Física
Caída libre: fórmulas y 7 ejercicios resueltos
En caída libre v = g · t y h = ½ · g · t², con g = 9,8 m/s². Aquí tienes las tres fórmulas, la tabla de metros y segundos, los errores típicos y 7 ejercicios.
Recomendado para: 3º ESO · 4º ESO
Hablamos de caída libre cuando un cuerpo se mueve solo por acción del peso y el rozamiento del aire es despreciable. La aceleración es la misma para todos los cuerpos, g = 9,8 m/s² dirigida hacia abajo, y las fórmulas que hay que saber son v = g · t, h = ½ · g · t² y v² = 2 · g · h.
Las tres fórmulas y cuándo usarlas
| Fórmula | La usas cuando | Te da |
|---|---|---|
| v = g · t | conoces el tiempo de caída | la velocidad en ese instante |
| h = ½ · g · t² | conoces el tiempo de caída | el espacio recorrido |
| v² = 2 · g · h | el tiempo no está ni lo piden | la velocidad a partir de la altura |
Las tres valen si el cuerpo parte del reposo. Si hay velocidad inicial v₀ pasan a ser v = v₀ + g · t, h = v₀ · t + ½ · g · t² y v² = v₀² + 2 · g · h: son las mismas fórmulas del movimiento uniformemente acelerado, con a sustituida por g.
Una cuarta fórmula utilísima se obtiene de la segunda y da el tiempo de caída: t = √(2 · h / g). La necesitas cada vez que el problema te da la altura y te pregunta cuánto dura la caída.
Tabla: cuánto cae un cuerpo cada segundo
| Tiempo | Altura caída h | Velocidad v | Espacio en ese segundo |
|---|---|---|---|
| 1 s | 4,9 m | 9,8 m/s | 4,9 m |
| 2 s | 19,6 m | 19,6 m/s | 14,7 m |
| 3 s | 44,1 m | 29,4 m/s | 24,5 m |
| 4 s | 78,4 m | 39,2 m/s | 34,3 m |
| 5 s | 122,5 m | 49,0 m/s | 44,1 m |
La columna de la derecha es la que delata la naturaleza del movimiento: a diferencia del movimiento rectilíneo uniforme, donde cada segundo el cuerpo recorre siempre lo mismo, aquí cada segundo se recorren 9,8 m más que en el anterior. En los primeros 5 s un cuerpo baja 122,5 m, y más de un tercio de esa distancia la hace en el último segundo.
Por qué la masa no cuenta
Es el punto que hace fallar más preguntas de teoría. El peso de un cuerpo es P = m · g, así que un cuerpo doble es atraído hacia abajo con una fuerza doble: pero también tiene una masa doble que poner en movimiento. En la segunda ley de la dinámica m · a = m · g la masa se simplifica y queda a = g, idéntica para todos.
En la vida real una pluma y una moneda no llegan juntas, pero la responsable es el aire. En un tubo al que se le ha extraído el aire la pluma cae exactamente igual que la moneda: el experimento se ha repetido incluso en la Luna, donde no hay atmósfera.
Lanzar hacia arriba también es caída libre
Mientras la única fuerza sea el peso, el movimiento es caída libre incluso mientras el cuerpo sube. Conviene fijar como positivo el sentido hacia arriba y escribir la aceleración como −g. Dos consecuencias prácticas:
- en el punto más alto la velocidad es cero, pero la aceleración sigue valiendo 9,8 m/s²;
- subida y bajada, entre las mismas dos alturas, duran lo mismo y ocurren con la misma velocidad en módulo.
Cuando el cuerpo parte de cierta altura y aterriza más abajo, la ecuación de posición y = h + v₀ · t − ½ · g · t² igualada a cero se convierte en una ecuación de segundo grado: es exactamente el caso del último ejercicio y se resuelve con la fórmula vista en las ecuaciones de segundo grado.
Cuánto vale g en otros sitios
| Cuerpo celeste | g (m/s²) | Tiempo de caída desde 20 m |
|---|---|---|
| Tierra | 9,81 | 2,02 s |
| Luna | 1,62 | 4,97 s |
| Marte | 3,72 | 3,28 s |
| Júpiter | 24,8 | 1,27 s |
Los números de la tercera columna salen de t = √(2 · h / g) y son una buena manera de comprobar que has entendido la fórmula: con una g seis veces menor el tiempo no se hace seis veces mayor, sino unas dos veces y media, porque g está bajo una raíz.
