Matemáticas

Operaciones con fracciones: ejercicios resueltos paso a paso

Cómo se hacen las operaciones con fracciones: sumar, restar, multiplicar y dividir paso a paso, cómo buscar el común denominador y 8 ejercicios resueltos.

Recomendado para: 1º ESO · 2º ESO

Para hacer operaciones con fracciones valen tres reglas: para sumar o restar hace falta el mismo denominador (el mínimo común múltiplo) y luego se opera solo con los numeradores; para multiplicar se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí; para dividir se multiplica por el recíproco de la segunda fracción. Al final siempre se simplifica.

Las cuatro operaciones en una tabla:

OperaciónReglaEjemplo
Sumamismo denominador, se suman los numeradores1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12
Restamismo denominador, se restan los numeradores5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12
Multiplicaciónnumerador por numerador, denominador por denominador2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5
Divisiónse multiplica por el recíproco del segundo3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

Suma y resta: cómo buscar el común denominador

No se pueden sumar los numeradores si los denominadores son distintos. El denominador común es el mínimo común múltiplo de los denominadores, y se obtiene así:

  1. Descompón cada denominador en factores primos: 6 = 2·3, 4 = 2².
  2. Toma todos los factores que aparecen, cada uno con el exponente más alto: 2²·3.
  3. Multiplica: el m.c.m. es 12.
  4. Reescribe cada fracción multiplicando numerador y denominador por lo que falta: 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12.

Solo entonces se suman (o se restan) los numeradores. El denominador común se mantiene igual y nunca se suma: 1/4 + 1/6 no es 2/10.

Cómo dividir fracciones

La división es la operación que más se busca y la que tiene la regla más corta: se da la vuelta a la segunda fracción y se multiplica.

a/b : c/d = a/b × d/c

Por ejemplo 3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8. Dos detalles que marcan la diferencia: la fracción que se invierte es siempre la segunda (la primera no se toca), y conviene simplificar en cruz antes de multiplicar, porque los números se quedan pequeños y no hace falta reducir al final.

Para dividir una fracción por un número entero, escribe el entero como fracción con denominador 1: 2/3 : 4 = 2/3 : 4/1 = 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6.

Multiplicación: la más directa

Numerador por numerador, denominador por denominador, sin buscar ningún común denominador: 2/3 × 3/5 = 6/15, que simplificado es 2/5. Es la única operación donde los denominadores distintos no suponen ningún trabajo extra.

El orden de las operaciones también cuenta

Cuando una expresión tiene varias operaciones, se respeta la misma jerarquía que con los números enteros: primero multiplicaciones y divisiones, después sumas y restas, teniendo en cuenta los paréntesis. En los 8 ejercicios resueltos de abajo el esquema se aplica con dificultad creciente, desde una división simple hasta una expresión con paréntesis y división combinadas, y cada resultado se comprueba calculando los valores.

Ejercicios resueltos

1. Calcula: 1/4 + 2/3 base

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  1. Busco el común denominador: mcm(4, 3) = 12.
  2. Reescribo las fracciones: 1/4 = 3/12 y 2/3 = 8/12.
  3. Sumo los numeradores: 3/12 + 8/12 = 11/12.
  4. 11 y 12 no tienen factores comunes: la fracción ya es irreducible.

Resultado: 11/12

2. Calcula: 5/6 − 1/4 base

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  1. Común denominador: mcm(6, 4) = 12.
  2. Reescribo: 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12.
  3. Resto los numeradores: 10/12 − 3/12 = 7/12.
  4. 7 y 12 son primos entre sí: el resultado ya está reducido.

Resultado: 7/12

3. Calcula: 3/8 × 4/9 intermedio

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  1. Al multiplicar se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
  2. Numeradores: 3 × 4 = 12 ; denominadores: 8 × 9 = 72.
  3. Se obtiene 12/72.
  4. Simplifico dividiendo por el MCD 12: 12/72 = 1/6.

Resultado: 1/6

4. Calcula: 5/6 ÷ 10/3 intermedio

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  1. Dividir por una fracción significa multiplicar por su recíproco.
  2. 5/6 ÷ 10/3 = 5/6 × 3/10.
  3. Multiplico: (5 × 3)/(6 × 10) = 15/60.
  4. Simplifico dividiendo por el MCD 15: 15/60 = 1/4.

Resultado: 1/4

5. Calcula: 3/4 ÷ 1/2 − 2/3 avanzato

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  1. Primero la división: 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2.
  2. La expresión pasa a ser 3/2 − 2/3.
  3. Común denominador: mcm(2, 3) = 6 ; 3/2 = 9/6 y 2/3 = 4/6.
  4. Resto: 9/6 − 4/6 = 5/6.

Resultado: 5/6

6. Calcula: 3/4 : 2/5 base

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  1. Dividir por una fracción es multiplicar por su recíproco: doy la vuelta a la segunda.
  2. 3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2.
  3. Multiplico numeradores y denominadores: (3 × 5)/(4 × 2) = 15/8.
  4. 15 y 8 no tienen factores comunes, así que 15/8 ya es irreducible.

Resultado: 15/8

7. Calcula: 5/6 − 1/4 base

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  1. Los denominadores son distintos, así que busco el m.c.m. de 6 y 4.
  2. 6 = 2·3 y 4 = 2², por tanto el m.c.m. es 2²·3 = 12.
  3. Reescribo las dos fracciones con denominador 12: 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12.
  4. Resto solo los numeradores: 10/12 − 3/12 = 7/12.

Resultado: 7/12

8. Calcula: (2/3 + 1/6) : 5/4 intermedio

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  1. Primero el paréntesis: el m.c.m. de 3 y 6 es 6, así que 2/3 = 4/6.
  2. 4/6 + 1/6 = 5/6.
  3. Ahora la división: 5/6 : 5/4 = 5/6 × 4/5.
  4. Simplifico el 5 arriba con el 5 abajo: queda 4/6 = 2/3.

Resultado: 2/3

Preguntas frecuentes

¿Cómo se dividen dos fracciones?

Se da la vuelta a la segunda fracción y se multiplica: a/b : c/d = a/b × d/c. Por ejemplo 3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8. La primera fracción no se toca nunca, y el resultado se simplifica al final.

¿Cómo se busca el común denominador?

Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: se descomponen en factores primos y se toman todos los factores con el exponente más alto. Con 4 = 2² y 6 = 2·3 el m.c.m. es 2²·3 = 12. Después cada fracción se reescribe multiplicando numerador y denominador por el número que falta para llegar a 12.

¿Cómo se suman dos fracciones con denominadores distintos?

Se reducen al mismo denominador, normalmente el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se escribe cada fracción como una equivalente con ese denominador y luego se suman los numeradores, dejando igual el denominador común.

¿Por qué al dividir fracciones se multiplica por el recíproco?

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inverso: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Después de multiplicar se simplifica el resultado a su forma irreducible.

¿Cuándo debo simplificar una fracción?

Al final de cada operación, cuando el numerador y el denominador tienen factores comunes. Se dividen ambos por su Máximo Común Divisor para obtener la fracción irreducible.