Matematica

Proprietà delle potenze: esercizi svolti passo per passo

Le proprietà delle potenze spiegate in modo semplice, con le regole per moltiplicare, dividere ed elevare potenze e cinque esercizi svolti di difficoltà crescente con soluzione verificata.

Consigliato per: 3ª media · 1ª superiore

Le proprietà delle potenze permettono di semplificare prodotti, quozienti e potenze di potenze senza svolgere ogni calcolo. La regola base è: a parità di base, per moltiplicare si sommano gli esponenti (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) e per dividere si sottraggono (aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).

Le regole fondamentali

Tutte le proprietà si applicano solo quando la base è la stessa:

  • Prodotto: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (sommo gli esponenti);
  • Quoziente: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (sottraggo gli esponenti);
  • Potenza di potenza: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (moltiplico gli esponenti).

Ci sono poi due proprietà utili quando cambia la base ma l’esponente è lo stesso: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ e (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ.

Esponente zero e esponente negativo

Due casi da ricordare a memoria perché tornano spesso: qualunque numero diverso da zero elevato a 0 dà 1 (a⁰ = 1), mentre un esponente negativo indica il reciproco (a⁻ⁿ = 1/aⁿ). Questi due risultati derivano proprio dalla regola del quoziente.

Come affrontare gli esercizi

Il metodo è sempre lo stesso: controlla se le basi sono uguali, applica la proprietà giusta lavorando sugli esponenti e solo alla fine calcola il valore numerico. Negli esercizi qui sotto trovi lo stesso schema applicato a difficoltà crescente, dai prodotti semplici fino a un’espressione con esponenti negativi da gestire con attenzione.

Esercizi svolti

1. Semplifica: 2³ · 2⁴ base

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  1. Le basi sono uguali (2), quindi nel prodotto si sommano gli esponenti.
  2. 2³ · 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷.
  3. 2⁷ = 128.

Risultato: 2⁷ = 128

2. Semplifica: 5⁶ : 5⁴ base

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  1. Le basi sono uguali (5), quindi nel quoziente si sottraggono gli esponenti.
  2. 5⁶ : 5⁴ = 5^(6−4) = 5².
  3. 5² = 25.

Risultato: 5² = 25

3. Semplifica: (3²)³ intermedio

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  1. È una potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti.
  2. (3²)³ = 3^(2·3) = 3⁶.
  3. 3⁶ = 729.

Risultato: 3⁶ = 729

4. Semplifica: (10³ · 10⁻¹) : 10² intermedio

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  1. Nel prodotto sommo gli esponenti: 10³ · 10⁻¹ = 10^(3+(−1)) = 10².
  2. Nel quoziente sottraggo: 10² : 10² = 10^(2−2) = 10⁰.
  3. Ogni numero diverso da zero elevato a 0 vale 1.

Risultato: 10⁰ = 1

5. Semplifica: (x⁴ · x⁻⁶)⁻² avanzato

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  1. Dentro la parentesi sommo gli esponenti: x⁴ · x⁻⁶ = x^(4+(−6)) = x⁻².
  2. Ora è una potenza di potenza: (x⁻²)⁻² = x^((−2)·(−2)) = x⁴.
  3. Il doppio segno negativo dà un esponente positivo.

Risultato: x⁴

Domande frequenti

Quanto vale una potenza con esponente 0?

Qualsiasi numero diverso da zero elevato a 0 vale 1: per esempio 7⁰ = 1. L'espressione 0⁰ invece non è definita.

Cosa significa un esponente negativo?

Un esponente negativo indica il reciproco: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Per esempio 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Posso sommare gli esponenti anche se le basi sono diverse?

No. La regola del prodotto vale solo a parità di base: 2³ · 3² non si semplifica sommando gli esponenti, perché le basi 2 e 3 sono diverse.