Matemática
Operações com frações: 8 exercícios resolvidos
Para somar frações com denominadores diferentes use o mmc; para multiplicar basta multiplicar em linha. Veja a tabela das 4 operações e 8 exercícios resolvidos.
Recomendado para: 6º ano · 7º ano
Numa fração o denominador diz em quantas partes iguais o inteiro foi dividido e o numerador diz quantas dessas partes você pegou. Toda a dificuldade das operações vem de um único ponto: somar e subtrair exigem denominadores iguais, multiplicar e dividir não.
As quatro operações em uma tabela
| Operação | Regra | Exemplo resolvido |
|---|---|---|
| Soma com o mesmo denominador | Some os numeradores e mantenha o denominador | 2/7 + 3/7 = 5/7 |
| Soma com denominadores diferentes | Calcule o mmc, escreva as frações equivalentes, some os numeradores | 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 |
| Subtração com o mesmo denominador | Subtraia os numeradores e mantenha o denominador | 5/9 - 2/9 = 3/9 = 1/3 |
| Subtração com denominadores diferentes | Mesmo procedimento da soma, com o mmc | 3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12 |
| Multiplicação | Numerador vezes numerador, denominador vezes denominador | (2/3) · (4/5) = 8/15 |
| Divisão | Multiplique a primeira pelo inverso da segunda | (3/5) : (2/7) = (3/5) · (7/2) = 21/10 |
O mmc aparece só nas duas primeiras linhas de cálculo com denominadores diferentes. Na multiplicação e na divisão procurar denominador comum é trabalho perdido.
Simplificar e frações equivalentes
Duas frações são equivalentes quando representam a mesma quantidade: 1/2, 2/4 e 50/100 são a mesma coisa escrita de três jeitos. Para passar de uma para outra existem duas operações inversas:
- Simplificar é dividir numerador e denominador pelo mesmo número. Quando não sobra nenhum divisor comum além de 1, a fração é irredutível.
- Amplificar é multiplicar os dois termos pelo mesmo número. É o que você faz para chegar ao denominador comum antes de uma soma.
Na multiplicação vale um atalho poderoso, a simplificação cruzada: em (2/3) · (9/10) você cancela o 3 com o 9 e o 2 com o 10 antes de multiplicar, e o resultado 3/5 já sai pronto.
Frações próprias, impróprias e aparentes
| Tipo | Condição | Exemplo | Como se lê o valor |
|---|---|---|---|
| Própria | Numerador menor que o denominador | 3/5 | Vale menos que 1 |
| Imprópria | Numerador maior que o denominador | 7/4 | Vale mais que 1, equivale ao número misto 1 e 3/4 |
| Aparente | Numerador múltiplo do denominador | 8/4 | É um número inteiro: 2 |
Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplique a parte inteira pelo denominador e some o numerador: 2 e 1/2 vira (2 · 2 + 1)/2 = 5/2. Para voltar, divida numerador por denominador: o quociente é a parte inteira e o resto é o novo numerador.
Fração, decimal e porcentagem
| Fração | Decimal | Porcentagem |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
| 1/5 | 0,2 | 20% |
| 2/5 | 0,4 | 40% |
| 1/8 | 0,125 | 12,5% |
| 1/10 | 0,1 | 10% |
| 1/3 | 0,333… | 33,3% |
Para passar de fração a decimal basta dividir o numerador pelo denominador; para chegar à porcentagem, multiplique o decimal por 100. Esse é o elo entre este assunto e os exercícios resolvidos de porcentagem, em que um desconto de 25% e a fração 1/4 são exatamente a mesma coisa.
Comparar e ordenar frações
O método universal é reduzir tudo ao mesmo denominador e comparar os numeradores. Dois atalhos economizam tempo nas provas:
- Com o mesmo numerador, é maior a fração de denominador menor: 3/5 é maior que 3/8, porque dividir o inteiro em 5 partes gera pedaços maiores que dividir em 8.
- Uma fração menor que 1 nunca pode ser maior que uma fração maior que 1: entre 9/10 e 11/10 não é preciso calcular nada.
A ordem das operações
Com frações a ordem é a mesma de sempre: parênteses, potências, multiplicações e divisões da esquerda para a direita, somas e subtrações no fim. Quando aparecem expoentes, lembre que a potência atinge os dois termos, como em (2/3) ao quadrado = 4/9, e as propriedades da potenciação continuam valendo igualzinho.
O domínio das frações também decide a nota nas equações do 1º grau: quando a equação tem denominadores, o primeiro passo é justamente multiplicar tudo pelo mmc.
Erros mais comuns
- Somar numeradores E denominadores. 1/2 + 1/3 não é 2/5. Se fosse, meia pizza mais um terço de pizza daria menos que meia pizza, o que é impossível.
- Procurar o mmc na multiplicação. Na multiplicação e na divisão os denominadores podem ser diferentes à vontade: o denominador comum só serve para soma e subtração.
