Fisica
Caduta libera: formule e 7 esercizi svolti
In caduta libera v = g · t e h = ½ · g · t², con g = 9,8 m/s². Qui trovi le tre formule, la tabella metri-secondi, gli errori tipici e 7 esercizi svolti.
Consigliato per: 1ª superiore · 2ª superiore
Si parla di caduta libera quando un corpo si muove sotto la sola azione del peso e l’attrito dell’aria è trascurabile. L’accelerazione è sempre la stessa per tutti i corpi, g = 9,8 m/s² diretta verso il basso, e le formule da sapere sono v = g · t, h = ½ · g · t² e v² = 2 · g · h.
Le tre formule e quando usarle
| Formula | La usi quando | Ti dà |
|---|---|---|
| v = g · t | conosci il tempo di caduta | la velocità a quell’istante |
| h = ½ · g · t² | conosci il tempo di caduta | lo spazio percorso |
| v² = 2 · g · h | il tempo non c’è e non lo chiedono | la velocità a partire dall’altezza |
Le tre relazioni valgono con partenza da fermo. Se c’è una velocità iniziale v₀ diventano v = v₀ + g · t, h = v₀ · t + ½ · g · t² e v² = v₀² + 2 · g · h: sono le stesse formule del moto uniformemente accelerato, con a sostituito da g.
Una quarta formula utilissima si ricava dalla seconda ed è quella per il tempo di caduta: t = √(2 · h / g). Ti serve ogni volta che il problema ti dà l’altezza e ti chiede quanto dura la caduta.
Tabella: quanto cade un corpo ogni secondo
| Tempo | Altezza caduta h | Velocità v | Spazio in quel secondo |
|---|---|---|---|
| 1 s | 4,9 m | 9,8 m/s | 4,9 m |
| 2 s | 19,6 m | 19,6 m/s | 14,7 m |
| 3 s | 44,1 m | 29,4 m/s | 24,5 m |
| 4 s | 78,4 m | 39,2 m/s | 34,3 m |
| 5 s | 122,5 m | 49,0 m/s | 44,1 m |
La colonna di destra è quella che svela la natura del moto: a differenza del moto rettilineo uniforme, dove ogni secondo il corpo percorre sempre lo stesso spazio, qui ogni secondo si percorre 9,8 m in più del precedente. Nei primi 5 s un corpo scende di 122,5 m, e più di un terzo di quella distanza la fa nell’ultimo secondo.
Perché la massa non conta
È il punto che fa sbagliare più domande di teoria. La forza peso di un corpo è P = m · g, quindi un corpo doppio è tirato in basso con forza doppia: ma ha anche una massa doppia da mettere in movimento. Nella seconda legge della dinamica m · a = m · g la massa si semplifica e resta a = g, identica per tutti.
Nella vita reale una piuma e una moneta non arrivano insieme, ma la responsabile è l’aria. In un tubo svuotato dall’aria la piuma cade esattamente come la moneta: l’esperimento è stato ripetuto anche sulla Luna, dove l’atmosfera non c’è.
Lanci verso l’alto: è sempre caduta libera
Finché l’unica forza è il peso, il moto è caduta libera anche mentre il corpo sale. Conviene fissare come positivo il verso verso l’alto e scrivere l’accelerazione come −g. Due conseguenze pratiche:
- nel punto più alto la velocità è zero, ma l’accelerazione vale ancora 9,8 m/s²;
- salita e discesa, dalla stessa quota, durano lo stesso tempo e avvengono con la stessa velocità in modulo.
Quando il corpo parte da una certa altezza e atterra più in basso, la legge oraria y = h + v₀ · t − ½ · g · t² posta uguale a zero diventa un’equazione di secondo grado: è esattamente il caso dell’ultimo esercizio, e si risolve con la formula vista nelle equazioni di secondo grado.
Quanto vale g altrove
| Corpo celeste | g (m/s²) | Tempo di caduta da 20 m |
|---|---|---|
| Terra | 9,81 | 2,02 s |
| Luna | 1,62 | 4,97 s |
| Marte | 3,72 | 3,28 s |
| Giove | 24,8 | 1,27 s |
I numeri della terza colonna si ottengono con t = √(2 · h / g) e sono un buon modo per controllare di aver capito la formula: con g sei volte più piccolo il tempo non diventa sei volte più grande, ma circa due volte e mezzo, perché g sta sotto una radice.
Gli errori più comuni
- Dividere l’altezza per il tempo per trovare la velocità finale: così ottieni la velocità media, che in caduta libera è esattamente la metà di quella finale.
