Proporciones: 8 ejercicios resueltos y 4 propiedades

Una proporción es la igualdad entre dos razones: 3 : 12 = 5 : 20 se lee “3 es a 12 como 5 es a 20” y es cierta porque ambas razones valen 0,25. La regla que resuelve todos los ejercicios es una sola: el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Los nombres de los términos

En una proporción a : b = c : d los cuatro números tienen un nombre preciso, y confundirlos es el error que estropea todo lo demás.

Término	Posición en a : b = c : d	Nombre
a	primero	antecedente de la primera razón, extremo
b	segundo	consecuente de la primera razón, medio
c	tercero	antecedente de la segunda razón, medio
d	cuarto	consecuente de la segunda razón, extremo

Los extremos son el primero y el último, los medios son los del centro. De ahí la propiedad fundamental: b · c = a · d.

Cómo se halla el término desconocido

No hay que memorizar cuatro fórmulas distintas: el mecanismo es siempre el mismo, solo cambia qué pareja multiplicas.

Incógnita	Fórmula	Ejemplo
primer término (extremo)	x = (b · c) : d	x : 12 = 5 : 20 → x = (12 · 5) : 20 = 3
segundo término (medio)	x = (a · d) : c	3 : x = 5 : 20 → x = (3 · 20) : 5 = 12
tercer término (medio)	x = (a · d) : b	3 : 12 = x : 20 → x = (3 · 20) : 12 = 5
cuarto término (extremo)	x = (b · c) : a	3 : 12 = 5 : x → x = (12 · 5) : 3 = 20

En la práctica: multiplicas los dos términos conocidos del tipo contrario a la incógnita y divides entre el tercer término conocido.

Las cuatro propiedades que hay que recordar

Además de la propiedad fundamental existen cuatro transformaciones que mantienen cierta la proporción. Sirven sobre todo en los problemas que dan la suma o la diferencia de los términos.

Propiedad	De a : b = c : d obtienes	Cuándo se usa
invertir	b : a = d : c	para llevar la incógnita al numerador
permutar los medios	a : c = b : d	para comparar magnitudes homogéneas
componer	(a + b) : b = (c + d) : d	cuando el problema da la suma
descomponer	(a − b) : b = (c − d) : d	cuando el problema da la diferencia

Un ejemplo de la propiedad de componer: si dos partes están entre sí como 3 : 4, al componer obtienes (3 + 4) : 4 = 7 : 4. Si la suma de las dos partes es 84, escribes 84 : x = 7 : 4 y sale enseguida la parte mayor, x = (84 · 4) : 7 = 48. Es el mismo resultado del cuarto ejercicio, donde el total se divide en 7 partes iguales.

Magnitudes directa e inversamente proporcionales

Aquí se concentra la mitad de los errores, porque el esquema de la proporción parece funcionar siempre, pero la forma de escribirla cambia.

	Directamente proporcionales	Inversamente proporcionales
Si una se duplica	la otra se duplica	la otra se reduce a la mitad
Se mantiene constante	la razón y : x	el producto x · y
Fórmula	y = k · x	y = k : x
Ejemplos	cuadernos y gasto, horas de trabajo y sueldo, ingredientes de una receta	operarios y días, velocidad y tiempo de recorrido, número de personas y duración de una reserva

Con magnitudes inversamente proporcionales la proporción se escribe invirtiendo una de las dos razones: 6 operarios son a 4 operarios como los días de los 4 son a los días de los 6.

Los errores más comunes

El primero es escribir una proporción directa donde la relación es inversa: si reduces los operarios y te sale un tiempo más corto, el resultado está mal por muy limpias que sean las cuentas. Antes de calcular, pregúntate siempre si el resultado debe ser mayor o menor que el dato de partida.

El segundo es mezclar unidades de medida: en una proporción entre longitudes no puedes tener centímetros a un lado y metros al otro. Convierte todo antes de aplicar la propiedad fundamental.

El tercero tiene que ver con las áreas. Si amplías una figura con un factor 1,6, las longitudes se multiplican por 1,6 pero las áreas por 1,6² = 2,56, y los volúmenes por 1,6³. Las áreas no son proporcionales a los lados, sino a sus cuadrados.

El cuarto es puramente de cálculo: equivocarse en la división final. Una razón entre números es una fracción, así que conviene simplificar antes de multiplicar, como se hace en las operaciones con fracciones.

Proporciones, porcentajes y ecuaciones

Un porcentaje es una proporción con un término fijado en 100: “el 15% de 240” se escribe 15 : 100 = x : 240. Si te resulta más cómodo este esquema, puedes resolver con proporciones todos los ejercicios de porcentajes, descuentos y subidas incluidos.

Además, aplicar la propiedad fundamental convierte siempre una proporción en una igualdad del tipo a · x = b: a partir de ahí estás resolviendo una ecuación de primer grado, y por eso el último paso es siempre dividir ambos miembros entre el coeficiente de la x.

Cómo afrontar los ejercicios

Los ocho ejercicios de abajo siguen el orden en que el tema se aprende de verdad: primero el cálculo del término desconocido y la comprobación de una proporción, luego los problemas de proporcionalidad directa, el reparto de un total y las escalas, después el caso inverso que hace caer a más estudiantes, y por último la media proporcional y la ampliación a escala, donde la razón entre las áreas no es la de los lados. Cada resultado está verificado rehaciendo el cálculo en sentido contrario.