Teoremas de Euclides: 8 ejercicios resueltos

Los teoremas de Euclides describen qué ocurre cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura sobre la hipotenusa. Son dos y en fórmulas caben en una línea: b² = a · m (teorema del cateto) y h² = m · n (teorema de la altura), donde a es la hipotenusa, b un cateto, m su proyección sobre la hipotenusa, n la otra proyección y h la altura.

Dicho con palabras: cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su propia proyección sobre ella, y la altura es media proporcional entre las dos proyecciones. Hacen falta en todos los ejercicios donde aparecen la altura sobre la hipotenusa o las proyecciones de los catetos, justo donde el teorema de Pitágoras por sí solo no llega.

Los cinco elementos de la figura

Antes de las fórmulas hay que saber leer el dibujo: en un triángulo rectángulo ABC con el ángulo recto en A, al trazar la altura desde A hasta la hipotenusa BC aparecen cinco magnitudes.

Símbolo	Qué es	Dónde está en el dibujo
a	hipotenusa	el lado opuesto al ángulo recto, el más largo
b, c	catetos	los dos lados que forman el ángulo recto
h	altura sobre la hipotenusa	desde el vértice del ángulo recto, perpendicular a la hipotenusa
m	proyección del cateto b	el trozo de hipotenusa del lado de b
n	proyección del cateto c	el trozo de hipotenusa del lado de c

Dos relaciones se cumplen siempre y son la comprobación más rápida de cualquier ejercicio: m + n = a (las proyecciones reconstruyen la hipotenusa) y h ≤ a : 2 (la altura nunca supera la mitad de la hipotenusa).

Todas las fórmulas en una tabla

Relación	Fórmula	Enunciado
Teorema del cateto	b² = a · m y c² = a · n	cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección
Teorema de la altura	h² = m · n	la altura es media proporcional entre las dos proyecciones
Teorema de Pitágoras	b² + c² = a²	el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos
Relación del área	b · c = a · h	el área se calcula con los catetos o con hipotenusa y altura

La última fila no es un teorema de Euclides, pero se aprende con las otras: el área del mismo triángulo se puede escribir como (b · c) : 2, tomando los catetos como base y altura, o como (a · h) : 2, con la hipotenusa y su altura. Es el atajo necesario cada vez que se conocen los dos catetos y se pide h.

La forma de proporción

Los libros enuncian los dos teoremas también como proporciones, y en esa forma el nombre media proporcional se explica solo:

a : b = b : m (teorema del cateto) y m : h = h : n (teorema de la altura)

En ambas, la misma magnitud ocupa los dos lugares centrales. Como en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos, de a : b = b : m sale de inmediato b² = a · m.

Qué teorema aplicar: tabla de decisión

Aquí se pierden más puntos que en los cálculos. La clave es mirar qué magnitudes da el enunciado.

Datos del problema	Qué usar	Fórmula
hipotenusa y una proyección	teorema del cateto	b = √(a · m)
un cateto y su proyección	teorema del cateto, despejando	a = b² : m
un cateto y la hipotenusa	teorema del cateto, despejando	m = b² : a
las dos proyecciones	teorema de la altura	h = √(m · n)
los dos catetos	Pitágoras + relación del área	a = √(b² + c²), luego h = (b · c) : a
un cateto y la altura	Pitágoras en el triángulo pequeño	m = √(b² - h²)
hipotenusa y altura	suma y producto de las proyecciones	x² - a·x + h² = 0

Las dos últimas filas son las que atascan: ningún teorema de Euclides relaciona directamente un cateto con la altura. Si el enunciado da justo esa pareja, el camino es Pitágoras aplicado a uno de los dos triángulos pequeños, cuyos catetos son h y una proyección y cuya hipotenusa es un cateto del triángulo grande.

Un triángulo resuelto por completo: 15-20-25

Conviene tener en la cabeza un triángulo con todos los valores enteros, para detectar al instante un resultado imposible.

