Mathématiques
Opérations sur les fractions : 8 exercices corrigés
Pour additionner deux fractions il faut le même dénominateur, pour diviser on multiplie par l'inverse. Tableau des opérations et 8 exercices corrigés en détail.
Recommandé pour: 6e · 5e
Dans une fraction, le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité a été partagée et le numérateur combien de ces parts on prend. Toute la difficulté des opérations tient à un seul point : additionner et soustraire exigent le même dénominateur, multiplier et diviser non.
Les quatre opérations en un tableau
| Opération | Règle | Exemple traité |
|---|---|---|
| Addition, même dénominateur | On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur | 2/7 + 3/7 = 5/7 |
| Addition, dénominateurs différents | On cherche le PPCM, on met au même dénominateur, on additionne les numérateurs | 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 |
| Soustraction, même dénominateur | On soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur | 5/9 - 2/9 = 3/9 = 1/3 |
| Soustraction, dénominateurs différents | Même démarche que l’addition, avec le PPCM | 3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12 |
| Multiplication | Numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur | (2/3) · (4/5) = 8/15 |
| Division | On multiplie la première par l’inverse de la seconde | (3/5) : (2/7) = (3/5) · (7/2) = 21/10 |
Le dénominateur commun n’apparaît que dans les lignes d’addition et de soustraction. Le chercher pour une multiplication ou une division est du travail perdu.
Simplifier et fractions égales
Deux fractions sont égales quand elles représentent la même quantité : 1/2, 2/4 et 50/100 sont le même nombre écrit de trois façons. Deux opérations inverses permettent de passer de l’une à l’autre :
- Simplifier, c’est diviser les deux termes par un même nombre. Quand il ne reste plus aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible.
- Multiplier les deux termes par un même nombre, ce que l’on fait pour atteindre le dénominateur commun avant une addition.
Dans une multiplication, un raccourci très efficace est la simplification en croix : dans (2/3) · (9/10) on simplifie le 3 avec le 9 et le 2 avec le 10 avant de multiplier, et le résultat 3/5 tombe directement.
Fractions inférieures et supérieures à 1
| Cas | Condition | Exemple | Lecture du nombre |
|---|---|---|---|
| Fraction inférieure à 1 | Numérateur plus petit que le dénominateur | 3/5 | Vaut moins que l’unité |
| Fraction supérieure à 1 | Numérateur plus grand que le dénominateur | 7/4 | Vaut plus que 1 : s’écrit aussi 1 + 3/4 |
| Fraction égale à un entier | Numérateur multiple du dénominateur | 8/4 | C’est le nombre entier 2 |
Pour passer d’une écriture du type 2 + 1/2 à une seule fraction, on multiplie la partie entière par le dénominateur et on ajoute le numérateur : (2 · 2 + 1)/2 = 5/2. Pour faire l’inverse, on divise le numérateur par le dénominateur : le quotient donne la partie entière et le reste devient le nouveau numérateur.
Fraction, écriture décimale et pourcentage
| Fraction | Décimal | Pourcentage |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 2/5 | 0,4 | 40 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
| 1/3 | 0,333… | 33,3 % |
Pour passer de la fraction au décimal on divise le numérateur par le dénominateur ; pour obtenir le pourcentage on multiplie le décimal par 100. C’est le lien direct avec les exercices corrigés sur les pourcentages : en période de soldes, une remise de 25 % et la fraction 1/4 désignent exactement la même chose.
Comparer et ranger des fractions
La méthode universelle consiste à tout ramener au même dénominateur et à comparer les numérateurs. Deux raccourcis font gagner du temps en contrôle :
- À numérateur égal, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur : 3/5 est plus grande que 3/8, car partager en 5 donne des parts plus grosses que partager en 8.
- Une fraction inférieure à 1 ne peut jamais dépasser une fraction supérieure à 1 : entre 9/10 et 11/10, aucun calcul n’est nécessaire.
L’ordre des opérations
Avec les fractions, les priorités ne changent pas : parenthèses, puissances, multiplications et divisions de gauche à droite, additions et soustractions pour finir. Quand un exposant apparaît, il porte sur les deux termes, comme dans (2/3) au carré = 4/9, et les propriétés des puissances s’appliquent sans changement.
Maîtriser les fractions est aussi ce qui fait la différence dans les équations du premier degré : dès qu’une équation contient des dénominateurs, la première étape est justement de tout multiplier par le PPCM.
Les erreurs les plus fréquentes
- Additionner les numérateurs ET les dénominateurs. 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5. Sinon, une demi-pizza plus un tiers de pizza donnerait moins qu’une demi-pizza, ce qui est impossible.
- Chercher le PPCM dans une multiplication. En multiplication comme en division, les dénominateurs peuvent rester différents : le dénominateur commun ne sert qu’à additionner ou soustraire.
