Matemáticas
Teorema de Pitágoras: cómo se calcula paso a paso
Cómo se calcula el teorema de Pitágoras paso a paso: la fórmula h² = a² + b², cómo sacar la hipotenusa con dos catetos o un cateto, y 8 ejercicios resueltos.
Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos: h² = a² + b². De aquí obtienes la hipotenusa con h = √(a² + b²) y un cateto con a = √(h² − otro cateto²).
Hipotenusa y catetos: quién es quién
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y es siempre el lado más largo. Los otros dos lados, los que forman el ángulo de 90°, se llaman catetos. El teorema une estos tres lados con una única relación entre sus cuadrados.
Cómo sacar la hipotenusa con los dos catetos
Es la pregunta más frecuente, y son tres pasos en este orden:
- Eleva al cuadrado cada cateto por separado: con 6 y 8 obtienes 36 y 64.
- Suma los dos cuadrados: 36 + 64 = 100.
- Extrae la raíz cuadrada de la suma: h = √100 = 10.
El error que invalida el ejercicio es hacer la raíz antes de la suma: √36 + √64 da 14, mientras que la hipotenusa mide 10. La raíz se aplica siempre al total.
Las dos preguntas típicas
Casi todos los ejercicios piden una de dos cosas, y la fórmula cambia solo en el signo:
| Qué conoces | Qué buscas | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Los dos catetos | La hipotenusa | h = √(a² + b²) | √(6² + 8²) = √100 = 10 |
| Hipotenusa y un cateto | El otro cateto | a = √(h² − b²) | √(13² − 5²) = √144 = 12 |
Las ternas pitagóricas que conviene reconocer
Algunos tríos de números enteros cumplen la relación de forma exacta. Reconocerlos ahorra todos los cálculos:
| Terna | Comprobación |
|---|---|
| 3 - 4 - 5 | 9 + 16 = 25 |
| 6 - 8 - 10 | 36 + 64 = 100 |
| 5 - 12 - 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 - 15 - 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 - 24 - 25 | 49 + 576 = 625 |
| 9 - 40 - 41 | 81 + 1600 = 1681 |
Cualquier múltiplo de una terna sigue siendo una terna: 3-4-5 multiplicado por 2 da 6-8-10, y por 3 da 9-12-15.
Cómo proceder sin errores
El método es siempre el mismo. Primero identificas el ángulo recto y la hipotenusa. Después decides si buscas la hipotenusa (se suma) o un cateto (se resta). Por último elevas al cuadrado, sumas o restas y extraes la raíz cuadrada.
En los 8 ejercicios resueltos de abajo encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: empieza con catetos enteros, pasa por un problema real con la escalera y una raíz que hay que simplificar, y termina con el teorema recíproco, que sirve para comprobar si un triángulo es rectángulo. Cada resultado está verificado rehaciendo los cálculos.
Ejercicios resueltos
1. En un triángulo rectángulo los dos catetos miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? base
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- La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto: la hallo con h² = a² + b².
- Elevo al cuadrado los catetos: 6² = 36 y 8² = 64.
- Sumo: 36 + 64 = 100.
- La hipotenusa es la raíz cuadrada: h = √100 = 10.
Resultado: h = 10 cm
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y un cateto 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? base
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- Para hallar un cateto resto: b² = h² − a².
- Elevo al cuadrado: 13² = 169 y 5² = 25.
- Resto: 169 − 25 = 144.
- El cateto es la raíz cuadrada: b = √144 = 12.
Resultado: b = 12 cm
3. Una escalera está apoyada en una pared. Su pie está a 1,5 m de la pared y llega a 2 m de altura. ¿Cuánto mide la escalera? intermedio
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- La pared y el suelo forman un ángulo recto, así que la escalera es la hipotenusa.
- Elevo al cuadrado las dos distancias: 1,5² = 2,25 y 2² = 4.
- Sumo: 2,25 + 4 = 6,25.
- Extraigo la raíz: √6,25 = 2,5.
Resultado: La escalera mide 2,5 m
4. Un triángulo rectángulo isósceles tiene los dos catetos iguales, cada uno de 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? intermedio
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- Los dos catetos son iguales: h² = 5² + 5².
- Calculo: 25 + 25 = 50.
- h = √50 ; simplifico la raíz: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
- Valor aproximado: 5 · 1,414 ≈ 7,07.
Resultado: h = 5√2 cm ≈ 7,07 cm
5. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 20 cm y 21 cm. Calcula la hipotenusa y luego el perímetro. avanzato
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- Primero hallo la hipotenusa: h² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
- h = √841 = 29.
- El perímetro es la suma de los tres lados: P = 20 + 21 + 29.
- P = 70.
Resultado: Hipotenusa = 29 cm ; perímetro = 70 cm
6. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? base
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- Busco la hipotenusa conociendo los dos catetos, así que sumo sus cuadrados.
- 9² = 81 y 12² = 144.
- 81 + 144 = 225.
- h = √225 = 15.
Resultado: h = 15 cm
7. Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales, de 7 cm cada uno. ¿Cuánto mide la hipotenusa? intermedio
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- Sumo los cuadrados de los catetos: 7² + 7² = 49 + 49 = 98.
- h = √98. Descompongo 98 = 49 · 2 para simplificar la raíz.
- √98 = √(49 · 2) = 7√2.
- En decimales, 7 × 1,414... ≈ 9,90 cm.
Resultado: h = 7√2 ≈ 9,90 cm
8. ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 8 cm, 15 cm y 17 cm? intermedio
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- Uso el teorema recíproco: compruebo si el cuadrado del lado más largo es la suma de los cuadrados de los otros dos.
- El lado más largo es 17: 17² = 289.
- Los otros dos: 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
- Los dos valores coinciden, así que la relación h² = a² + b² se cumple.
Resultado: Sí, es rectángulo (8-15-17 es una terna pitagórica)
Preguntas frecuentes
¿Cómo se saca la hipotenusa teniendo los dos catetos?
En tres pasos: elevas al cuadrado los dos catetos, los sumas y extraes la raíz cuadrada del resultado. Con catetos de 6 y 8: 6² = 36, 8² = 64, la suma es 100 y la hipotenusa es √100 = 10. La suma va siempre antes de la raíz: √36 + √64 daría 14, que es un resultado falso.
¿Cuándo se puede usar el teorema de Pitágoras?
Solo en triángulos rectángulos, es decir, los que tienen un ángulo de 90°. Relaciona los dos catetos con la hipotenusa y no vale para triángulos sin ángulo recto.
¿Cómo reconozco la hipotenusa?
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados, que forman el ángulo recto, son los catetos.
¿Sirve el teorema para saber si un triángulo es rectángulo?
Sí. Si los tres lados cumplen h² = a² + b² (siendo h el lado más largo), el triángulo es rectángulo. Es el teorema recíproco de Pitágoras.