Los errores más comunes
- Dividir la altura entre el tiempo para hallar la velocidad final: así obtienes la velocidad media, que en caída libre es justo la mitad de la final.
- Olvidar el ½ en la fórmula h = ½ · g · t²: el error que duplica todos los resultados.
- Meter la masa en las fórmulas: no aparece nunca, ni siquiera cuando el enunciado te la da (muchas veces es un dato inútil puesto a propósito).
- Usar v = g · t cuando hay velocidad inicial: si el cuerpo se lanza y no se deja caer, hace falta v = v₀ + g · t.
- No convertir los km/h: divide entre 3,6 antes de usar cualquier fórmula.
- Confundir altura total y espacio en el último segundo: hay que calcularlo como diferencia h(t) − h(t − 1).
El método en cuatro pasos
Primero: escribe los datos con sus unidades y convierte lo que haga falta. Segundo: decide el sentido positivo y escribe el signo de g de forma coherente (normalmente positivo si eliges hacia abajo, negativo si eliges hacia arriba). Tercero: elige la fórmula que no contiene la magnitud que te falta. Cuarto: vuelve a comprobar el resultado con una fórmula distinta, como se hace en todos los ejercicios de aquí abajo.
Ejercicios resueltos
1. Desde el pretil del puente de Triana dejas caer una piedra, que toca el agua a los 2 s. ¿Con qué velocidad llega y a qué altura está el puente sobre el agua? base
Mostrar solución
- La piedra se deja caer, así que v₀ = 0 y vale la caída libre con g = 9,8 m/s².
- Velocidad: v = g · t = 9,8 · 2 = 19,6 m/s.
- Altura: h = ½ · g · t² = ½ · 9,8 · 2² = ½ · 9,8 · 4 = 19,6 m.
- Los dos números coinciden solo por casualidad, porque t = 2 s: tienen unidades distintas (m/s y m) y no hay que confundirlos.
Resultado: v = 19,6 m/s ; h = 19,6 m
2. Un objeto cae desde el reposo desde una altura de 78,4 m. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad llega? base
Mostrar solución
- De la fórmula h = ½ · g · t² despejo el tiempo: t = √(2 · h / g).
- t = √(2 · 78,4 / 9,8) = √(156,8 / 9,8) = √16 = 4 s.
- Velocidad: v = g · t = 9,8 · 4 = 39,2 m/s.
- Comprobación con la fórmula sin tiempo: v² = 2 · g · h = 2 · 9,8 · 78,4 = 1536,64 y √1536,64 = 39,2. Cuadra.
Resultado: t = 4 s ; v = 39,2 m/s
3. Desde la misma ventana, a 20 m del suelo, sueltas en el mismo instante una esfera de plomo de 2 kg y una pelota de plástico de 0,2 kg. ¿Cuál llega antes y en cuánto tiempo? base
Mostrar solución
- En la caída libre se desprecia el aire, así que la masa no aparece en ninguna fórmula: las dos tienen la misma aceleración g.
- t = √(2 · h / g) = √(2 · 20 / 9,8) = √(40 / 9,8) = √4,0816… ≈ 2,02 s.
- Velocidad de llegada: v = g · t = 9,8 · 2,02 ≈ 19,8 m/s, igual para ambas.
- En la realidad el aire frena más a la pelota de plástico y llega un poco después, pero eso es efecto del rozamiento, no del peso.
Resultado: Llegan juntas, t ≈ 2,02 s (v ≈ 19,8 m/s)
4. Desde un balcón a 40 m de altura lanzas una pelota hacia abajo con velocidad inicial de 5 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo y cuánto dura la caída? intermedio
Mostrar solución
- Aquí v₀ ≠ 0, así que uso las fórmulas completas tomando como positivo el sentido hacia abajo.
- No conozco el tiempo, así que parto de v² = v₀² + 2 · g · h = 5² + 2 · 9,8 · 40 = 25 + 784 = 809.
- v = √809 ≈ 28,44 m/s.
- Tiempo: de v = v₀ + g · t obtengo t = (28,44 − 5) / 9,8 = 23,44 / 9,8 ≈ 2,39 s.
- Comprobación: h = v₀ · t + ½ · g · t² = 5 · 2,39 + 4,9 · 2,39² ≈ 11,96 + 28,04 = 40,0 m. Cuadra.
Resultado: v ≈ 28,4 m/s ; t ≈ 2,39 s
5. Lanzas una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 19,6 m/s. ¿Qué altura máxima alcanza y cuánto tarda en volver a tu mano? intermedio
Mostrar solución
- Tomo como positivo el sentido hacia arriba: la aceleración es −g, es decir −9,8 m/s².
