Matematica
Teorema de Pitágoras: ejercicios resueltos de fácil a difícil
Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se usa para hallar la hipotenusa o un cateto, paso a paso, con cinco ejercicios resueltos de dificultad creciente y solución verificada.
Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos: h² = a² + b². De aquí obtienes la hipotenusa con h = √(a² + b²) y un cateto con a = √(h² − otro cateto²).
Hipotenusa y catetos: quién es quién
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y es siempre el lado más largo. Los otros dos lados, los que forman el ángulo de 90°, se llaman catetos. El teorema une estos tres lados con una única relación entre sus cuadrados.
Las dos preguntas típicas
Casi todos los ejercicios piden una de dos cosas. Si conoces los dos catetos y buscas la hipotenusa, sumas sus cuadrados y haces la raíz. Si en cambio conoces la hipotenusa y un cateto y buscas el otro cateto, restas al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido y luego haces la raíz.
Cómo proceder sin errores
El método es siempre el mismo. Primero identificas el ángulo recto y la hipotenusa. Después decides si buscas la hipotenusa (se suma) o un cateto (se resta). Por último elevas al cuadrado, sumas o restas y extraes la raíz cuadrada.
En los ejercicios de abajo encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: empieza con catetos enteros, pasa por un problema real con la escalera y una raíz que hay que simplificar, y termina con un ejercicio de dos pasos con la hipotenusa y el perímetro. Cada resultado está verificado rehaciendo los cálculos.
Ejercicios resueltos
1. En un triángulo rectángulo los dos catetos miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? base
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- La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto: la hallo con h² = a² + b².
- Elevo al cuadrado los catetos: 6² = 36 y 8² = 64.
- Sumo: 36 + 64 = 100.
- La hipotenusa es la raíz cuadrada: h = √100 = 10.
Resultado: h = 10 cm
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y un cateto 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? base
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- Para hallar un cateto resto: b² = h² − a².
- Elevo al cuadrado: 13² = 169 y 5² = 25.
- Resto: 169 − 25 = 144.
- El cateto es la raíz cuadrada: b = √144 = 12.
Resultado: b = 12 cm
3. Una escalera está apoyada en una pared. Su pie está a 1,5 m de la pared y llega a 2 m de altura. ¿Cuánto mide la escalera? intermedio
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- La pared y el suelo forman un ángulo recto, así que la escalera es la hipotenusa.
- Elevo al cuadrado las dos distancias: 1,5² = 2,25 y 2² = 4.
- Sumo: 2,25 + 4 = 6,25.
- Extraigo la raíz: √6,25 = 2,5.
Resultado: La escalera mide 2,5 m
4. Un triángulo rectángulo isósceles tiene los dos catetos iguales, cada uno de 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? intermedio
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- Los dos catetos son iguales: h² = 5² + 5².
- Calculo: 25 + 25 = 50.
- h = √50 ; simplifico la raíz: √50 = √(25 · 2) = 5√2.
- Valor aproximado: 5 · 1,414 ≈ 7,07.
Resultado: h = 5√2 cm ≈ 7,07 cm
5. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 20 cm y 21 cm. Calcula la hipotenusa y luego el perímetro. avanzato
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- Primero hallo la hipotenusa: h² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
- h = √841 = 29.
- El perímetro es la suma de los tres lados: P = 20 + 21 + 29.
- P = 70.
Resultado: Hipotenusa = 29 cm ; perímetro = 70 cm
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se puede usar el teorema de Pitágoras?
Solo en triángulos rectángulos, es decir, los que tienen un ángulo de 90°. Relaciona los dos catetos con la hipotenusa y no vale para triángulos sin ángulo recto.
¿Cómo reconozco la hipotenusa?
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados, que forman el ángulo recto, son los catetos.
¿Sirve el teorema para saber si un triángulo es rectángulo?
Sí. Si los tres lados cumplen h² = a² + b² (siendo h el lado más largo), el triángulo es rectángulo. Es el teorema recíproco de Pitágoras.