- Inverser la mauvaise fraction dans une division. Dans (7/10) : (14/15), c’est le diviseur 14/15 qui est retourné, jamais 7/10.
- Simplifier à travers un plus ou un moins. Dans (3 + 5)/3 il est interdit de barrer le 3 du numérateur avec celui du dénominateur : on ne simplifie que les facteurs d’un produit, jamais les termes d’une somme. Dans (3 · 5)/3, en revanche, la simplification est légitime.
- S’arrêter avant la forme irréductible. Un résultat comme 4/8 n’est pas faux, mais il est incomplet : la réponse attendue est 1/2.
- Oublier de convertir l’écriture mixte. Avant tout calcul, 2 + 1/2 doit devenir 5/2, sinon la partie entière disparaît du résultat.
Dans les exercices ci-dessous la démarche reste la même, mais la difficulté augmente vraiment : on part d’une addition à dénominateurs égaux, on passe par le PPCM, la simplification et la simplification en croix, on arrive à une expression avec parenthèses puis au rangement de quatre fractions, et on termine par une situation concrète où diviser par une fraction inférieure à 1 donne un résultat bien plus grand que la quantité de départ.
Exercices corrigés
1. Calculer : 3/8 + 1/8 base
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- Les dénominateurs sont déjà identiques : j'additionne uniquement les numérateurs et je garde le dénominateur, ce qui donne (3 + 1)/8.
- J'obtiens 4/8.
- Je simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 4 : 4/8 = 1/2.
- Vérification : 3/8 = 0,375 et 1/8 = 0,125. La somme vaut 0,5, soit exactement 1/2. C'est correct.
Réponse: 1/2
2. Calculer : 3/4 + 5/6 puis écrire le résultat sous la forme d'un entier plus une fraction. base
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- Les dénominateurs sont différents : je cherche le plus petit commun multiple de 4 et de 6, qui vaut 12.
- Je mets les deux fractions au même dénominateur : 3/4 = 9/12 car 12 : 4 = 3 et 3 · 3 = 9 ; 5/6 = 10/12 car 12 : 6 = 2 et 5 · 2 = 10.
- J'additionne les numérateurs : 9/12 + 10/12 = 19/12.
- 19 et 12 n'ont aucun diviseur commun, donc 19/12 est déjà irréductible.
- Comme 19 est supérieur à 12, la fraction est supérieure à 1 : je divise 19 par 12, ce qui donne 1 avec un reste de 7, donc 19/12 = 1 + 7/12.
- Vérification : 3/4 = 0,75 et 5/6 vaut environ 0,8333. La somme fait environ 1,5833, et 19/12 vaut aussi environ 1,5833. C'est correct.
Réponse: 19/12, soit 1 + 7/12
3. Rendre la fraction 84/126 irréductible. base
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- Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre : la fraction obtenue est égale à la fraction de départ.
- Je décompose les deux termes en facteurs premiers : 84 = 2 · 2 · 3 · 7 et 126 = 2 · 3 · 3 · 7.
- Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, donc le plus grand commun diviseur vaut 2 · 3 · 7 = 42.
- Je divise les deux termes par 42 : 84 : 42 = 2 et 126 : 42 = 3.
- J'obtiens 2/3. Comme 2 et 3 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, la fraction est irréductible.
- Vérification : 84/126 = 0,6666... et 2/3 = 0,6666... C'est correct.
Réponse: 2/3
4. Calculer en simplifiant avant de multiplier : (4/9) · (15/16) intermedio
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- Pour une multiplication, aucun dénominateur commun n'est nécessaire : je multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
- Avant de multiplier je simplifie en croix pour manipuler de petits nombres. Le 4 du premier numérateur et le 16 du second dénominateur sont divisibles par 4 : ils deviennent 1 et 4.
- Le 15 du second numérateur et le 9 du premier dénominateur sont divisibles par 3 : ils deviennent 5 et 3.
- Il reste (1/3) · (5/4) = 5/12.
- Vérification sans simplification préalable : 4 · 15 = 60 et 9 · 16 = 144, et 60/144 divisé par 12 donne 5/12. C'est correct.
Réponse: 5/12
5. Calculer : (7/10) : (14/15) intermedio
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- Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, c'est-à-dire par la fraction dont le numérateur et le dénominateur ont été échangés.
- L'inverse de 14/15 est 15/14, donc le calcul devient (7/10) · (15/14).
- Attention : c'est le diviseur, la deuxième fraction, qui est inversé. La première ne bouge pas.
- Je simplifie en croix : 7 et 14 sont divisibles par 7 et deviennent 1 et 2 ; 15 et 10 sont divisibles par 5 et deviennent 3 et 2.
- Il reste (1/2) · (3/2) = 3/4.
- Vérification : 7 · 15 = 105 et 10 · 14 = 140, et 105/140 divisé par 35 donne 3/4. C'est correct.
