Physik

Freier Fall: Formeln und 7 Aufgaben mit Lösungen

Im freien Fall gilt v = g · t und h = ½ · g · t², mit g = 9,8 m/s². Dazu die drei Formeln, die Meter-Sekunden-Tabelle, typische Fehler und 7 Aufgaben.

Die drei Formeln und wann man sie braucht

Formel	Anwenden, wenn	Sie liefert
v = g · t	die Fallzeit bekannt ist	die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt
h = ½ · g · t²	die Fallzeit bekannt ist	den zurückgelegten Weg
v² = 2 · g · h	die Zeit weder gegeben noch gesucht ist	die Geschwindigkeit aus der Höhe

Die drei gelten für einen Körper, der aus der Ruhe losgelassen wird. Mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ werden daraus v = v₀ + g · t, h = v₀ · t + ½ · g · t² und v² = v₀² + 2 · g · h: es sind dieselben Formeln wie bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, nur mit g statt a.

Eine vierte, sehr praktische Formel folgt aus der zweiten und liefert die Fallzeit: t = √(2 · h / g). Du brauchst sie immer dann, wenn die Aufgabe die Höhe angibt und nach der Dauer des Falls fragt.

Tabelle: wie weit ein Körper je Sekunde fällt

Zeit	Fallhöhe h	Geschwindigkeit v	Weg in dieser Sekunde
1 s	4,9 m	9,8 m/s	4,9 m
2 s	19,6 m	19,6 m/s	14,7 m
3 s	44,1 m	29,4 m/s	24,5 m
4 s	78,4 m	39,2 m/s	34,3 m
5 s	122,5 m	49,0 m/s	44,1 m

Die rechte Spalte verrät die Natur der Bewegung: anders als bei der gleichförmigen Bewegung, bei der jede Sekunde derselbe Weg zurückgelegt wird, kommen hier in jeder Sekunde 9,8 m mehr dazu als in der vorherigen. In den ersten 5 s fällt ein Körper 122,5 m, und mehr als ein Drittel davon in der letzten Sekunde allein.

Warum die Masse nichts ändert

Das ist der Punkt, an dem die meisten Theoriefragen scheitern. Die Gewichtskraft beträgt F_G = m · g, ein doppelt so schwerer Körper wird also doppelt so stark nach unten gezogen: er hat aber auch die doppelte Masse, die in Bewegung gesetzt werden muss. Im zweiten Newtonschen Gesetz m · a = m · g kürzt sich die Masse heraus, es bleibt a = g, für alle gleich.

Im Alltag kommen Feder und Münze nicht gleichzeitig an, verantwortlich ist aber die Luft. In einem luftleer gepumpten Rohr fällt die Feder genau wie die Münze: der Versuch wurde sogar auf dem Mond wiederholt, wo es keine Atmosphäre gibt.

Senkrechter Wurf nach oben ist auch freier Fall

Solange die Gewichtskraft die einzige Kraft ist, handelt es sich auch während des Aufstiegs um einen freien Fall. Praktisch ist es, nach oben als positiv zu wählen und die Beschleunigung als −g zu schreiben. Zwei Folgerungen:

am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null, die Beschleunigung beträgt aber weiterhin 9,8 m/s²;
zwischen denselben zwei Höhen dauern Aufstieg und Abstieg gleich lang und laufen mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag ab.

Startet der Körper in einer bestimmten Höhe und landet tiefer, so wird aus dem Weg-Zeit-Gesetz y = h + v₀ · t − ½ · g · t², gleich null gesetzt, eine quadratische Gleichung: genau der Fall der letzten Aufgabe, gelöst mit dem Verfahren aus den quadratischen Gleichungen.

Wie groß g anderswo ist

Himmelskörper	g (m/s²)	Fallzeit aus 20 m
Erde	9,81	2,02 s
Mond	1,62	4,97 s
Mars	3,72	3,28 s
Jupiter	24,8	1,27 s

Die Zahlen der dritten Spalte folgen aus t = √(2 · h / g) und sind ein guter Test für das Verständnis: bei einem sechsmal kleineren g wird die Zeit nicht sechsmal größer, sondern nur rund zweieinhalbmal, weil g unter einer Wurzel steht.

Die häufigsten Fehler

Die Höhe durch die Zeit teilen, um die Endgeschwindigkeit zu bekommen: das ergibt die Durchschnittsgeschwindigkeit, die im freien Fall genau halb so groß ist wie die Endgeschwindigkeit.
Das ½ vergessen in h = ½ · g · t²: der Fehler, der alle Ergebnisse verdoppelt.
Die Masse einsetzen: sie kommt nie vor, auch dann nicht, wenn die Aufgabe sie angibt (oft steht sie absichtlich als überflüssige Angabe da).
v = g · t benutzen, obwohl es eine Anfangsgeschwindigkeit gibt: wird der Körper geworfen statt losgelassen, braucht man v = v₀ + g · t.
km/h nicht umrechnen: vor jeder Formel durch 3,6 teilen.
Gesamthöhe und Weg in der letzten Sekunde verwechseln: Letzterer wird als Differenz h(t) − h(t − 1) berechnet.

