Physique
Chute libre : formules et 7 exercices corrigés
En chute libre v = g · t et h = ½ · g · t², avec g = 9,8 m/s². Voici les trois formules, le tableau mètres-secondes, les erreurs typiques et 7 exercices.
Recommandé pour: 3e · Seconde
On parle de chute libre quand un corps se déplace sous la seule action de son poids et que le frottement de l’air est négligeable. L’accélération est la même pour tous les corps, g = 9,8 m/s² dirigée vers le bas, et les formules à connaître sont v = g · t, h = ½ · g · t² et v² = 2 · g · h.
Les trois formules et quand les utiliser
| Formule | À utiliser quand | Elle donne |
|---|---|---|
| v = g · t | le temps de chute est connu | la vitesse à cet instant |
| h = ½ · g · t² | le temps de chute est connu | la distance parcourue |
| v² = 2 · g · h | le temps n’est ni donné ni demandé | la vitesse à partir de la hauteur |
Ces trois relations valent pour un corps lâché sans vitesse initiale. Avec une vitesse initiale v₀ elles deviennent v = v₀ + g · t, h = v₀ · t + ½ · g · t² et v² = v₀² + 2 · g · h : ce sont les formules du mouvement uniformément accéléré, avec a remplacé par g.
Une quatrième formule très utile découle de la deuxième et donne le temps de chute : t = √(2 · h / g). Elle sert chaque fois que l’énoncé fournit la hauteur et demande la durée de la chute.
Tableau : de combien un corps tombe chaque seconde
| Temps | Hauteur de chute h | Vitesse v | Distance pendant cette seconde |
|---|---|---|---|
| 1 s | 4,9 m | 9,8 m/s | 4,9 m |
| 2 s | 19,6 m | 19,6 m/s | 14,7 m |
| 3 s | 44,1 m | 29,4 m/s | 24,5 m |
| 4 s | 78,4 m | 39,2 m/s | 34,3 m |
| 5 s | 122,5 m | 49,0 m/s | 44,1 m |
La colonne de droite trahit la nature du mouvement : contrairement au mouvement rectiligne uniforme, où le corps parcourt la même distance chaque seconde, ici chaque seconde ajoute 9,8 m à la précédente. En 5 s un corps descend de 122,5 m, et plus d’un tiers de cette distance se fait pendant la dernière seconde.
Pourquoi la masse ne compte pas
C’est le point qui fait perdre le plus de points aux questions de cours. Le poids d’un corps vaut P = m · g : un corps deux fois plus lourd est donc tiré vers le bas deux fois plus fort, mais il a aussi deux fois plus de masse à mettre en mouvement. Dans la deuxième loi de Newton m · a = m · g la masse se simplifie et il reste a = g, identique pour tous.
Dans la vie courante une plume et une pièce n’arrivent pas ensemble, mais la responsable est l’air. Dans un tube vidé de son air la plume tombe exactement comme la pièce : l’expérience a même été refaite sur la Lune, où il n’y a pas d’atmosphère.
Lancer vers le haut, c’est encore de la chute libre
Tant que la seule force est le poids, le mouvement est une chute libre même pendant la montée. Il est commode d’orienter l’axe vers le haut et d’écrire l’accélération −g. Deux conséquences pratiques :
- au point le plus haut la vitesse est nulle, mais l’accélération vaut encore 9,8 m/s² ;
- entre deux mêmes altitudes, montée et descente durent le même temps et se font à la même vitesse en valeur absolue.
Quand le corps part d’une certaine hauteur et atterrit plus bas, l’équation horaire y = h + v₀ · t − ½ · g · t² posée égale à zéro devient une équation du second degré : c’est exactement le cas du dernier exercice, que l’on résout avec la méthode vue dans les équations du second degré.
La valeur de g ailleurs
| Astre | g (m/s²) | Temps de chute depuis 20 m |
|---|---|---|
| Terre | 9,81 | 2,02 s |
| Lune | 1,62 | 4,97 s |
| Mars | 3,72 | 3,28 s |
| Jupiter | 24,8 | 1,27 s |
Les nombres de la troisième colonne sortent de t = √(2 · h / g) et constituent un bon test de compréhension : avec un g six fois plus petit, le temps ne devient pas six fois plus grand mais environ deux fois et demie, parce que g se trouve sous une racine.
Les erreurs les plus fréquentes
- Diviser la hauteur par le temps pour trouver la vitesse finale : cela donne la vitesse moyenne, qui en chute libre vaut exactement la moitié de la vitesse finale.
- Oublier le ½ dans h = ½ · g · t² : l’erreur qui double tous les résultats.
