Mathematik

Bruchrechnung: 8 Aufgaben mit Lösungen

Brüche addiert man über den Hauptnenner, multipliziert geradeaus und dividiert mit dem Kehrwert. Tabelle der Grundrechenarten und 8 Aufgaben mit Lösungsweg.

Empfohlen für: 6. Klasse · 7. Klasse

In einem Bruch gibt der Nenner an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde, und der Zähler, wie viele dieser Teile genommen werden. Die ganze Schwierigkeit der Bruchrechnung hängt an einem einzigen Punkt: Addition und Subtraktion verlangen denselben Nenner, Multiplikation und Division nicht.

Die vier Grundrechenarten in einer Tabelle

RechenartRegelGerechnetes Beispiel
Addition, gleicher NennerZähler addieren, Nenner beibehalten2/7 + 3/7 = 5/7
Addition, verschiedene NennerHauptnenner suchen, erweitern, dann Zähler addieren1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Subtraktion, gleicher NennerZähler subtrahieren, Nenner beibehalten5/9 - 2/9 = 3/9 = 1/3
Subtraktion, verschiedene NennerWie bei der Addition, über den Hauptnenner3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12
MultiplikationZähler mal Zähler, Nenner mal Nenner(2/3) · (4/5) = 8/15
DivisionMit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren(3/5) : (2/7) = (3/5) · (7/2) = 21/10

Der Hauptnenner taucht nur in den Zeilen mit Addition und Subtraktion auf. Ihn für eine Multiplikation oder Division zu suchen, ist verlorene Zeit.

Kürzen, erweitern, gleichwertige Brüche

Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie denselben Wert darstellen: 1/2, 2/4 und 50/100 sind dieselbe Zahl in drei Schreibweisen. Zwei zueinander umgekehrte Rechenschritte führen von einer Form zur anderen:

  • Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen. Bleibt kein gemeinsamer Teiler außer 1, ist der Bruch vollständig gekürzt.
  • Erweitern heißt, beide mit derselben Zahl zu multiplizieren. Genau das macht man, um vor einer Addition den Hauptnenner zu erreichen.

Bei der Multiplikation gibt es eine starke Abkürzung, das Kürzen über Kreuz: in (2/3) · (9/10) streicht man die 3 gegen die 9 und die 2 gegen die 10, noch bevor multipliziert wird, und das Ergebnis 3/5 steht sofort da.

Echte, unechte und gemischte Brüche

ArtBedingungBeispielBedeutung des Werts
Echter BruchZähler kleiner als der Nenner3/5Kleiner als 1
Unechter BruchZähler größer als der Nenner7/4Größer als 1, entspricht der gemischten Zahl 1 3/4
Bruch als ganze ZahlZähler ist ein Vielfaches des Nenners8/4Eine ganze Zahl: 2

Eine gemischte Zahl wird so in einen unechten Bruch umgewandelt: ganze Zahl mal Nenner, plus Zähler. Aus 2 1/2 wird (2 · 2 + 1)/2 = 5/2. Umgekehrt teilt man Zähler durch Nenner; das Ergebnis ist die ganze Zahl, der Rest wird zum neuen Zähler.

Bruch, Dezimalzahl und Prozent

BruchDezimalzahlProzent
1/20,550 %
1/40,2525 %
3/40,7575 %
1/50,220 %
2/50,440 %
1/80,12512,5 %
1/100,110 %
1/30,333…33,3 %

Vom Bruch zur Dezimalzahl kommt man durch Teilen des Zählers durch den Nenner, zum Prozentsatz durch Multiplikation mit 100. Das ist die direkte Brücke zu den Aufgaben zur Prozentrechnung: ein Rabatt von 25 % und der Bruch 1/4 sind exakt dasselbe.

Brüche vergleichen und ordnen

Der allgemeingültige Weg ist, alles auf den Hauptnenner zu bringen und die Zähler zu vergleichen. Zwei Abkürzungen sparen in der Klassenarbeit Zeit:

  • Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer: 3/5 ist größer als 3/8, denn eine Teilung in 5 Stücke liefert größere Teile als eine Teilung in 8.
  • Ein Bruch kleiner als 1 kann nie größer sein als ein Bruch über 1: zwischen 9/10 und 11/10 ist keine Rechnung nötig.

