Physik

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: 8 Aufgaben

Die drei Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung und wann welche gilt. 8 Aufgaben mit Lösungen, Diagramme lesen und typische Vorzeichenfehler vermeiden.

Empfohlen für: 9. Klasse · 10. Klasse

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung bewegt sich ein Körper geradlinig mit konstanter Beschleunigung: die Geschwindigkeit ändert sich in jeder Sekunde um denselben Betrag. Die drei Beziehungen, die man kennen muss, sind v = v₀ + a · t, s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t² und v² = v₀² + 2 · a · s, wobei v₀ die Anfangsgeschwindigkeit und a die Beschleunigung ist.

Die drei Formeln und wann welche gilt

Die Auswahl läuft fast automatisch: schau, welche Größe in der Aufgabe NICHT vorkommt.

FormelEnthält nichtVerwenden, wenn
v = v₀ + a · tden Weg sdie Aufgabe von Geschwindigkeit und Zeit spricht
s = v₀ · t + ½ · a · t²die Endgeschwindigkeit vder Weg aus der Zeit gesucht ist
v² = v₀² + 2 · a · sdie Zeit tdie Zeit weder gegeben noch gesucht ist (Bremsen)

Die erste zeigt, wie die Geschwindigkeit wächst: ein Auto mit 3 m/s² gewinnt jede Sekunde 3 m/s dazu. Die zweite vereinfacht sich zu s = ½ · a · t², sobald aus dem Stand gestartet wird. Die dritte rettet die Aufgabe, sobald die Zeit nirgends auftaucht.

Bremsen und negative Beschleunigung

Bremsen ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, bei der die Beschleunigung das entgegengesetzte Vorzeichen zur Geschwindigkeit hat. Praktisch legst du eine positive Richtung fest (meist die Bewegungsrichtung), schreibst die Geschwindigkeit mit Plus und die Beschleunigung mit Minus und lässt die Rechnung den Rest erledigen. Kommt für Zeit oder Weg ein negativer Wert heraus, steckt fast immer ein Vorzeichenfehler ganz am Anfang.

Ein Detail, das viele überrascht: der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Bremsweg, und genau das liest man an v² = v₀² + 2 · a · s ab. Die siebte Aufgabe rechnet es vollständig vor.

So liest man die Diagramme

Gleichförmige BewegungGleichmäßig beschleunigte Bewegung
v-t-Diagrammwaagerechte Geradegeneigte Gerade; die Steigung ist a
s-t-Diagrammgeneigte GeradeParabel
Fläche unter dem v-t-Diagrammzurückgelegter Wegzurückgelegter Weg
Beschleunigungnullkonstant und ungleich null

Der nützlichste Trick für die Klassenarbeit: die Fläche unter dem v-t-Diagramm ist immer der zurückgelegte Weg. Ist die Figur ein Trapez, bekommst du den Weg ohne Weg-Zeit-Gesetz und hast damit eine unabhängige Kontrolle deines Ergebnisses. Den vollständigen Vergleich mit dem Fall konstanter Geschwindigkeit findest du in den Aufgaben zur gleichförmigen Bewegung.

Die häufigsten Fehler

Der erste: die Einheiten nicht umrechnen. Geschwindigkeit in km/h und Beschleunigung in m/s² passen nicht zusammen, also vor jeder Rechnung durch 3,6 teilen.

Der zweite: beim Bremsen das Vorzeichen der Beschleunigung verwechseln. Lege die positive Richtung einmal am Anfang fest und behalte sie bis zum Schluss bei.

Der dritte: annehmen, doppelte Geschwindigkeit bedeute doppelten Bremsweg. Da der Zusammenhang quadratisch ist, wird der Weg viermal so lang.

Der vierte: s = ½ · a · t² anwenden, obwohl der Körper NICHT aus dem Stand startet. Dann fehlt der Term v₀ · t, und das Ergebnis fällt deutlich zu klein aus.

Der fünfte ist rein algebraisch: im Weg-Zeit-Gesetz steht t², die Suche nach der Zeit führt also auf eine quadratische Gleichung. Von den beiden Lösungen verwirfst du die negative, denn sie läge vor dem Beginn der Bewegung.

