Geometria

Circunferencia y área del círculo: fórmulas y ejercicios resueltos

Las fórmulas de la longitud de la circunferencia (C = 2πr) y del área del círculo (A = πr²), cómo despejar el radio y cinco ejercicios resueltos paso a paso con resultados verificados.

Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO

La longitud de la circunferencia se calcula con C = 2πr (o C = πd) y el área del círculo con A = πr². En realidad solo necesitas un dato, el radio: si te dan el diámetro lo divides entre dos, y si te dan la longitud o el área lo despejas.

Circunferencia y círculo no son lo mismo

La circunferencia es la línea, el contorno. El círculo es la superficie que esa línea encierra. La distinción parece quisquillosa hasta que un problema te pide la valla de un parterre redondo y otro te pide cuánta tierra cabe dentro: en el primer caso trabajas con la línea, en el segundo con la superficie. Las unidades te lo recuerdan: cm para la circunferencia, cm² para el área.

Las dos fórmulas y sus inversas

Las fórmulas directas son dos, pero en los exámenes casi siempre hacen falta también al revés:

  • C = 2πr → r = C / (2π)
  • A = πr² → r = √(A / π)
  • d = 2r → r = d / 2

Cuando un ejercicio te da el área y pide la circunferencia (o al contrario), el camino es siempre el mismo: primero vuelves al radio y luego sigues con la otra fórmula. El radio es el puente entre las dos.

Cómo tratar π

π es un número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas. En la ESO se usa casi siempre 3,14. Un consejo práctico: arrastra π como símbolo durante todos los pasos y sustituye 3,14 solo al final, así no acumulas errores de redondeo.

Sectores y coronas

Un sector circular es una porción del círculo: su arco y su área son la misma fracción del total. Si el ángulo central es α, esa fracción es α/360. Una corona circular es un anillo, y su área es el círculo grande menos el pequeño, es decir π(R² − r²).

En los ejercicios siguientes encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: primero el radio te lo dan hecho, luego necesitas las fórmulas inversas y una rueda que gira, y al final un sector y una corona. Cada resultado se ha comprobado rehaciendo los cálculos.

Ejercicios resueltos

1. Un círculo tiene un radio de 5 cm. Calcula la longitud de la circunferencia y el área (usa π ≈ 3,14). base

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  1. La longitud de la circunferencia es C = 2πr.
  2. C = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
  3. El área es A = πr², así que primero r² = 5 × 5 = 25.
  4. A = 3,14 × 25 = 78,5 cm².

Resultado: C = 31,4 cm ; A = 78,5 cm²

2. Una rueda de bicicleta tiene 70 cm de diámetro. ¿Cuántos metros recorre la bici en 100 vueltas completas de la rueda? (π ≈ 3,14) base

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  1. En cada vuelta completa la rueda avanza justo la longitud de su circunferencia.
  2. Como te dan el diámetro, conviene C = πd.
  3. C = 3,14 × 70 = 219,8 cm.
  4. En 100 vueltas: 219,8 × 100 = 21 980 cm.
  5. Paso a metros dividiendo entre 100: 21 980 : 100 = 219,8 m.

Resultado: 219,8 m

3. La longitud de una circunferencia es 43,96 cm. Calcula el radio y el área (π ≈ 3,14). intermedio

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  1. Parto de C = 2πr y despejo: r = C / (2π).
  2. 2π = 2 × 3,14 = 6,28.
  3. r = 43,96 : 6,28 = 7 cm.
  4. Comprobación: 6,28 × 7 = 43,96 cm, correcto.
  5. Ahora el área: A = πr² = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 cm².

Resultado: r = 7 cm ; A = 153,86 cm²

4. En un círculo de radio 12 cm considera un sector circular de 45°. Calcula la longitud del arco y el área del sector (π ≈ 3,14). intermedio

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  1. Un sector de 45° es una fracción del círculo entero: 45/360 = 1/8.
  2. Circunferencia completa: C = 2 × 3,14 × 12 = 75,36 cm.
  3. El arco es un octavo: 75,36 : 8 = 9,42 cm.
  4. Área completa: A = 3,14 × 12² = 3,14 × 144 = 452,16 cm².
  5. El sector es un octavo: 452,16 : 8 = 56,52 cm².

Resultado: arco = 9,42 cm ; área del sector = 56,52 cm²

5. Una corona circular está formada por un círculo exterior de radio 10 cm y uno interior de radio 6 cm. Calcula el área de la corona y qué porcentaje representa respecto al círculo exterior (π ≈ 3,14). avanzato

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  1. El área de la corona es la diferencia de las dos áreas: A = πR² − πr² = π(R² − r²).
  2. R² − r² = 100 − 36 = 64.
  3. A = 3,14 × 64 = 200,96 cm².
  4. Área del círculo exterior: 3,14 × 100 = 314 cm².
  5. Porcentaje: 200,96 : 314 = 0,64, es decir el 64 %.

Resultado: A = 200,96 cm² ; el 64 % del círculo exterior

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?

La circunferencia es la línea curva cerrada, el borde; el círculo es toda la superficie que esa línea encierra. Por eso la circunferencia se mide en cm y el área del círculo en cm².

¿Cuándo uso 3,14 y cuándo dejo π en el resultado?

Si el enunciado pide un valor numérico, usa 3,14 (o 3,1416 si necesitas más precisión). Si pide el resultado exacto, deja π: por ejemplo A = 25π cm² en lugar de 78,5 cm².

¿Cómo hallo el radio si conozco el área?

Despejas de A = πr² y obtienes r = √(A/π). Por ejemplo, si A = 78,5 cm², entonces 78,5 : 3,14 = 25 y r = √25 = 5 cm.