Réponse: 3/4
6. Calculer en respectant les priorités : 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 intermedio
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- Je commence par la parenthèse. Le plus petit commun multiple de 3 et 4 vaut 12 : 2/3 = 8/12 et 1/4 = 3/12.
- Je soustrais : 8/12 - 3/12 = 5/12.
- Vient ensuite la multiplication, prioritaire sur l'addition : (5/12) · (6/5). Je simplifie le 5 avec le 5 et le 6 avec le 12, il reste (1/2) · (1/1) = 1/2.
- Je termine par l'addition : 1/2 + 1/2 = 2/2.
- 2/2 se simplifie jusqu'à un nombre entier : le résultat est 1.
- Vérification en écriture décimale : 2/3 - 1/4 vaut environ 0,4167 ; multiplié par 1,2 cela donne 0,5 ; en ajoutant 0,5 on obtient 1. C'est correct.
Réponse: 1
7. Ranger dans l'ordre croissant : 5/8 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4. avanzato
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- Pour comparer des fractions de dénominateurs différents, je les mets toutes au même dénominateur. Le plus petit commun multiple de 8, 3, 12 et 4 vaut 24.
- Je convertis chacune : 5/8 = 15/24 ; 2/3 = 16/24 ; 7/12 = 14/24 ; 3/4 = 18/24.
- Avec le même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs : 14 < 15 < 16 < 18.
- Je reviens aux écritures de départ dans le même ordre : 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4.
- Vérification en décimal arrondi : 7/12 ≈ 0,583 ; 5/8 = 0,625 ; 2/3 ≈ 0,667 ; 3/4 = 0,75. L'ordre est bon.
Réponse: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4
8. Il reste 5/6 de litre de pâte à crêpes et chaque crêpe consomme 1/12 de litre. Combien de crêpes peut-on encore faire ? avanzato
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- La question combien de fois 1/12 tient-il dans 5/6 est une division : (5/6) : (1/12).
- Je multiplie par l'inverse du diviseur : (5/6) · (12/1).
- Je simplifie le 12 avec le 6 : il reste (5/1) · (2/1) = 10.
- Le résultat est le nombre entier 10 : on peut faire 10 crêpes et il ne reste rien.
- Remarquez le point important : j'ai divisé par 1/12, une fraction inférieure à 1, et le résultat 10 est bien plus grand que 5/6. C'est normal, car je compte combien de petites parts tiennent dans une quantité plus grande.
- Vérification : 10 crêpes consomment 10 · 1/12 = 10/12 = 5/6 de litre, exactement la quantité disponible. C'est correct.
Réponse: 10 crêpes
Questions fréquentes
Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents ?
Il faut d'abord les mettre au même dénominateur. Cherchez le plus petit commun multiple des dénominateurs, transformez chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur, puis additionnez les numérateurs en gardant le dénominateur commun. Pour 3/4 + 5/6 le PPCM vaut 12, les fractions deviennent 9/12 et 10/12 et la somme est 19/12. Simplifiez ensuite si c'est possible. L'erreur classique est d'additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Comment diviser deux fractions ?
On garde la première fraction et on la multiplie par l'inverse de la seconde, c'est-à-dire par le diviseur dont le numérateur et le dénominateur ont été échangés. Pour (7/10) : (14/15), l'inverse de 14/15 est 15/14, donc le calcul devient (7/10) · (15/14) = 3/4. C'est toujours le diviseur qui est inversé, jamais le premier terme : intervertir les deux est l'erreur la plus fréquente. Simplifier en croix avant de multiplier évite les grands nombres.
Comment rendre une fraction irréductible ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. La méthode sûre consiste à décomposer les deux nombres en facteurs premiers, puis à supprimer les facteurs présents des deux côtés. Pour 84/126 les facteurs communs sont 2, 3 et 7, dont le produit vaut 42 ; en divisant par 42 on obtient 2/3. Une fraction est irréductible quand ses deux termes n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Simplifier ne change pas la valeur, seulement l'écriture.
Comment savoir quelle fraction est la plus grande ?
Mettez toutes les fractions au même dénominateur et comparez les numérateurs : à dénominateur égal, la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand. Pour 5/8 et 2/3 le PPCM vaut 24, elles deviennent 15/24 et 16/24, donc 2/3 est la plus grande. Deux raccourcis font gagner du temps : à numérateur égal, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur ; et une fraction inférieure à 1 est toujours plus petite qu'une fraction supérieure à 1.
Quelles sont les priorités de calcul avec les fractions ?
Ce sont exactement les mêmes qu'avec les nombres entiers. On traite d'abord les parenthèses, ensuite les puissances, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, et enfin les additions et les soustractions. Dans 1/2 + (2/3 - 1/4) · 6/5 on calcule la parenthèse, puis la multiplication, et l'addition seulement à la fin, ce qui donne 1. Le dénominateur commun ne sert que pour une addition ou une soustraction : dans une multiplication ou une division il est inutile.