- Inverter a fração errada na divisão. Em (7/10) : (14/15) quem vira de cabeça para baixo é o divisor 14/15, nunca o 7/10.
- Simplificar através de um mais ou de um menos. Em (3 + 5)/3 é proibido cortar o 3 do numerador com o do denominador: só se simplificam fatores de um produto, nunca parcelas de uma soma. Já em (3 · 5)/3 o corte é legítimo.
- Parar antes da fração irredutível. Um resultado como 4/8 não está errado, mas está incompleto: a resposta esperada é 1/2.
- Esquecer de converter o número misto. Antes de operar, 2 e 1/2 precisa virar 5/2, senão a parte inteira acaba ficando de fora da conta.
Nos exercícios abaixo o roteiro é sempre o mesmo, mas a dificuldade cresce de verdade: começamos pela soma com denominadores iguais, passamos pelo mmc, pela simplificação e pela simplificação cruzada, chegamos a uma expressão com parênteses e à ordenação de quatro frações e terminamos com um problema do dia a dia em que a divisão por uma fração menor que 1 dá um resultado maior que o valor inicial.
Exercícios resolvidos
1. Calcule: 3/8 + 1/8 base
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- Os denominadores já são iguais, então somo apenas os numeradores e mantenho o denominador: (3 + 1)/8.
- Obtenho 4/8.
- Simplifico dividindo numerador e denominador por 4: 4/8 = 1/2.
- Verificação: 3/8 = 0,375 e 1/8 = 0,125. A soma é 0,5, que é exatamente 1/2. Confere.
Resposta: 1/2
2. Calcule: 3/4 + 5/6 e escreva o resultado também como número misto. base
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- Os denominadores são diferentes, então calculo o mínimo múltiplo comum de 4 e 6: mmc(4, 6) = 12.
- Transformo cada fração em uma equivalente com denominador 12: 3/4 = 9/12 porque 12 : 4 = 3 e 3 · 3 = 9; 5/6 = 10/12 porque 12 : 6 = 2 e 5 · 2 = 10.
- Agora somo os numeradores: 9/12 + 10/12 = 19/12.
- 19 e 12 não têm divisores comuns, então 19/12 já é irredutível.
- Como 19 é maior que 12 a fração é imprópria: divido 19 por 12 e obtenho quociente 1 e resto 7, ou seja o número misto 1 e 7/12.
- Verificação: 3/4 = 0,75 e 5/6 é aproximadamente 0,8333. A soma é cerca de 1,5833, e 19/12 também é cerca de 1,5833. Confere.
Resposta: 19/12, ou seja 1 e 7/12
3. Simplifique 84/126 até a fração irredutível. base
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- Simplificar significa dividir numerador e denominador pelo mesmo número, e a fração fica equivalente à original.
- Decomponho os dois termos em fatores primos: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 e 126 = 2 · 3 · 3 · 7.
- Os fatores comuns são 2, 3 e 7, logo o máximo divisor comum é 2 · 3 · 7 = 42.
- Divido os dois termos por 42: 84 : 42 = 2 e 126 : 42 = 3.
- Chego a 2/3. Como 2 e 3 não têm divisores comuns além de 1, a fração é irredutível.
- Verificação: 84/126 = 0,6666... e 2/3 = 0,6666... Confere.
Resposta: 2/3
4. Calcule usando a simplificação cruzada: (4/9) · (15/16) intermedio
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- Na multiplicação não preciso de denominadores iguais: multiplico numerador com numerador e denominador com denominador.
- Antes de multiplicar, simplifico em cruz para trabalhar com números menores. O 4 do primeiro numerador e o 16 do segundo denominador são ambos divisíveis por 4: viram 1 e 4.
- O 15 do segundo numerador e o 9 do primeiro denominador são ambos divisíveis por 3: viram 5 e 3.
- Sobra (1/3) · (5/4) = 5/12.
- Verificação sem simplificação prévia: 4 · 15 = 60 e 9 · 16 = 144, e 60/144 dividido por 12 dá 5/12. Confere.
Resposta: 5/12
5. Calcule: (7/10) : (14/15) intermedio
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- Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso dela, ou seja pela fração com numerador e denominador trocados.
- O inverso de 14/15 é 15/14, então a conta vira (7/10) · (15/14).
- Atenção: quem inverte é o divisor, a segunda fração. A primeira fica como está.
- Simplifico em cruz: 7 e 14 são divisíveis por 7 e viram 1 e 2; 15 e 10 são divisíveis por 5 e viram 3 e 2.
- Sobra (1/2) · (3/2) = 3/4.
- Verificação: 7 · 15 = 105 e 10 · 14 = 140, e 105/140 dividido por 35 dá 3/4. Confere.
Resposta: 3/4
6. Calcule respeitando a ordem das operações: 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 intermedio
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- Primeiro resolvo o que está dentro do parêntese. O mmc de 3 e 4 é 12: 2/3 = 8/12 e 1/4 = 3/12.
- Subtraio: 8/12 - 3/12 = 5/12.