Magnitud	Valor	De dónde sale
catetos	b = 15, c = 20	datos de partida
hipotenusa	a = 25	Pitágoras: √(225 + 400) = √625
proyección de b	m = 9	teorema del cateto: 225 : 25
proyección de c	n = 16	teorema del cateto: 400 : 25
altura	h = 12	teorema de la altura: √(9 · 16) = √144
área	150	(15 · 20) : 2 y también (25 · 12) : 2

Todas las comprobaciones cuadran: 9 + 16 = 25 y 15 · 20 = 25 · 12 = 300. Otros dos triángulos cómodos con todos los valores enteros son 30-40-50 (m = 18, n = 32, h = 24) y 45-60-75 (m = 27, n = 48, h = 36): son múltiplos del 3-4-5, y por eso las proyecciones salen enteras.

Por qué funcionan: triángulos semejantes

La altura divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos menores. Cada uno tiene un ángulo recto y comparte un ángulo agudo con el original, así que los tres triángulos son semejantes: mismos ángulos y lados proporcionales.

Triángulo	Catetos	Hipotenusa
el grande	b, c	a
pequeño, a la izquierda	h, m	b
pequeño, a la derecha	h, n	c

De esa semejanza salen los dos teoremas. Comparando el triángulo grande con el de la izquierda, la razón entre hipotenusa y cateto adyacente es la misma: a : b = b : m, es decir el teorema del cateto. Comparando los dos triángulos pequeños entre sí, la razón de sus catetos da m : h = h : n, el teorema de la altura. No son dos fórmulas independientes: son la misma semejanza leída en dos direcciones.

El caso límite: cuánto puede medir la altura

Fijada la hipotenusa, la altura no puede crecer sin límite. De m + n = a y m · n = h² se deduce que m y n son las soluciones de x² - a·x + h² = 0, que existen solo si el discriminante no es negativo:

a² - 4h² ≥ 0, es decir h ≤ a : 2

El máximo se alcanza cuando Δ = 0, o sea m = n = a : 2: es el triángulo rectángulo isósceles, el único cuya altura vale exactamente la mitad de la hipotenusa. Con hipotenusa de 10 cm, por ejemplo, la altura no puede pasar de 5 cm, y los catetos de ese caso límite miden √(10 · 5) = √50 ≈ 7,07 cm.

Vale la pena comprobarlo antes de calcular: si un problema declara hipotenusa 10 cm y altura 6 cm, el triángulo no existe, y decirlo es la solución. El ejercicio 8 de abajo es exactamente ese caso.

Errores más frecuentes

• Emparejar el cateto con la proyección equivocada. b va con m y c va con n: cada cateto va con la proyección que parte de su mismo vértice. Escribir b² = a · n es el error número uno y da un resultado verosímil pero falso.
• Usar el teorema de la altura con un cateto. h² = m · n relaciona la altura con las proyecciones, no con los catetos. Escribir h² = b · c no tiene sentido: la relación correcta con los catetos es b · c = a · h.
• Olvidar la raíz. De b² = 225 el cateto es 15, no 225. Es el fallo que más puntos cuesta en los exámenes.
• Sumar en vez de restar para la segunda proyección. Si a = 25 y m = 9, entonces n = 25 - 9 = 16, no 25 + 9.
• Aplicar los teoremas a un triángulo no rectángulo, o a la altura trazada sobre un cateto en lugar de sobre la hipotenusa. En ambos casos las fórmulas son sencillamente falsas.
• No comprobar m + n = a. Es la verificación más rápida que existe: si las proyecciones no reconstruyen la hipotenusa, hay un error antes.
• Redondear demasiado pronto. Con datos como 5,4 y 9,6 los resultados son exactos hasta el final: se redondea solo al terminar, y solo si el enunciado lo pide.

En los ocho ejercicios de abajo la dificultad crece de verdad y ninguno se resuelve igual que el anterior. Los tres primeros aplican los dos teoremas hacia delante y hacia atrás; el cuarto y el quinto exigen un paso externo (Pitágoras en el triángulo pequeño y luego la relación del área); el sexto conduce a una ecuación de segundo grado planteada con la suma y el producto de las proyecciones; el séptimo parte de una razón en lugar de medidas; el octavo es un triángulo que no existe, y hay que detectarlo por el discriminante negativo.