Die Methode, mit der nichts schiefgeht

Schreibe zuerst alle Größen mit Einheiten auf (Meter, Sekunden, m/s, m/s²) und rechne km/h durch Teilen mit 3,6 um. Markiere dann die gesuchte Größe und wähle die Formel, in der die fehlende Größe nicht vorkommt. Setze die Zahlen erst zum Schluss ein, nachdem du die Unbekannte freigestellt hast.

Die acht Aufgaben unten wenden dieses Schema mit steigender Schwierigkeit an: Start aus dem Stand, Einheitenumrechnung, Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit, freier Fall, Bremsvorgang, der quadratische Fall des Bremswegs und zum Abschluss das Einholen zweier Körper mit unterschiedlichen Bewegungsarten. Jedes Ergebnis wurde mit einer zweiten Formel gegengeprüft.

Gelöste Aufgaben

1. Ein Auto fährt aus dem Stand an und beschleunigt gleichmäßig mit 3 m/s². Welche Geschwindigkeit erreicht es nach 8 s? base

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  1. Der Körper startet aus der Ruhe, also v₀ = 0.
  2. Ich nutze das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: v = v₀ + a · t = 0 + 3 · 8.
  3. v = 24 m/s.
  4. Probe: 3 m/s pro Sekunde über 8 s ergibt tatsächlich 24 m/s.

Ergebnis: v = 24 m/s

2. Ein Roller startet aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung von 2 m/s². Welchen Weg legt er in 6 s zurück? base

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  1. Mit v₀ = 0 vereinfacht sich das Weg-Zeit-Gesetz zu s = ½ · a · t².
  2. Einsetzen: s = ½ · 2 · 6² = ½ · 2 · 36.
  3. s = 36 m.
  4. Probe: v = 2 · 6 = 12 m/s und v² = 144 = 2 · 2 · 36.

Ergebnis: s = 36 m

3. Ein Auto beschleunigt in 12 s von 0 auf 108 km/h. Wie groß ist die mittlere Beschleunigung in m/s²? base

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  1. Zuerst rechne ich die Geschwindigkeit um: 108 km/h : 3,6 = 30 m/s.
  2. Ich nutze v = v₀ + a · t mit v₀ = 0: 30 = a · 12.
  3. a = 30 : 12 = 2,5 m/s².
  4. Probe: 2,5 · 12 = 30 m/s, das sind 30 · 3,6 = 108 km/h.

Ergebnis: a = 2,5 m/s²

4. Ein Zug fährt mit 20 m/s und beschleunigt 10 s lang gleichmäßig mit 1,5 m/s². Berechne die Endgeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg. intermedio

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  1. Endgeschwindigkeit: v = v₀ + a · t = 20 + 1,5 · 10 = 35 m/s.
  2. Weg: s = v₀ · t + ½ · a · t² = 20 · 10 + ½ · 1,5 · 100.
  3. s = 200 + 75 = 275 m.
  4. Probe mit v² = v₀² + 2 · a · s: 35² − 20² = 1225 − 400 = 825 und 2 · 1,5 · 275 = 825. Stimmt.

Ergebnis: v = 35 m/s ; s = 275 m

5. Ein Gegenstand wird von einem Hochhaus fallen gelassen. Ohne Luftwiderstand und mit g = 9,8 m/s²: Wie schnell ist er nach 3 s und wie tief ist er gefallen? intermedio

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  1. Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v₀ = 0 und a = g = 9,8 m/s².
  2. Geschwindigkeit: v = 9,8 · 3 = 29,4 m/s.
  3. Fallhöhe: s = ½ · 9,8 · 3² = ½ · 9,8 · 9 = 44,1 m.
  4. Probe: v² = 29,4² = 864,36 und 2 · 9,8 · 44,1 = 864,36. Stimmt.

Ergebnis: v = 29,4 m/s ; s = 44,1 m

6. Ein Auto fährt 30 m/s, bremst gleichmäßig und steht nach 75 m. Wie groß ist die Beschleunigung und wie lange dauert der Bremsvorgang? intermedio

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  1. Die Zeit ist unbekannt, also nehme ich die zeitfreie Formel: v² = v₀² + 2 · a · s.
  2. Im Stillstand ist v = 0: 0 = 30² + 2 · a · 75, also 0 = 900 + 150 · a.
  3. a = −900 : 150 = −6 m/s²: das Minuszeichen steht für die Verzögerung.
  4. Zeit: aus v = v₀ + a · t folgt t = (0 − 30) : (−6) = 5 s.
  5. Probe: s = 30 · 5 + ½ · (−6) · 5² = 150 − 75 = 75 m. Stimmt.