Die Rechenreihenfolge

Bei Brüchen gilt die gewohnte Reihenfolge: Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich, zuletzt Addition und Subtraktion. Steht ein Exponent am Bruch, betrifft er Zähler und Nenner zugleich, etwa (2/3) zum Quadrat = 4/9, und die Potenzgesetze gelten unverändert weiter.

Sichere Bruchrechnung entscheidet außerdem über den Erfolg bei linearen Gleichungen: sobald in einer Gleichung Nenner auftauchen, besteht der erste Schritt genau darin, alle Terme mit dem Hauptnenner zu multiplizieren.

Die häufigsten Fehler

  • Zähler UND Nenner addieren. 1/2 + 1/3 ergibt nicht 2/5. Sonst wäre eine halbe Pizza plus ein Drittel Pizza weniger als eine halbe Pizza, was unmöglich ist.
  • Den Hauptnenner beim Multiplizieren suchen. Bei Multiplikation und Division dürfen die Nenner ruhig verschieden bleiben: der gemeinsame Nenner dient nur der Addition und der Subtraktion.
  • Den falschen Bruch stürzen. In (7/10) : (14/15) wird der Divisor 14/15 auf den Kopf gestellt, niemals 7/10.
  • Über ein Plus oder ein Minus hinweg kürzen. In (3 + 5)/3 darf die 3 im Zähler nicht gegen die 3 im Nenner gestrichen werden: gekürzt werden nur Faktoren eines Produkts, nie Summanden einer Summe. In (3 · 5)/3 dagegen ist das Kürzen erlaubt.
  • Vor dem vollständigen Kürzen aufhören. Ein Ergebnis wie 4/8 ist nicht falsch, aber unvollständig: erwartet wird 1/2.
  • Die gemischte Zahl nicht umwandeln. Vor jeder Rechnung muss aus 2 1/2 erst 5/2 werden, sonst fällt der ganzzahlige Anteil aus dem Ergebnis heraus.

In den Aufgaben unten bleibt das Vorgehen dasselbe, die Schwierigkeit steigt aber deutlich: Es beginnt mit einer Addition bei gleichem Nenner, führt über den Hauptnenner, das Kürzen und das Kürzen über Kreuz zu einem Term mit Klammern und zum Ordnen von vier Brüchen und endet mit einer Sachaufgabe, in der die Division durch einen Bruch unter 1 ein größeres Ergebnis liefert als die Ausgangsmenge.

Gelöste Aufgaben

1. Berechne: 3/8 + 1/8 base

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  1. Die Nenner sind bereits gleich, also addiere ich nur die Zähler und behalte den Nenner bei: (3 + 1)/8.
  2. Ich erhalte 4/8.
  3. Ich kürze mit 4, also Zähler und Nenner durch 4: 4/8 = 1/2.
  4. Probe: 3/8 = 0,375 und 1/8 = 0,125. Die Summe ist 0,5, und das ist genau 1/2. Stimmt.

Ergebnis: 1/2

2. Berechne: 3/4 + 5/6 und gib das Ergebnis auch als gemischte Zahl an. base

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  1. Die Nenner sind verschieden, deshalb suche ich den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6: es ist 12.
  2. Ich erweitere beide Brüche auf den Nenner 12: 3/4 = 9/12, weil 12 : 4 = 3 und 3 · 3 = 9; 5/6 = 10/12, weil 12 : 6 = 2 und 5 · 2 = 10.
  3. Jetzt addiere ich die Zähler: 9/12 + 10/12 = 19/12.
  4. 19 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler, 19/12 lässt sich also nicht mehr kürzen.
  5. Weil 19 größer als 12 ist, handelt es sich um einen unechten Bruch: ich teile 19 durch 12 und erhalte 1 Rest 7, also die gemischte Zahl 1 7/12.
  6. Probe: 3/4 = 0,75 und 5/6 sind etwa 0,8333. Die Summe liegt bei etwa 1,5833, und 19/12 ergibt ebenfalls etwa 1,5833. Stimmt.