- Agora a multiplicação, que vem antes da soma: (5/12) · (6/5). Simplifico em cruz o 5 com o 5 e o 6 com o 12, e sobra (1/2) · (1/1) = 1/2.
- Por último a soma: 1/2 + 1/2 = 2/2.
- 2/2 se simplifica até um número inteiro: o resultado é 1.
- Verificação com decimais: 2/3 - 1/4 = 0,4167 aproximadamente; multiplicado por 1,2 dá 0,5; somando 0,5 dá 1. Confere.
Resposta: 1
7. Coloque em ordem crescente: 5/8, 2/3, 7/12, 3/4. avanzato
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- Para comparar frações com denominadores diferentes eu as reduzo todas ao mesmo denominador. O mmc de 8, 3, 12 e 4 é 24.
- Converto cada uma: 5/8 = 15/24, 2/3 = 16/24, 7/12 = 14/24 e 3/4 = 18/24.
- Com o mesmo denominador basta comparar os numeradores: 14 < 15 < 16 < 18.
- Volto às frações originais na mesma ordem: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4.
- Verificação com decimais arredondados: 7/12 ≈ 0,583; 5/8 = 0,625; 2/3 ≈ 0,667; 3/4 = 0,75. A ordem está correta.
Resposta: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4
8. Uma lanchonete tem 2 litros e meio de açaí e cada porção leva 3/8 de litro. Quantas porções inteiras saem e quanto sobra? avanzato
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- Traduzo os dados em frações: 2 litros e meio é o número misto 2 e 1/2, que vira a fração imprópria 5/2 porque 2 · 2 + 1 = 5.
- A pergunta quantas porções de 3/8 cabem em 5/2 é uma divisão: (5/2) : (3/8).
- Multiplico pelo inverso do divisor: (5/2) · (8/3). Simplifico o 8 com o 2 e sobra (5/1) · (4/3) = 20/3.
- 20/3 é aproximadamente 6,67. Repare no detalhe: dividi por 3/8, que é menor que 1, e o resultado ficou MAIOR que 5/2. Isso é normal, porque estou contando quantos pedaços pequenos cabem numa quantidade maior.
- Como não existe meia porção à venda, saem 6 porções inteiras.
- Calculo o que sobra: 6 porções gastam 6 · 3/8 = 18/8 = 9/4 de litro. Sobra 5/2 - 9/4 = 10/4 - 9/4 = 1/4 de litro.
- Verificação: 9/4 = 2,25 litros usados mais 0,25 litro de sobra dá 2,5 litros. Confere.
Resposta: 6 porções inteiras, sobrando 1/4 de litro
Perguntas frequentes
Como somar frações com denominadores diferentes?
Você precisa deixar as duas com o mesmo denominador antes de somar. Calcule o mínimo múltiplo comum dos denominadores, transforme cada fração numa equivalente com esse denominador e só então some os numeradores, mantendo o denominador comum. Em 3/4 + 5/6 o mmc é 12, as frações viram 9/12 e 10/12 e o resultado é 19/12. No fim simplifique se der. O erro clássico é somar numerador com numerador e denominador com denominador, o que dá um resultado errado.
Como dividir duas frações?
Conserve a primeira fração e multiplique pelo inverso da segunda, ou seja pela fração do divisor com numerador e denominador trocados. Em (7/10) : (14/15) o inverso de 14/15 é 15/14, então a conta vira (7/10) · (15/14) = 3/4. Quem inverte é sempre o divisor, nunca o dividendo, e essa troca de posição é o erro mais frequente. Antes de multiplicar vale simplificar em cruz para lidar com números menores.
Como simplificar uma fração até ela ficar irredutível?
Divida numerador e denominador pelo máximo divisor comum entre eles. O caminho seguro é decompor os dois números em fatores primos e cancelar os fatores que aparecem nos dois. Em 84/126 os fatores comuns são 2, 3 e 7, cujo produto é 42, e dividindo por 42 chega-se a 2/3. A fração é irredutível quando numerador e denominador não têm mais nenhum divisor comum além de 1. Simplificar não muda o valor da fração, só a escreve de forma mais enxuta.
Como saber qual fração é maior?
Reduza todas ao mesmo denominador e compare os numeradores: com denominadores iguais, a fração maior é a que tem o numerador maior. Para 5/8 e 2/3 o mmc é 24, elas viram 15/24 e 16/24, logo 2/3 é maior. Existem dois atalhos úteis: com o mesmo numerador ganha quem tem o denominador menor, porque as partes são maiores; e uma fração menor que 1 é sempre menor que uma fração maior que 1.
Qual é a ordem das operações com frações?
É a mesma dos números inteiros. Primeiro o que está dentro dos parênteses, depois potências, em seguida multiplicações e divisões da esquerda para a direita e por último somas e subtrações. Em 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 você resolve o parêntese, faz a multiplicação e só no fim a soma, chegando a 1. Só se calcula o mmc quando aparece uma soma ou uma subtração: na multiplicação e na divisão ele não serve para nada.