Ergebnis: a = −6 m/s² ; t = 5 s

7. Vergleiche bei derselben Bremsverzögerung von −6 m/s² den Bremsweg bei 15 m/s und bei 30 m/s. Verdoppelt die doppelte Geschwindigkeit den Weg? intermedio

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  1. Aus v² = v₀² + 2 · a · s mit v = 0 folgt die allgemeine Formel: s = v₀² : (2 · 6) = v₀² : 12.
  2. Bei 15 m/s: s = 15² : 12 = 225 : 12 = 18,75 m.
  3. Bei 30 m/s: s = 30² : 12 = 900 : 12 = 75 m.
  4. Verhältnis der Wege: 75 : 18,75 = 4, nicht 2.
  5. Ergebnis: der Bremsweg wächst mit dem QUADRAT der Geschwindigkeit. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Bremsweg.

Ergebnis: 18,75 m und 75 m: der Weg wird viermal so lang, nicht doppelt

8. Ein Auto steht an der Ampel und fährt mit konstanter Beschleunigung von 2 m/s² genau in dem Moment an, in dem ein Lkw mit konstanten 12 m/s daran vorbeifährt. Nach welcher Zeit holt das Auto den Lkw ein und in welcher Entfernung von der Ampel? avanzato

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  1. Ich schreibe beide Weg-Zeit-Gesetze mit dem Ursprung an der Ampel und demselben Startzeitpunkt.
  2. Auto (beschleunigt aus dem Stand): s₁ = ½ · 2 · t² = t².
  3. Lkw (gleichförmig): s₂ = 12 · t.
  4. Das Treffen passiert, wenn s₁ = s₂: t² = 12 · t, also t · (t − 12) = 0.
  5. Die Lösung t = 0 ist der Startzeitpunkt, das Einholen erfolgt also bei t = 12 s.
  6. Entfernung: s = 12² = 144 m (und tatsächlich gilt 12 · 12 = 144 m auch für den Lkw).
  7. Zusatzkontrolle: in diesem Moment fährt das Auto mit v = 2 · 12 = 24 m/s, doppelt so schnell wie der Lkw.

Ergebnis: t = 12 s ; s = 144 m nach der Ampel

Häufige Fragen

Wann verwende ich die Formel v² = v₀² + 2·a·s?

Wenn die Aufgabe die Zeit weder angibt noch verlangt: es ist die einzige Beziehung, die Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg ohne t verknüpft. Sie ist die übliche Abkürzung bei Bremsaufgaben, bei denen Anfangsgeschwindigkeit und Bremsweg bekannt sind.

Bedeutet eine negative Beschleunigung, dass sich der Körper rückwärts bewegt?

Nein. Das Vorzeichen gibt nur die Richtung der Beschleunigung bezüglich der gewählten Achse an. Haben Beschleunigung und Geschwindigkeit verschiedene Vorzeichen, wird der Körper langsamer; bei gleichem Vorzeichen wird er schneller. Ein bremsendes Auto hat positive Geschwindigkeit und negative Beschleunigung, fährt aber weiter vorwärts, bis die Geschwindigkeit null wird.

Wie rechnet man km/h in m/s um?

Man teilt durch 3,6: 108 km/h sind 30 m/s und 72 km/h sind 20 m/s. Umgekehrt multipliziert man mit 3,6. Diese Umrechnung zu vergessen ist der Fehler, der die meisten Aufgaben ruiniert, denn die Beschleunigung steht immer in m/s².

Worin unterscheiden sich die Diagramme von gleichförmiger und beschleunigter Bewegung?

Bei der gleichförmigen Bewegung ist das s-t-Diagramm eine Gerade und das v-t-Diagramm waagerecht. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist das v-t-Diagramm eine geneigte Gerade (die Steigung ist die Beschleunigung) und das s-t-Diagramm eine Parabel. In beiden Fällen entspricht die Fläche unter dem v-t-Diagramm dem zurückgelegten Weg.

Ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?

Ja. Ohne Luftwiderstand fällt ein Körper mit der konstanten Beschleunigung g ≈ 9,8 m/s², es gelten also dieselben drei Formeln, nur mit g statt a. Wird der Körper einfach losgelassen, ist v₀ = 0 und die Fallhöhe beträgt h = ½ · g · t².