Matematica

Operazioni con le frazioni: esercizi svolti passo per passo

Come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere le frazioni con la regola del denominatore comune e del reciproco, e cinque esercizi svolti di difficoltà crescente con soluzione verificata.

Consigliato per: 1ª media · 2ª media · 3ª media

Per fare le operazioni con le frazioni valgono tre regole: per sommare o sottrarre servono lo stesso denominatore (il minimo comune multiplo), poi si opera solo sui numeratori; per moltiplicare si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro; per dividere si moltiplica per il reciproco della seconda frazione. Alla fine si semplifica sempre.

Somma e sottrazione: prima il denominatore comune

Non si possono sommare i numeratori se i denominatori sono diversi. Prima si trova il minimo comune multiplo dei denominatori, si trasforma ogni frazione in una equivalente con quel denominatore e solo allora si sommano (o sottraggono) i numeratori. Il denominatore comune resta lo stesso e non si somma mai.

Moltiplicazione e divisione: più dirette

La moltiplicazione è l’operazione più semplice: numeratore per numeratore, denominatore per denominatore, senza cercare alcun denominatore comune. La divisione si riporta a una moltiplicazione ribaltando la seconda frazione: si moltiplica cioè per il suo reciproco. In entrambi i casi conviene semplificare il risultato.

L’ordine delle operazioni vale anche qui

Quando in un’espressione compaiono più operazioni, si rispetta la stessa gerarchia dei numeri interi: prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni, tenendo conto delle parentesi. Negli esercizi qui sotto lo schema è applicato a difficoltà crescente e ogni risultato è verificato con il calcolo dei valori.

Esercizi svolti

1. Calcola: 1/4 + 2/3 base

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  1. Trovo il denominatore comune: mcm(4, 3) = 12.
  2. Trasformo le frazioni: 1/4 = 3/12 e 2/3 = 8/12.
  3. Sommo i numeratori: 3/12 + 8/12 = 11/12.
  4. 11 e 12 non hanno divisori comuni: la frazione è già ridotta.

Risultato: 11/12

2. Calcola: 5/6 − 1/4 base

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  1. Denominatore comune: mcm(6, 4) = 12.
  2. Trasformo: 5/6 = 10/12 e 1/4 = 3/12.
  3. Sottraggo i numeratori: 10/12 − 3/12 = 7/12.
  4. 7 e 12 sono primi tra loro: risultato già ridotto.

Risultato: 7/12

3. Calcola: 3/8 × 4/9 intermedio

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  1. Nella moltiplicazione si moltiplicano numeratori tra loro e denominatori tra loro.
  2. Numeratori: 3 × 4 = 12 ; denominatori: 8 × 9 = 72.
  3. Ottengo 12/72.
  4. Semplifico dividendo per il MCD 12: 12/72 = 1/6.

Risultato: 1/6

4. Calcola: 5/6 ÷ 10/3 intermedio

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  1. Dividere per una frazione significa moltiplicare per il suo reciproco.
  2. 5/6 ÷ 10/3 = 5/6 × 3/10.
  3. Moltiplico: (5 × 3)/(6 × 10) = 15/60.
  4. Semplifico dividendo per il MCD 15: 15/60 = 1/4.

Risultato: 1/4

5. Calcola: 3/4 ÷ 1/2 − 2/3 avanzato

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  1. Prima la divisione: 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2.
  2. Ora l'espressione diventa 3/2 − 2/3.
  3. Denominatore comune: mcm(2, 3) = 6 ; 3/2 = 9/6 e 2/3 = 4/6.
  4. Sottraggo: 9/6 − 4/6 = 5/6.

Risultato: 5/6

Domande frequenti

Come si sommano due frazioni con denominatori diversi?

Si riducono allo stesso denominatore, di solito il minimo comune multiplo dei denominatori. Si scrivono le frazioni equivalenti con quel denominatore e poi si sommano i numeratori, lasciando invariato il denominatore comune.

Perché per dividere due frazioni si moltiplica per il reciproco?

Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo inverso: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Dopo la moltiplicazione si semplifica il risultato ai minimi termini.

Quando devo semplificare una frazione?

Alla fine di ogni operazione, se numeratore e denominatore hanno divisori comuni. Si dividono entrambi per il loro Massimo Comune Divisore per ottenere la frazione ridotta ai minimi termini.