Física

Movimento uniformemente variado: 8 exercícios resolvidos

As três fórmulas do MUV e como escolher a certa: use v² = v₀² + 2·a·s quando o tempo não aparece. 8 exercícios resolvidos, gráficos e os erros de sinal.

Recomendado para: 9º ano · 1ª série do Ensino Médio

No movimento uniformemente variado (MUV) um corpo se desloca em linha reta com aceleração constante: a velocidade muda sempre da mesma quantidade a cada segundo. As três relações a conhecer são v = v₀ + a · t, s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t² e v² = v₀² + 2 · a · s, em que v₀ é a velocidade inicial e a a aceleração.

As três fórmulas e quando usar cada uma

A escolha é quase automática: veja qual grandeza NÃO aparece no enunciado.

FórmulaNão contémUse quando
v = v₀ + a · ta distância so problema fala de velocidade e tempo
s = v₀ · t + ½ · a · t²a velocidade final vo problema pede a distância a partir do tempo
v² = v₀² + 2 · a · so tempo to tempo não é dado nem pedido (frenagens)

A primeira mostra como a velocidade cresce: se um carro acelera a 3 m/s², ganha 3 m/s a cada segundo. A segunda vira simplesmente s = ½ · a · t² quando se parte do repouso. A terceira, conhecida no Brasil como equação de Torricelli, é a que salva quando o tempo não aparece em lugar nenhum.

Frenagens e acelerações negativas

Frear é um movimento uniformemente variado com aceleração de sinal oposto ao da velocidade. Na prática você fixa um sentido positivo (em geral o do movimento), escreve a velocidade com sinal de mais e a aceleração com sinal de menos, e deixa a conta fazer o resto. Se o tempo ou a distância der negativo, quase sempre houve um erro de sinal logo no começo.

Atenção a um detalhe que confunde muita gente: a distância de frenagem cresce com o quadrado da velocidade. Dobrar a velocidade significa quadruplicar o espaço necessário para parar, e isso se lê direto na equação de Torricelli. O sétimo exercício mostra o cálculo completo.

Como ler os gráficos

Movimento uniforme (MRU)Movimento uniformemente variado (MUV)
Gráfico v × treta horizontalreta inclinada; a inclinação é a aceleração
Gráfico s × treta inclinadaparábola
Área sob o gráfico v × tdistância percorridadistância percorrida
Aceleraçãozeroconstante e diferente de zero

O truque mais útil para a prova: a área sob o gráfico v × t é sempre a distância percorrida. Quando a figura é um trapézio, dá para achar a distância sem usar a função horária, e você ganha uma forma independente de conferir o resultado. A comparação completa com o caso de velocidade constante está nos exercícios de movimento retilíneo uniforme.

Os erros mais comuns

O primeiro é esquecer a conversão de unidades. Velocidade em km/h com aceleração em m/s² não combina: divida por 3,6 antes de qualquer conta.

O segundo é errar o sinal da aceleração numa frenagem. Escolha o sentido positivo uma vez só, no começo, e mantenha a escolha até o fim do problema.

O terceiro é achar que dobrar a velocidade dobra a distância de parada. Como a relação é quadrática, a distância fica quatro vezes maior.

O quarto é aplicar s = ½ · a · t² quando o corpo NÃO parte do repouso. Nesse caso falta a parcela v₀ · t, e o resultado sai bem menor do que o real.

O quinto é puramente algébrico: a função horária tem t², então resolver para o tempo cai numa equação do segundo grau. Das duas raízes, descarte a negativa, que corresponderia a um instante anterior ao início do movimento.

O método para não errar

Primeiro liste os dados com as unidades (metros, segundos, m/s, m/s²) e converta os km/h dividindo por 3,6. Depois marque qual é a incógnita e escolha a fórmula que não contém a grandeza ausente. Por fim substitua os números só no final, depois de isolar a incógnita.

Nos oito exercícios abaixo o esquema aparece em dificuldade crescente: partida do repouso, conversão de unidades, movimento com velocidade inicial, queda livre, frenagem, o caso quadrático da distância de parada e, no fim, a perseguição entre dois corpos com movimentos diferentes. Cada resultado foi conferido com uma segunda fórmula.

Exercícios resolvidos

1. Um carro parte do repouso e acelera uniformemente a 3 m/s². Que velocidade atinge após 8 s? base

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  1. O corpo parte do repouso, então v₀ = 0.
  2. Uso a função da velocidade: v = v₀ + a · t = 0 + 3 · 8.
  3. v = 24 m/s.
  4. Verificação: em 8 s, ganhando 3 m/s por segundo, chega-se mesmo a 24 m/s.

Resposta: v = 24 m/s

2. Uma moto parte do repouso com aceleração constante de 2 m/s². Que distância percorre em 6 s? base

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  1. Com v₀ = 0 a função horária se reduz a s = ½ · a · t².
  2. Substituo: s = ½ · 2 · 6² = ½ · 2 · 36.
  3. s = 36 m.
  4. Verificação por Torricelli: v = 2 · 6 = 12 m/s e v² = 144 = 2 · 2 · 36.

Resposta: s = 36 m

3. Um carro vai de 0 a 108 km/h em 12 s. Qual é a aceleração média em m/s²? base

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  1. Primeiro converto a velocidade: 108 km/h : 3,6 = 30 m/s.
  2. Uso v = v₀ + a · t com v₀ = 0: 30 = a · 12.
  3. a = 30 : 12 = 2,5 m/s².
  4. Verificação: 2,5 · 12 = 30 m/s, que equivalem a 30 · 3,6 = 108 km/h.