- Dimenticare il ½ nella formula h = ½ · g · t²: è l’errore che raddoppia tutti i risultati.
- Mettere la massa nelle formule: non compare mai, nemmeno quando il testo te la fornisce (spesso è un dato inutile messo lì di proposito).
- Usare v = g · t quando c’è una velocità iniziale: se il corpo è lanciato e non lasciato cadere, serve v = v₀ + g · t.
- Non convertire i km/h: dividi per 3,6 prima di usare qualunque formula.
- Confondere altezza totale e spazio nell’ultimo secondo: va calcolato come differenza h(t) − h(t − 1).
Il metodo in quattro passi
Primo: scrivi i dati con le unità e converti ciò che va convertito. Secondo: decidi il verso positivo e scrivi il segno di g coerentemente (di solito positivo se scegli il basso, negativo se scegli l’alto). Terzo: scegli la formula che non contiene la grandezza che ti manca. Quarto: ricontrolla il risultato con una formula diversa, come è fatto in tutti gli esercizi qui sotto.
Esercizi svolti
1. Dal parapetto di un ponte sul Po lasci cadere un sasso, che tocca l'acqua dopo 2 s. Con quale velocità arriva e quanto è alto il ponte sull'acqua? base
Mostra soluzione
- Il sasso è lasciato cadere, quindi v₀ = 0 e vale la caduta libera con g = 9,8 m/s².
- Velocità: v = g · t = 9,8 · 2 = 19,6 m/s.
- Altezza: h = ½ · g · t² = ½ · 9,8 · 2² = ½ · 9,8 · 4 = 19,6 m.
- I due numeri coincidono solo per caso, perché t = 2 s: hanno unità diverse (m/s e m) e non vanno confusi.
Risultato: v = 19,6 m/s ; h = 19,6 m
2. Un oggetto cade da fermo da un'altezza di 78,4 m. Quanto tempo impiega ad arrivare a terra e con che velocità ci arriva? base
Mostra soluzione
- Dalla formula h = ½ · g · t² ricavo il tempo: t = √(2 · h / g).
- t = √(2 · 78,4 / 9,8) = √(156,8 / 9,8) = √16 = 4 s.
- Velocità: v = g · t = 9,8 · 4 = 39,2 m/s.
- Verifica con la formula senza tempo: v² = 2 · g · h = 2 · 9,8 · 78,4 = 1536,64 e √1536,64 = 39,2. Torna.
Risultato: t = 4 s ; v = 39,2 m/s
3. Dalla stessa finestra, a 20 m dal suolo, lasci cadere nello stesso istante una sfera di piombo da 2 kg e una pallina di plastica da 0,2 kg. Quale arriva prima e dopo quanto tempo? base
Mostra soluzione
- Nella caduta libera si trascura l'aria, quindi la massa non compare in nessuna formula: entrambe hanno la stessa accelerazione g.
- t = √(2 · h / g) = √(2 · 20 / 9,8) = √(40 / 9,8) = √4,0816… ≈ 2,02 s.
- Velocità d'arrivo: v = g · t = 9,8 · 2,02 ≈ 19,8 m/s, uguale per tutte e due.
- Nella realtà la pallina di plastica è più frenata dall'aria e arriva un po' dopo, ma questo è un effetto dell'attrito, non del peso.
Risultato: Arrivano insieme, t ≈ 2,02 s (v ≈ 19,8 m/s)
4. Da un balcone a 40 m di altezza lanci una pallina verso il basso con velocità iniziale di 5 m/s. Con che velocità arriva a terra e quanto dura la caduta? intermedio
Mostra soluzione
- Qui v₀ ≠ 0, quindi uso le formule complete con verso positivo verso il basso.
- Non conosco il tempo, quindi parto da v² = v₀² + 2 · g · h = 5² + 2 · 9,8 · 40 = 25 + 784 = 809.
- v = √809 ≈ 28,44 m/s.
- Tempo: da v = v₀ + g · t ricavo t = (28,44 − 5) / 9,8 = 23,44 / 9,8 ≈ 2,39 s.
- Verifica: h = v₀ · t + ½ · g · t² = 5 · 2,39 + 4,9 · 2,39² ≈ 11,96 + 28,04 = 40,0 m. Torna.
Risultato: v ≈ 28,4 m/s ; t ≈ 2,39 s
5. Lanci una palla verticalmente verso l'alto con velocità iniziale di 19,6 m/s. Che altezza massima raggiunge e dopo quanto tempo torna nella tua mano? intermedio
Mostra soluzione
- Prendo come positivo il verso verso l'alto: l'accelerazione è −g, cioè −9,8 m/s².