Ergebnis: 19/12, also 1 7/12

3. Kürze 84/126 vollständig. base

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  1. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen; der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich.
  2. Ich zerlege beide Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 und 126 = 2 · 3 · 3 · 7.
  3. Gemeinsam sind die Faktoren 2, 3 und 7, der größte gemeinsame Teiler ist also 2 · 3 · 7 = 42.
  4. Ich teile beide Zahlen durch 42: 84 : 42 = 2 und 126 : 42 = 3.
  5. Ich erhalte 2/3. Da 2 und 3 außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, ist der Bruch vollständig gekürzt.
  6. Probe: 84/126 = 0,6666... und 2/3 = 0,6666... Stimmt.

Ergebnis: 2/3

4. Berechne und kürze vor dem Multiplizieren: (4/9) · (15/16) intermedio

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  1. Beim Multiplizieren brauche ich keinen Hauptnenner: ich rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
  2. Vorher kürze ich über Kreuz, damit die Zahlen klein bleiben. Die 4 im ersten Zähler und die 16 im zweiten Nenner sind beide durch 4 teilbar: sie werden zu 1 und 4.
  3. Die 15 im zweiten Zähler und die 9 im ersten Nenner sind beide durch 3 teilbar: sie werden zu 5 und 3.
  4. Übrig bleibt (1/3) · (5/4) = 5/12.
  5. Probe ohne vorheriges Kürzen: 4 · 15 = 60 und 9 · 16 = 144, und 60/144 durch 12 gekürzt ergibt 5/12. Stimmt.

Ergebnis: 5/12

5. Berechne: (7/10) : (14/15) intermedio

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  1. Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren; beim Kehrwert werden Zähler und Nenner vertauscht.
  2. Der Kehrwert von 14/15 ist 15/14, die Rechnung wird also zu (7/10) · (15/14).
  3. Achtung: gestürzt wird nur der Divisor, also der zweite Bruch. Der erste bleibt unverändert.
  4. Ich kürze über Kreuz: 7 und 14 lassen sich durch 7 teilen und werden zu 1 und 2; 15 und 10 lassen sich durch 5 teilen und werden zu 3 und 2.
  5. Übrig bleibt (1/2) · (3/2) = 3/4.
  6. Probe: 7 · 15 = 105 und 10 · 14 = 140, und 105/140 durch 35 gekürzt ergibt 3/4. Stimmt.

Ergebnis: 3/4

6. Berechne unter Beachtung der Rechenreihenfolge: 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 intermedio

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  1. Zuerst die Klammer. Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12: 2/3 = 8/12 und 1/4 = 3/12.
  2. Ich subtrahiere: 8/12 - 3/12 = 5/12.
  3. Nun die Multiplikation, denn Punkt geht vor Strich: (5/12) · (6/5). Ich kürze die 5 mit der 5 und die 6 mit der 12, übrig bleibt (1/2) · (1/1) = 1/2.
  4. Zum Schluss die Addition: 1/2 + 1/2 = 2/2.
  5. 2/2 lässt sich zu einer ganzen Zahl kürzen: das Ergebnis ist 1.
  6. Probe mit Dezimalzahlen: 2/3 - 1/4 sind etwa 0,4167; mal 1,2 ergibt das 0,5; plus 0,5 ergibt 1. Stimmt.

Ergebnis: 1

7. Ordne der Größe nach aufsteigend: 5/8; 2/3; 7/12; 3/4. avanzato

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  1. Um Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen, bringe ich sie alle auf denselben Nenner. Der Hauptnenner von 8, 3, 12 und 4 ist 24.
  2. Ich erweitere jeden Bruch: 5/8 = 15/24; 2/3 = 16/24; 7/12 = 14/24; 3/4 = 18/24.
  3. Bei gleichem Nenner genügt der Vergleich der Zähler: 14 < 15 < 16 < 18.
  4. Ich schreibe die ursprünglichen Brüche in derselben Reihenfolge auf: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4.
  5. Probe mit gerundeten Dezimalzahlen: 7/12 ≈ 0,583; 5/8 = 0,625; 2/3 ≈ 0,667; 3/4 = 0,75. Die Reihenfolge stimmt.