Resposta: a = 2,5 m/s²

4. Um trem viaja a 20 m/s e acelera uniformemente a 1,5 m/s² durante 10 s. Calcule a velocidade final e a distância percorrida. intermedio

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  1. Velocidade final: v = v₀ + a · t = 20 + 1,5 · 10 = 35 m/s.
  2. Distância: s = v₀ · t + ½ · a · t² = 20 · 10 + ½ · 1,5 · 100.
  3. s = 200 + 75 = 275 m.
  4. Verificação com v² = v₀² + 2 · a · s: 35² − 20² = 1225 − 400 = 825 e 2 · 1,5 · 275 = 825. Confere.

Resposta: v = 35 m/s ; s = 275 m

5. Um objeto é abandonado do alto de um prédio. Desprezando o ar e com g = 9,8 m/s², qual é a velocidade após 3 s e quanto ele caiu? intermedio

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  1. Queda livre é um MUV com v₀ = 0 e a = g = 9,8 m/s².
  2. Velocidade: v = 9,8 · 3 = 29,4 m/s.
  3. Altura de queda: s = ½ · 9,8 · 3² = ½ · 9,8 · 9 = 44,1 m.
  4. Verificação: v² = 29,4² = 864,36 e 2 · 9,8 · 44,1 = 864,36. Confere.

Resposta: v = 29,4 m/s ; s = 44,1 m

6. Um carro a 30 m/s freia uniformemente e para depois de 75 m. Qual é a aceleração e quanto dura a frenagem? intermedio

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  1. Não sei o tempo, então uso a equação de Torricelli: v² = v₀² + 2 · a · s.
  2. Na parada v = 0: 0 = 30² + 2 · a · 75, ou seja 0 = 900 + 150 · a.
  3. a = −900 : 150 = −6 m/s²: o sinal negativo indica desaceleração.
  4. Tempo: de v = v₀ + a · t vem t = (0 − 30) : (−6) = 5 s.
  5. Verificação: s = 30 · 5 + ½ · (−6) · 5² = 150 − 75 = 75 m. Confere.

Resposta: a = −6 m/s² ; t = 5 s

7. Com a mesma frenagem de −6 m/s², compare a distância de parada de um carro a 15 m/s e de um carro a 30 m/s. O dobro da velocidade dobra a distância? intermedio

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  1. Da equação de Torricelli com v = 0 tiro a fórmula geral: s = v₀² : (2 · 6) = v₀² : 12.
  2. A 15 m/s: s = 15² : 12 = 225 : 12 = 18,75 m.
  3. A 30 m/s: s = 30² : 12 = 900 : 12 = 75 m.
  4. Razão entre as distâncias: 75 : 18,75 = 4, e não 2.
  5. Conclusão: a distância de frenagem cresce com o QUADRADO da velocidade. Dobrar a velocidade quadruplica a distância de parada.

Resposta: 18,75 m e 75 m: a distância fica 4 vezes maior, não 2

8. Um carro está parado no semáforo e arranca com aceleração constante de 2 m/s² exatamente quando é ultrapassado por um caminhão a 12 m/s constantes. Depois de quanto tempo o carro alcança o caminhão e a que distância do semáforo? avanzato

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  1. Escrevo as duas funções horárias com origem no semáforo e o mesmo instante inicial.
  2. Carro (MUV a partir do repouso): s₁ = ½ · 2 · t² = t².
  3. Caminhão (movimento uniforme): s₂ = 12 · t.
  4. O encontro ocorre quando s₁ = s₂: t² = 12 · t, ou seja t · (t − 12) = 0.
  5. A solução t = 0 é o instante da partida, então o encontro é em t = 12 s.
  6. Distância: s = 12² = 144 m (e de fato 12 · 12 = 144 m também para o caminhão).
  7. Controle extra: nesse instante o carro está a v = 2 · 12 = 24 m/s, o dobro da velocidade do caminhão.

Resposta: t = 12 s ; s = 144 m do semáforo

Perguntas frequentes

Quando devo usar a equação de Torricelli v² = v₀² + 2·a·s?

Quando o enunciado não dá o tempo e também não pede o tempo: é a única relação que liga velocidade, aceleração e distância sem fazer t aparecer. É o atalho clássico dos problemas de frenagem, em que você conhece a velocidade inicial e a distância de parada.

Aceleração negativa significa que o corpo anda para trás?

Não. O sinal da aceleração indica apenas o sentido dela em relação ao eixo escolhido. Se aceleração e velocidade têm sinais opostos, o corpo freia; se têm o mesmo sinal, ele acelera. Um carro freando tem velocidade positiva e aceleração negativa, mas continua avançando até a velocidade zerar.

Como converter km/h em m/s?

Divida por 3,6: 108 km/h são 30 m/s e 72 km/h são 20 m/s. Para o caminho inverso, multiplique por 3,6. Esquecer essa conversão é o erro que mais estraga problemas de MUV, porque a aceleração está sempre em m/s².

Qual é a diferença entre os gráficos do MRU e do MUV?

No movimento uniforme o gráfico s × t é uma reta e o gráfico v × t é horizontal. No MUV o gráfico v × t é uma reta inclinada (a inclinação é a aceleração) e o gráfico s × t é uma parábola. Em ambos, a área sob o gráfico v × t é a distância percorrida.

A queda livre é um movimento uniformemente variado?

Sim. Desprezando a resistência do ar, um corpo em queda tem aceleração constante g ≈ 9,8 m/s², então valem exatamente as mesmas três fórmulas, com a substituído por g. Se o corpo é apenas abandonado, v₀ = 0 e a altura da queda é h = ½ · g · t².