Fisica

Moto uniformemente accelerato: esercizi svolti e formule

Le formule del moto uniformemente accelerato spiegate e applicate: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s, con cinque esercizi svolti e verificati.

Consigliato per: 1ª superiore · 2ª superiore

Nel moto uniformemente accelerato un corpo si muove lungo una retta con accelerazione costante: la velocità cambia sempre della stessa quantità in ogni secondo. Le tre relazioni da conoscere sono v = v₀ + a · t, s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t² e v² = v₀² + 2 · a · s, dove v₀ è la velocità iniziale e a l’accelerazione.

Le tre formule e quando usarle

La prima formula, v = v₀ + a · t, ti dice come cresce la velocità: se un’auto accelera a 3 m/s², ogni secondo guadagna 3 m/s. La seconda, s = v₀ · t + ½ · a · t², serve per lo spazio percorso e si semplifica in s = ½ · a · t² quando si parte da fermi. La terza, v² = v₀² + 2 · a · s, è quella che salva la vita quando il tempo non compare nel problema.

La scelta è quasi automatica: guarda quale grandezza manca nel testo. Se manca lo spazio usi la prima, se manca la velocità finale usi la seconda, se manca il tempo usi la terza.

Frenate e accelerazioni negative

Frenare è un moto uniformemente accelerato con accelerazione di segno opposto alla velocità. In pratica fissi un verso positivo (di solito quello del moto), scrivi la velocità con il segno più e l’accelerazione con il segno meno, e poi lasci fare ai conti. Se il risultato del tempo o dello spazio viene negativo, quasi sempre hai sbagliato un segno in partenza.

Attenzione a un dettaglio che confonde molti: lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità. Raddoppiare la velocità significa quadruplicare lo spazio necessario per fermarsi, e questo si legge direttamente in v² = v₀² + 2 · a · s.

Come leggere i grafici

Nel grafico velocità-tempo il moto uniformemente accelerato è una retta inclinata: la sua pendenza è l’accelerazione. Nel grafico spazio-tempo, invece, la curva è una parabola sempre più ripida, perché il corpo percorre spazi maggiori a ogni secondo che passa.

Un trucco utile per i compiti in classe: l’area compresa sotto il grafico velocità-tempo è lo spazio percorso. Se la figura è un trapezio puoi calcolare lo spazio senza usare la legge oraria, e hai subito un modo indipendente per verificare il risultato.

Il metodo per non sbagliare

Prima di tutto elenca i dati con le unità di misura (metri, secondi, m/s, m/s²) e converti i km/h dividendo per 3,6. Poi segna qual è l’incognita e scegli la formula che non contiene la grandezza mancante. Infine sostituisci i numeri solo alla fine, dopo aver isolato l’incognita.

Negli esercizi qui sotto trovi lo schema applicato a difficoltà crescente, dalla partenza da fermo fino all’inseguimento tra due corpi con moti diversi. Ogni risultato è stato ricontrollato con una seconda formula.

Esercizi svolti

1. Un'auto parte da ferma e accelera uniformemente a 3 m/s². Che velocità raggiunge dopo 8 s? base

Mostra soluzione
  1. Il corpo parte da fermo, quindi v₀ = 0.
  2. Uso la legge della velocità: v = v₀ + a · t = 0 + 3 · 8.
  3. v = 24.

Risultato: v = 24 m/s

2. Uno scooter parte da fermo con accelerazione costante di 2 m/s². Quanto spazio percorre in 6 s? base

Mostra soluzione
  1. Con v₀ = 0 la legge oraria si riduce a s = ½ · a · t².
  2. Sostituisco: s = ½ · 2 · 6² = ½ · 2 · 36.
  3. s = 36.

Risultato: s = 36 m

3. Un treno viaggia a 20 m/s e accelera uniformemente a 1,5 m/s² per 10 s. Calcola la velocità finale e lo spazio percorso. intermedio

Mostra soluzione
  1. Velocità finale: v = v₀ + a · t = 20 + 1,5 · 10 = 35 m/s.
  2. Spazio: s = v₀ · t + ½ · a · t² = 20 · 10 + ½ · 1,5 · 100.
  3. s = 200 + 75 = 275 m.
  4. Verifica con v² = v₀² + 2·a·s: 35² − 20² = 1225 − 400 = 825 e 2 · 1,5 · 275 = 825. Torna.

Risultato: v = 35 m/s ; s = 275 m

4. Un'auto che viaggia a 30 m/s frena uniformemente e si ferma dopo 75 m. Qual è la sua accelerazione e quanto dura la frenata? intermedio

Mostra soluzione
  1. Non conosco il tempo, quindi uso la formula senza tempo: v² = v₀² + 2 · a · s.
  2. All'arresto v = 0: 0 = 30² + 2 · a · 75, cioè 0 = 900 + 150 · a.
  3. a = −900 / 150 = −6 m/s²: il segno meno indica una decelerazione.
  4. Tempo: da v = v₀ + a · t ricavo t = (0 − 30) / (−6) = 5 s.
  5. Verifica: s = 30 · 5 + ½ · (−6) · 5² = 150 − 75 = 75 m. Torna.

Risultato: a = −6 m/s² ; t = 5 s

5. Un'auto è ferma al semaforo e riparte con accelerazione costante di 2 m/s² proprio nell'istante in cui viene superata da un camion che procede a velocità costante di 12 m/s. Dopo quanto tempo l'auto raggiunge il camion e a che distanza dal semaforo? avanzato

Mostra soluzione
  1. Scrivo le due leggi orarie con origine nel semaforo e stesso istante iniziale.
  2. Auto (moto accelerato da fermo): s₁ = ½ · 2 · t² = t².
  3. Camion (moto uniforme): s₂ = 12 · t.
  4. L'incontro avviene quando s₁ = s₂: t² = 12 · t, cioè t · (t − 12) = 0.
  5. La soluzione t = 0 è l'istante di partenza, quindi l'incontro è a t = 12 s.
  6. Distanza: s = 12² = 144 m (e infatti 12 · 12 = 144 m anche per il camion).
  7. Curiosità di controllo: in quel momento l'auto va a v = 2 · 12 = 24 m/s, cioè il doppio del camion.

Risultato: t = 12 s ; s = 144 m dal semaforo

Domande frequenti

Quando devo usare la formula v² = v₀² + 2·a·s?

Quando il problema non ti dà il tempo e non te lo chiede: è l'unica relazione che lega velocità, accelerazione e spazio senza far comparire t. È la scorciatoia tipica dei problemi di frenata, in cui conosci velocità iniziale e spazio di arresto.

L'accelerazione negativa significa che il corpo va all'indietro?

No. Il segno dell'accelerazione dice solo il suo verso rispetto all'asse scelto. Se accelerazione e velocità hanno segni opposti il corpo rallenta; se hanno lo stesso segno accelera. Un corpo che frena ha velocità positiva e accelerazione negativa, ma continua ad avanzare finché la velocità non si annulla.

Che differenza c'è tra i grafici del moto uniforme e di quello uniformemente accelerato?

Nel moto uniforme il grafico spazio-tempo è una retta e quello velocità-tempo è orizzontale. Nel moto uniformemente accelerato il grafico velocità-tempo è una retta inclinata (la pendenza è l'accelerazione) e il grafico spazio-tempo è una parabola. In più, l'area sotto il grafico velocità-tempo è sempre lo spazio percorso.