- Faire intervenir la masse : elle n’apparaît jamais, même quand l’énoncé la fournit (c’est souvent une donnée inutile placée exprès).
- Utiliser v = g · t alors qu’il y a une vitesse initiale : si le corps est lancé et non lâché, il faut v = v₀ + g · t.
- Oublier de convertir les km/h : divisez par 3,6 avant d’utiliser la moindre formule.
- Confondre hauteur totale et distance de la dernière seconde : celle-ci se calcule comme la différence h(t) − h(t − 1).
La méthode en quatre étapes
D’abord, écrivez les données avec leurs unités et convertissez ce qui doit l’être. Ensuite, choisissez le sens positif et écrivez le signe de g de façon cohérente (positif si vous orientez l’axe vers le bas, négatif si vous l’orientez vers le haut). Puis choisissez la formule qui ne contient pas la grandeur manquante. Enfin, vérifiez le résultat avec une autre formule, comme c’est fait dans chacun des exercices ci-dessous.
Exercices corrigés
1. Depuis le parapet du viaduc de Millau, vous lâchez un caillou qui touche le sol 2 s plus tard. À quelle vitesse arrive-t-il et de quelle hauteur est-il tombé ? base
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- Le caillou est lâché, donc v₀ = 0 et la chute libre s'applique avec g = 9,8 m/s².
- Vitesse : v = g · t = 9,8 · 2 = 19,6 m/s.
- Hauteur : h = ½ · g · t² = ½ · 9,8 · 2² = ½ · 9,8 · 4 = 19,6 m.
- Les deux nombres coïncident seulement par hasard, parce que t = 2 s : ils ont des unités différentes (m/s et m) et ne doivent pas être confondus.
Réponse: v = 19,6 m/s ; h = 19,6 m
2. Un objet tombe sans vitesse initiale d'une hauteur de 78,4 m. Combien de temps met-il pour atteindre le sol et à quelle vitesse y arrive-t-il ? base
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- De la formule h = ½ · g · t² on isole le temps : t = √(2 · h / g).
- t = √(2 · 78,4 / 9,8) = √(156,8 / 9,8) = √16 = 4 s.
- Vitesse : v = g · t = 9,8 · 4 = 39,2 m/s.
- Vérification avec la formule sans temps : v² = 2 · g · h = 2 · 9,8 · 78,4 = 1536,64 et √1536,64 = 39,2. C'est cohérent.
Réponse: t = 4 s ; v = 39,2 m/s
3. De la même fenêtre, à 20 m du sol, vous lâchez au même instant une sphère de plomb de 2 kg et une balle en plastique de 0,2 kg. Laquelle arrive la première, et au bout de combien de temps ? base
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- En chute libre on néglige l'air, donc la masse n'apparaît dans aucune formule : les deux ont la même accélération g.
- t = √(2 · h / g) = √(2 · 20 / 9,8) = √(40 / 9,8) = √4,0816… ≈ 2,02 s.
- Vitesse d'arrivée : v = g · t = 9,8 · 2,02 ≈ 19,8 m/s, identique pour les deux.
- Dans la réalité l'air freine davantage la balle en plastique, qui arrive un peu après, mais c'est un effet du frottement et non du poids.
Réponse: Elles arrivent ensemble, t ≈ 2,02 s (v ≈ 19,8 m/s)
4. D'un balcon situé à 40 m de hauteur, vous lancez une balle vers le bas avec une vitesse initiale de 5 m/s. À quelle vitesse touche-t-elle le sol et combien de temps dure la chute ? intermedio
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- Ici v₀ ≠ 0, donc on utilise les formules complètes en orientant l'axe vers le bas.
- Le temps est inconnu, on part donc de v² = v₀² + 2 · g · h = 5² + 2 · 9,8 · 40 = 25 + 784 = 809.
- v = √809 ≈ 28,44 m/s.
- Temps : de v = v₀ + g · t on tire t = (28,44 − 5) / 9,8 = 23,44 / 9,8 ≈ 2,39 s.
- Vérification : h = v₀ · t + ½ · g · t² = 5 · 2,39 + 4,9 · 2,39² ≈ 11,96 + 28,04 = 40,0 m. C'est cohérent.
Réponse: v ≈ 28,4 m/s ; t ≈ 2,39 s
5. Vous lancez une balle verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 19,6 m/s. Quelle hauteur maximale atteint-elle et au bout de combien de temps retombe-t-elle dans votre main ? intermedio
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- On oriente l'axe vers le haut : l'accélération vaut −g, soit −9,8 m/s².