- En el punto más alto la velocidad es nula: 0 = v₀ − g · t, luego t_subida = 19,6 / 9,8 = 2 s.
- Altura máxima: h = v₀²/(2 · g) = 19,6² / (2 · 9,8) = 384,16 / 19,6 = 19,6 m.
- La bajada es una caída libre desde 19,6 m y dura exactamente lo mismo que la subida, así que t_total = 2 + 2 = 4 s.
- Control de la bajada: t = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 s. Cuadra.
Resultado: h_máx = 19,6 m ; t_total = 4 s
6. Un cuerpo cae desde el reposo desde 122,5 m. ¿Cuántos metros recorre en el último segundo de caída? avanzato
Mostrar solución
- Primero el tiempo total: t = √(2 · 122,5 / 9,8) = √25 = 5 s.
- El último segundo va de t = 4 s a t = 5 s, así que calculo el espacio recorrido en los primeros 4 s.
- h(4 s) = ½ · 9,8 · 4² = 4,9 · 16 = 78,4 m.
- Espacio en el último segundo = 122,5 − 78,4 = 44,1 m.
- Fíjate en el error que hay que evitar: no es 122,5 / 5 = 24,5 m. En caída libre los espacios de cada segundo crecen como 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 − 44,1 m.
Resultado: 44,1 m (más de un tercio de toda la caída)
7. Desde lo alto de una torre de 25 m lanzas una piedra hacia arriba con velocidad de 15 m/s. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad? avanzato
Mostrar solución
- Sentido positivo hacia arriba, origen en la base de la torre: y = 25 + 15 · t − 4,9 · t².
- La piedra está en el suelo cuando y = 0, es decir 4,9 · t² − 15 · t − 25 = 0.
- Resuelvo la ecuación de segundo grado: Δ = 15² + 4 · 4,9 · 25 = 225 + 490 = 715 y √715 ≈ 26,74.
- t = (15 + 26,74) / (2 · 4,9) = 41,74 / 9,8 ≈ 4,26 s (descarto la solución negativa, sin sentido físico).
- Velocidad: v = 15 − 9,8 · 4,26 ≈ −26,7 m/s, es decir 26,7 m/s dirigidos hacia abajo.
- Comprobación independiente con v² = v₀² + 2 · g · h = 15² + 2 · 9,8 · 25 = 225 + 490 = 715 y √715 ≈ 26,74 m/s. Cuadra.
Resultado: t ≈ 4,26 s ; v ≈ 26,7 m/s hacia abajo
Preguntas frecuentes
¿Por qué la masa no influye en la caída libre?
Porque el peso es proporcional a la masa (P = m · g), pero también lo es la inercia que hay que vencer. En la segunda ley de la dinámica, m · a = m · g, la masa se simplifica y queda a = g: todos los cuerpos caen con la misma aceleración. En la realidad una pluma llega después que una piedra solo porque el aire la frena, no porque pese menos.
¿Cuánto vale g y se puede usar 10 m/s²?
El valor estándar es g ≈ 9,81 m/s², y en los problemas casi siempre se usa 9,8 m/s². Usar 10 m/s² solo es lícito si el enunciado lo dice o si quieres una estimación rápida: introduce un error de alrededor del 2%, que en un examen con resultado a dos cifras puede hacer parecer incorrecto un procedimiento bien hecho.
¿Qué diferencia hay entre caída libre y movimiento uniformemente acelerado?
Ninguna en las fórmulas: la caída libre es el caso particular de movimiento uniformemente acelerado en el que la aceleración es la de la gravedad, vale 9,8 m/s² y siempre apunta hacia abajo. Lo único que cambia es que no tienes que calcular a, porque ya la conoces.
¿Cómo se calcula el espacio recorrido en el último segundo de caída?
Calculas el espacio total y el recorrido hasta un segundo antes, y luego restas: h(t) − h(t − 1). No dividas la altura entre el número de segundos: en caída libre los espacios crecen de segundo en segundo según los números 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 m y así sucesivamente.
¿Un cuerpo lanzado hacia arriba sigue en caída libre?
Sí, si desprecias el aire. Desde el instante en que sale de la mano la única aceleración es g dirigida hacia abajo, incluso mientras sube: por eso frena. En el punto más alto la velocidad es cero pero la aceleración sigue valiendo 9,8 m/s², y es justo por eso por lo que el cuerpo no se queda ahí quieto.