Die Methode in vier Schritten

Erstens: die Angaben mit Einheiten notieren und umrechnen, was umzurechnen ist. Zweitens: die positive Richtung festlegen und das Vorzeichen von g konsequent dazu schreiben (meist positiv bei Wahl nach unten, negativ bei Wahl nach oben). Drittens: die Formel wählen, in der die fehlende Größe nicht vorkommt. Viertens: das Ergebnis mit einer anderen Formel gegenprüfen, so wie es in allen Aufgaben unten gemacht wird.

Gelöste Aufgaben

1. Von der Brüstung der Müngstener Brücke lässt du einen Stein fallen, der nach 2 s auftrifft. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er an und aus welcher Höhe ist er gefallen? base

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Der Stein wird losgelassen, also ist v₀ = 0 und es gilt der freie Fall mit g = 9,8 m/s².
Geschwindigkeit: v = g · t = 9,8 · 2 = 19,6 m/s.
Höhe: h = ½ · g · t² = ½ · 9,8 · 2² = ½ · 9,8 · 4 = 19,6 m.
Die beiden Zahlen stimmen nur zufällig überein, weil t = 2 s ist: sie haben verschiedene Einheiten (m/s und m) und dürfen nicht verwechselt werden.

Ergebnis: v = 19,6 m/s ; h = 19,6 m

2. Ein Gegenstand fällt aus der Ruhe aus 78,4 m Höhe. Wie lange braucht er bis zum Boden und mit welcher Geschwindigkeit kommt er an? base

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Aus der Formel h = ½ · g · t² wird nach der Zeit umgestellt: t = √(2 · h / g).
t = √(2 · 78,4 / 9,8) = √(156,8 / 9,8) = √16 = 4 s.
Geschwindigkeit: v = g · t = 9,8 · 4 = 39,2 m/s.
Kontrolle mit der zeitfreien Formel: v² = 2 · g · h = 2 · 9,8 · 78,4 = 1536,64 und √1536,64 = 39,2. Stimmt.

Ergebnis: t = 4 s ; v = 39,2 m/s

3. Aus demselben Fenster, 20 m über dem Boden, lässt du im selben Augenblick eine Bleikugel mit 2 kg und einen Plastikball mit 0,2 kg fallen. Welcher kommt zuerst an und nach welcher Zeit? base

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Beim freien Fall wird die Luft vernachlässigt, deshalb taucht die Masse in keiner Formel auf: beide haben dieselbe Beschleunigung g.
t = √(2 · h / g) = √(2 · 20 / 9,8) = √(40 / 9,8) = √4,0816… ≈ 2,02 s.
Aufprallgeschwindigkeit: v = g · t = 9,8 · 2,02 ≈ 19,8 m/s, für beide gleich.
In der Praxis wird der Plastikball stärker von der Luft gebremst und kommt etwas später an, aber das ist eine Wirkung der Reibung, nicht des Gewichts.

Ergebnis: Sie kommen gleichzeitig an, t ≈ 2,02 s (v ≈ 19,8 m/s)

4. Von einem Balkon in 40 m Höhe wirfst du einen Ball mit 5 m/s nach unten. Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf und wie lange dauert der Fall? intermedio

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Hier ist v₀ ≠ 0, also werden die vollständigen Formeln benutzt, mit nach unten als positiver Richtung.
Die Zeit ist unbekannt, deshalb beginne ich mit v² = v₀² + 2 · g · h = 5² + 2 · 9,8 · 40 = 25 + 784 = 809.
v = √809 ≈ 28,44 m/s.
Zeit: aus v = v₀ + g · t folgt t = (28,44 − 5) / 9,8 = 23,44 / 9,8 ≈ 2,39 s.
Kontrolle: h = v₀ · t + ½ · g · t² = 5 · 2,39 + 4,9 · 2,39² ≈ 11,96 + 28,04 = 40,0 m. Stimmt.

Ergebnis: v ≈ 28,4 m/s ; t ≈ 2,39 s

5. Du wirfst einen Ball mit 19,6 m/s senkrecht nach oben. Welche maximale Höhe erreicht er und nach welcher Zeit landet er wieder in deiner Hand? intermedio

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Nach oben wird als positiv gewählt: die Beschleunigung ist −g, also −9,8 m/s².
Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null: 0 = v₀ − g · t, also t_auf = 19,6 / 9,8 = 2 s.
Maximale Höhe: h = v₀²/(2 · g) = 19,6² / (2 · 9,8) = 384,16 / 19,6 = 19,6 m.
Der Abstieg ist ein freier Fall aus 19,6 m und dauert genauso lange wie der Aufstieg, also t_gesamt = 2 + 2 = 4 s.
Kontrolle des Abstiegs: t = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 s. Stimmt.