Ergebnis: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4

8. Für ein Blech Kuchen werden 3/4 Liter Milch gebraucht. Im Kühlschrank stehen 3 3/8 Liter. Wie viele ganze Bleche lassen sich backen und wie viel Milch bleibt übrig? avanzato

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  1. Zuerst wandle ich die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um: 3 3/8 = (3 · 8 + 3)/8 = 27/8 Liter.
  2. Die Frage, wie oft 3/4 in 27/8 hineinpasst, ist eine Division: (27/8) : (3/4).
  3. Ich multipliziere mit dem Kehrwert des Divisors: (27/8) · (4/3). Ich kürze die 4 mit der 8 und die 27 mit der 3, übrig bleibt (9/2) · (1/1) = 9/2.
  4. 9/2 sind 4,5. Beachte den Punkt: ich habe durch 3/4 geteilt, also durch eine Zahl kleiner als 1, und das Ergebnis 4,5 ist GRÖSSER als die Ausgangsmenge 27/8 = 3,375. Genau das ist bei der Division durch einen Bruch unter 1 zu erwarten.
  5. Ein halbes Blech zählt nicht, also lassen sich 4 ganze Bleche backen.
  6. Ich berechne den Rest: 4 Bleche verbrauchen 4 · 3/4 = 3 Liter. Übrig bleiben 27/8 - 24/8 = 3/8 Liter.
  7. Probe: 3 Liter verbraucht plus 3/8 Liter Rest ergibt 27/8 Liter, also genau die Ausgangsmenge. Stimmt.

Ergebnis: 4 ganze Bleche, es bleiben 3/8 Liter Milch übrig

Häufige Fragen

Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Die Brüche müssen zuerst auf denselben Nenner gebracht werden. Man sucht den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, erweitert jeden Bruch darauf und addiert dann nur die Zähler, während der gemeinsame Nenner erhalten bleibt. Bei 3/4 + 5/6 ist der Hauptnenner 12, die Brüche werden zu 9/12 und 10/12, und die Summe ist 19/12. Zum Schluss wird gekürzt, falls möglich. Der klassische Fehler ist, Zähler und Nenner getrennt zu addieren.

Wie dividiert man zwei Brüche?

Man behält den ersten Bruch und multipliziert ihn mit dem Kehrwert des zweiten, also mit dem Divisor, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind. Bei (7/10) : (14/15) ist der Kehrwert von 14/15 gleich 15/14, die Rechnung wird also zu (7/10) · (15/14) = 3/4. Gestürzt wird immer nur der Divisor, niemals der erste Bruch; genau diese Verwechslung ist der häufigste Fehler. Vor dem Multiplizieren lohnt es sich, über Kreuz zu kürzen.

Wie kürzt man einen Bruch vollständig?

Man teilt Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Der sichere Weg ist die Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren und das Streichen aller Faktoren, die auf beiden Seiten vorkommen. Bei 84/126 sind die gemeinsamen Faktoren 2, 3 und 7, ihr Produkt ist 42, und nach der Division durch 42 bleibt 2/3. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Kürzen ändert nur die Schreibweise, nicht den Wert.

Welcher Bruch ist größer?

Man bringt alle Brüche auf denselben Nenner und vergleicht dann die Zähler: bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Für 5/8 und 2/3 ist der Hauptnenner 24, daraus werden 15/24 und 16/24, also ist 2/3 größer. Zwei Abkürzungen sparen Zeit: bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer, weil die Teile dann größer sind; und ein Bruch unter 1 ist immer kleiner als ein Bruch über 1.

Welche Rechenreihenfolge gilt bei Brüchen?

Dieselbe wie bei ganzen Zahlen. Zuerst die Klammern, dann die Potenzen, anschließend Multiplikation und Division von links nach rechts und ganz zum Schluss Addition und Subtraktion. In 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 rechnet man erst die Klammer, dann die Multiplikation und erst am Ende die Addition, das Ergebnis ist 1. Den Hauptnenner braucht man nur bei Addition und Subtraktion; bei Multiplikation und Division ist er überflüssig.