und 120 cm Höhe, auf das oben ein Halbkreis mit dem Durchmesser 80 cm aufgesetzt ist. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Fensters. Rechne mit π ≈ 3,14. avanzato

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Der Halbkreis hat den Durchmesser 80 cm, also den Radius r = 40 cm.
Fläche des Rechtecks: 80 · 120 = 9600 cm².
Fläche des Halbkreises: die halbe Kreisfläche, also π · 40² : 2 = 1600π : 2 = 800π cm², mit π ≈ 3,14 also 2512 cm².
Gesamtfläche exakt: (9600 + 800π) cm², mit π ≈ 3,14 also 9600 + 2512 = 12112 cm².
Umfang: Die obere Rechteckseite von 80 cm liegt im Inneren der Figur und zählt nicht mit. Es bleiben die untere Seite von 80 cm, die beiden Höhen von je 120 cm und der Halbkreisbogen.
Halbkreisbogen: die Hälfte von 2π · 40 = 80π, also 40π cm, mit π ≈ 3,14 gleich 125,6 cm.
Umfang exakt: (320 + 40π) cm, mit π ≈ 3,14 also 320 + 125,6 = 445,6 cm.
Probe: Die Fläche muss größer als das Rechteck allein (9600 cm²) und kleiner als das umschließende Rechteck von 80 cm auf 160 cm (12800 cm²) sein. Mit 12112 cm² liegt sie genau dazwischen.

Ergebnis: A = (9600 + 800π) cm² ≈ 12112 cm² und U = (320 + 40π) cm ≈ 445,6 cm (mit π ≈ 3,14)

8. Eine kreisrunde Terrasse hat einen Durchmesser von 6 m. Der Belag kostet 24 Euro pro Quadratmeter, die umlaufende Randleiste 12 Euro pro Meter. Wie hoch sind die Gesamtkosten? Rechne mit π ≈ 3,14. avanzato

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Zuerst der Radius: r = d : 2 = 6 : 2 = 3 m. Beide Preise beziehen sich auf unterschiedliche Größen, deshalb brauche ich Fläche und Umfang getrennt.
Fläche: A = πr² = π · 3² = 9π m², mit π ≈ 3,14 also 28,26 m².
Kosten für den Belag: 28,26 · 24 = 678,24 Euro.
Umfang: U = 2πr = 6π m, mit π ≈ 3,14 also 18,84 m.
Kosten für die Randleiste: 18,84 · 12 = 226,08 Euro.
Gesamtkosten: 678,24 + 226,08 = 904,32 Euro.
Probe: Die Terrasse passt in ein Quadrat von 6 m auf 6 m, also in 36 m². Der Anteil 28,26 : 36 = 0,785 entspricht π : 4, dem festen Verhältnis zwischen Kreis und umschließendem Quadrat. Stimmt.

Ergebnis: 904,32 Euro, nämlich 678,24 Euro Belag für 9π m² ≈ 28,26 m² und 226,08 Euro Randleiste für 6π m ≈ 18,84 m (mit π ≈ 3,14)

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kreisumfang und Kreisfläche?

Der Kreisumfang misst die Linie, also den Rand des Kreises, und wird mit U = 2πr berechnet. Die Kreisfläche misst das Gebiet innerhalb dieser Linie und wird mit A = πr² berechnet. Deshalb ist der Umfang eine Länge in cm oder m, die Fläche dagegen ein Flächeninhalt in cm² oder m². Die Länge des Zauns um ein rundes Beet ist der Umfang, die Menge Rasen zum Bedecken des Beetes ist die Fläche. Die Einheit in der Frage verrät immer, welche Formel gemeint ist.

Wie berechnet man die Kreisfläche aus dem Durchmesser?

Man halbiert zuerst den Durchmesser, um den Radius zu erhalten, und setzt ihn dann in A = πr² ein. Bei d = 24 cm ist r = 12 cm und damit A = π · 12² = 144π cm², also rund 452,16 cm² mit π ≈ 3,14. Alternativ nutzt man die gleichwertige Formel A = πd² : 4, die den Zwischenschritt spart. Wer den Durchmesser einfach anstelle des Radius einsetzt, erhält das Vierfache des richtigen Ergebnisses. Das ist der häufigste Fehler im ganzen Kapitel.

Wie berechnet man den Radius aus der Kreisfläche?

Man stellt A = πr² um. Zuerst teilt man die Fläche durch π und erhält r², dann zieht man die Quadratwurzel: r = √(A : π). Bei A = 78,5 cm² ergibt sich r² = 78,5 : 3,14 = 25 und damit r = √25 = 5 cm. Es zählt nur die positive Wurzel, denn ein Radius ist eine Länge. Zur Kontrolle rechnet man den Hinweg zurück: 3,14 · 5² = 78,5 cm².

Was ist die Kreiszahl π genau?

π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. Teilt man bei irgendeinem Kreis den Umfang durch den Durchmesser, kommt immer dieselbe Zahl heraus, unabhängig von der Größe des Kreises: ungefähr 3,14159. Aus U : d = π folgen unmittelbar U = πd und, wegen d = 2r, auch U = 2πr. Da π unendlich viele Dezimalstellen hat und sich nicht als Bruch schreiben lässt, ist jedes Zahlenergebnis gerundet. Deshalb gibt man am besten zuerst den exakten Wert mit π an und rundet erst am Schluss.

Wird die Kreisfläche doppelt so groß, wenn sich der Radius verdoppelt?

Nein, sie wird viermal so groß. In A = πr² steht der Radius im Quadrat, eine Verdopplung des Radius bedeutet also eine Vervierfachung der Fläche um den Faktor 2² = 4. Ein Kreis mit r = 5 cm hat 25π cm² ≈ 78,5 cm², ein Kreis mit r = 10 cm hat 100π cm² ≈ 314 cm². Der Umfang verdoppelt sich dagegen tatsächlich, weil der Radius in U = 2πr nur in der ersten Potenz vorkommt.