- Au point le plus haut la vitesse est nulle : 0 = v₀ − g · t, donc t_montée = 19,6 / 9,8 = 2 s.
- Hauteur maximale : h = v₀²/(2 · g) = 19,6² / (2 · 9,8) = 384,16 / 19,6 = 19,6 m.
- La descente est une chute libre de 19,6 m et dure exactement autant que la montée, donc t_total = 2 + 2 = 4 s.
- Contrôle de la descente : t = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 s. C'est cohérent.
Réponse: h_max = 19,6 m ; t_total = 4 s
6. Un corps tombe sans vitesse initiale de 122,5 m. Combien de mètres parcourt-il pendant la dernière seconde de la chute ? avanzato
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- D'abord le temps total : t = √(2 · 122,5 / 9,8) = √25 = 5 s.
- La dernière seconde va de t = 4 s à t = 5 s, on calcule donc la distance parcourue pendant les 4 premières secondes.
- h(4 s) = ½ · 9,8 · 4² = 4,9 · 16 = 78,4 m.
- Distance pendant la dernière seconde = 122,5 − 78,4 = 44,1 m.
- Attention à l'erreur à éviter : ce n'est pas 122,5 / 5 = 24,5 m. En chute libre les distances de chaque seconde augmentent selon 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 − 44,1 m.
Réponse: 44,1 m (plus d'un tiers de toute la chute)
7. Du haut d'une tour de 25 m, vous lancez une pierre vers le haut à 15 m/s. Au bout de combien de temps atteint-elle le sol et à quelle vitesse ? avanzato
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- Axe orienté vers le haut, origine au pied de la tour : y = 25 + 15 · t − 4,9 · t².
- La pierre est au sol quand y = 0, c'est-à-dire 4,9 · t² − 15 · t − 25 = 0.
- On résout l'équation du second degré : Δ = 15² + 4 · 4,9 · 25 = 225 + 490 = 715 et √715 ≈ 26,74.
- t = (15 + 26,74) / (2 · 4,9) = 41,74 / 9,8 ≈ 4,26 s (on écarte la racine négative, sans sens physique).
- Vitesse : v = 15 − 9,8 · 4,26 ≈ −26,7 m/s, soit 26,7 m/s dirigés vers le bas.
- Vérification indépendante avec v² = v₀² + 2 · g · h = 15² + 2 · 9,8 · 25 = 225 + 490 = 715 et √715 ≈ 26,74 m/s. C'est cohérent.
Réponse: t ≈ 4,26 s ; v ≈ 26,7 m/s vers le bas
Questions fréquentes
Pourquoi la masse n'influence-t-elle pas la chute libre ?
Parce que le poids est proportionnel à la masse (P = m · g), mais l'inertie à vaincre l'est aussi. Dans la deuxième loi de Newton, m · a = m · g, la masse se simplifie et il reste a = g : tous les corps tombent avec la même accélération. Dans la réalité une plume arrive après un caillou uniquement parce que l'air la freine, pas parce qu'elle pèse moins.
Combien vaut g et peut-on utiliser 10 m/s² ?
La valeur de référence est g ≈ 9,81 m/s², et dans les exercices on utilise presque toujours 9,8 m/s². Prendre 10 m/s² n'est acceptable que si l'énoncé le précise ou pour un ordre de grandeur : cela introduit une erreur d'environ 2 %, qui sur un contrôle demandant deux chiffres significatifs peut faire paraître faux un raisonnement correct.
Quelle est la différence entre chute libre et mouvement uniformément accéléré ?
Aucune du point de vue des formules : la chute libre est le cas particulier du mouvement uniformément accéléré où l'accélération est celle de la pesanteur, vaut 9,8 m/s² et est toujours dirigée vers le bas. La seule différence est que vous n'avez pas à calculer a, puisque vous la connaissez déjà.
Comment calculer la distance parcourue pendant la dernière seconde de chute ?
On calcule la distance totale et celle parcourue jusqu'à une seconde avant, puis on soustrait : h(t) − h(t − 1). Ne divisez pas la hauteur par le nombre de secondes : en chute libre les distances augmentent d'une seconde à l'autre selon 4,9 − 14,7 − 24,5 − 34,3 m, et ainsi de suite.
Un corps lancé vers le haut est-il encore en chute libre ?
Oui, si l'on néglige l'air. Dès l'instant où il quitte la main, la seule accélération est g dirigée vers le bas, même pendant la montée : c'est pour cela qu'il ralentit. Au point le plus haut la vitesse est nulle mais l'accélération vaut toujours 9,8 m/s², et c'est précisément pour cela que le corps ne reste pas immobile là-haut.