Ergebnis: h_max = 19,6 m ; t_gesamt = 4 s

6. Ein Körper fällt aus der Ruhe aus 122,5 m Höhe. Wie viele Meter legt er in der letzten Sekunde des Falls zurück? avanzato

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Zuerst die Gesamtzeit: t = √(2 · 122,5 / 9,8) = √25 = 5 s.
Die letzte Sekunde reicht von t = 4 s bis t = 5 s, also berechne ich den Weg in den ersten 4 s.
h(4 s) = ½ · 9,8 · 4² = 4,9 · 16 = 78,4 m.
Weg in der letzten Sekunde = 122,5 − 78,4 = 44,1 m.
Achtung auf den typischen Fehler: es sind nicht 122,5 / 5 = 24,5 m. Im freien Fall wachsen die Wege je Sekunde wie 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 − 44,1 m.

Ergebnis: 44,1 m (mehr als ein Drittel des ganzen Falls)

7. Von einem 25 m hohen Turm wirfst du einen Stein mit 15 m/s nach oben. Nach welcher Zeit erreicht er den Boden und mit welcher Geschwindigkeit? avanzato

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Positive Richtung nach oben, Ursprung am Turmfuß: y = 25 + 15 · t − 4,9 · t².
Der Stein ist am Boden, wenn y = 0 gilt, also 4,9 · t² − 15 · t − 25 = 0.
Die quadratische Gleichung lösen: D = 15² + 4 · 4,9 · 25 = 225 + 490 = 715 und √715 ≈ 26,74.
t = (15 + 26,74) / (2 · 4,9) = 41,74 / 9,8 ≈ 4,26 s (die negative Lösung ist physikalisch sinnlos und entfällt).
Geschwindigkeit: v = 15 − 9,8 · 4,26 ≈ −26,7 m/s, also 26,7 m/s nach unten gerichtet.
Unabhängige Kontrolle mit v² = v₀² + 2 · g · h = 15² + 2 · 9,8 · 25 = 225 + 490 = 715 und √715 ≈ 26,74 m/s. Stimmt.

Ergebnis: t ≈ 4,26 s ; v ≈ 26,7 m/s nach unten

Häufige Fragen

Warum spielt die Masse beim freien Fall keine Rolle?

Weil die Gewichtskraft proportional zur Masse ist (F_G = m · g), aber die zu überwindende Trägheit ebenfalls. Im zweiten Newtonschen Gesetz, m · a = m · g, kürzt sich die Masse heraus und es bleibt a = g: alle Körper fallen mit derselben Beschleunigung. Dass eine Feder später ankommt als ein Stein, liegt allein an der Luft, nicht am Gewicht.

Wie groß ist g und darf man 10 m/s² rechnen?

Der Normwert ist g ≈ 9,81 m/s², in Aufgaben wird fast immer mit 9,8 m/s² gerechnet. Mit 10 m/s² zu rechnen ist nur zulässig, wenn die Aufgabe es vorgibt oder eine grobe Abschätzung genügt: der Fehler beträgt rund 2 %, was bei einer Klassenarbeit mit zwei geforderten Stellen einen richtigen Rechenweg falsch aussehen lassen kann.

Was ist der Unterschied zwischen freiem Fall und gleichmäßig beschleunigter Bewegung?

Bei den Formeln keiner: der freie Fall ist der Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, bei dem die Beschleunigung die Erdbeschleunigung ist, 9,8 m/s² beträgt und immer nach unten zeigt. Der einzige Unterschied ist, dass du a nicht berechnen musst, weil du den Wert schon kennst.

Wie berechnet man den Weg in der letzten Sekunde des Falls?

Man berechnet den Gesamtweg und den Weg bis eine Sekunde vorher und zieht ab: h(t) − h(t − 1). Teile die Höhe nicht durch die Anzahl der Sekunden: im freien Fall wachsen die Wege von Sekunde zu Sekunde nach den Zahlen 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 m und so weiter.

Ist ein nach oben geworfener Körper noch im freien Fall?

Ja, wenn man die Luft vernachlässigt. Ab dem Augenblick, in dem er die Hand verlässt, ist die einzige Beschleunigung g nach unten, auch während des Aufstiegs: deshalb wird er langsamer. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null, die Beschleunigung beträgt aber weiterhin 9,8 m/s², und genau deshalb bleibt der Körper dort nicht stehen.