- Nel punto più alto la velocità è nulla: 0 = v₀ − g · t, quindi t_salita = 19,6 / 9,8 = 2 s.
- Altezza massima: h = v₀²/(2 · g) = 19,6² / (2 · 9,8) = 384,16 / 19,6 = 19,6 m.
- La discesa è una caduta libera da 19,6 m e dura esattamente quanto la salita, quindi t_totale = 2 + 2 = 4 s.
- Controllo della discesa: t = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 s. Torna.
Risultato: h_max = 19,6 m ; t_totale = 4 s
6. Un corpo cade da fermo da 122,5 m. Quanti metri percorre nell'ultimo secondo di caduta? avanzato
Mostra soluzione
- Prima il tempo totale: t = √(2 · 122,5 / 9,8) = √25 = 5 s.
- L'ultimo secondo va da t = 4 s a t = 5 s, quindi calcolo lo spazio percorso nei primi 4 s.
- h(4 s) = ½ · 9,8 · 4² = 4,9 · 16 = 78,4 m.
- Spazio nell'ultimo secondo = 122,5 − 78,4 = 44,1 m.
- Nota l'errore da evitare: non è 122,5 / 5 = 24,5 m. In caduta libera gli spazi di ogni secondo crescono come 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 − 44,1 m.
Risultato: 44,1 m (più di un terzo dell'intera caduta)
7. Dalla cima di una torre alta 25 m lanci un sasso verso l'alto con velocità di 15 m/s. Dopo quanto tempo arriva a terra e con quale velocità? avanzato
Mostra soluzione
- Verso positivo verso l'alto, origine alla base della torre: y = 25 + 15 · t − 4,9 · t².
- Il sasso è a terra quando y = 0, cioè 4,9 · t² − 15 · t − 25 = 0.
- Risolvo l'equazione di secondo grado: Δ = 15² + 4 · 4,9 · 25 = 225 + 490 = 715 e √715 ≈ 26,74.
- t = (15 + 26,74) / (2 · 4,9) = 41,74 / 9,8 ≈ 4,26 s (scarto la soluzione negativa, che non ha senso fisico).
- Velocità: v = 15 − 9,8 · 4,26 ≈ −26,7 m/s, cioè 26,7 m/s diretti verso il basso.
- Verifica indipendente con v² = v₀² + 2 · g · h = 15² + 2 · 9,8 · 25 = 225 + 490 = 715 e √715 ≈ 26,74 m/s. Torna.
Risultato: t ≈ 4,26 s ; v ≈ 26,7 m/s verso il basso
Domande frequenti
Perché la massa non influisce sulla caduta libera?
Perché la forza peso è proporzionale alla massa (P = m · g), ma anche l'inerzia da vincere lo è. Nella seconda legge della dinamica, m · a = m · g, la massa si semplifica e resta a = g: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Nella realtà una piuma arriva dopo di un sasso solo perché l'aria la frena, non perché pesa meno.
Quanto vale g e si può usare 10 m/s²?
Il valore medio in Italia è g ≈ 9,81 m/s², e nei problemi si usa quasi sempre 9,8 m/s². Usare 10 m/s² è lecito solo se il testo lo dice esplicitamente o se ti serve una stima rapida: introduce un errore di circa il 2%, che su una verifica con risultato richiesto a due cifre può far sembrare sbagliato un procedimento corretto.
Che differenza c'è tra caduta libera e moto uniformemente accelerato?
Nessuna differenza di formule: la caduta libera è il caso particolare di moto uniformemente accelerato in cui l'accelerazione è quella di gravità, vale 9,8 m/s² ed è sempre diretta verso il basso. Cambia solo che non devi calcolare a, perché la conosci già.
Come si calcola lo spazio percorso nell'ultimo secondo di caduta?
Calcoli lo spazio totale e quello percorso fino a un secondo prima, poi fai la differenza: h(t) − h(t − 1). Non dividere l'altezza per il numero di secondi: in caduta libera gli spazi crescono di secondo in secondo secondo i numeri 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 m e così via.
Un corpo lanciato verso l'alto è ancora in caduta libera?
Sì, se trascuri l'aria. Dall'istante in cui lascia la mano l'unica accelerazione è g diretta verso il basso, anche mentre sta salendo: per questo rallenta. Nel punto più alto la velocità è zero ma l'accelerazione vale ancora 9,8 m/s², ed è questo il motivo per cui il corpo non resta fermo lì.