Mathematik
Potenzgesetze: Tabelle und 8 Aufgaben mit Lösungen
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Tabelle aller Potenzgesetze, Sonderfälle und 8 Aufgaben mit Lösungsweg.
Empfohlen für: 8. Klasse · 9. Klasse
Eine Potenz ist ein Produkt gleicher Faktoren: In 2⁵ ist die 2 die Basis und die 5 der Exponent, der angibt, wie oft die Basis als Faktor auftritt. Die Potenzgesetze ersparen genau dieses Auszählen: Sind die Basen gleich und wird multipliziert, behält man die Basis und addiert die Exponenten.
Alle Potenzgesetze im Überblick
Mit dieser Tabelle lässt sich fast jede Aufgabe lösen. Jede Regel hat eine Bedingung: Entweder sind die Basen gleich oder die Exponenten.
| Potenzgesetz | Regel | Beispiel mit Lösung |
|---|---|---|
| Produkt mit gleicher Basis | a^m · a^n = a^(m+n) | 7³ · 7² = 7⁵ = 16.807 |
| Quotient mit gleicher Basis | a^m : a^n = a^(m-n) | 6⁸ : 6⁵ = 6³ = 216 |
| Potenz einer Potenz | (a^m)^n = a^(m·n) | (4²)³ = 4⁶ = 4.096 |
| Produkt mit gleichem Exponenten | a^n · b^n = (a · b)^n | 2⁴ · 5⁴ = 10⁴ = 10.000 |
| Quotient mit gleichem Exponenten | a^n : b^n = (a : b)^n | 18³ : 6³ = 3³ = 27 |
| Exponent 0 | a⁰ = 1, mit a ≠ 0 | 9⁰ = 1 |
| Exponent 1 | a¹ = a | 9¹ = 9 |
| Negativer Exponent | a^(-n) = 1/a^n, mit a ≠ 0 | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
Die ersten beiden Zeilen verlangen gleiche Basen, die vierte und die fünfte gleiche Exponenten. Diese beiden Bedingungen zu verwechseln ist der häufigste Fehler in Klassenarbeiten: 2⁴ · 5⁴ lässt sich nicht mit der Regel für gleiche Basen behandeln, denn 2 und 5 sind verschieden.
Sonderfälle und Ausnahmen
| Fall | Ergebnis | Begründung |
|---|---|---|
| 0⁰ | Nicht definiert | Zwei Regeln widersprechen sich: a⁰ ergibt 1, aber 0ⁿ ergibt 0 |
| 0⁻² | Nicht möglich | Es wäre 1/0², und durch null darf man nicht teilen |
| (-2)⁴ | 16, positiv | Gerader Exponent: die negativen Faktoren heben sich paarweise auf |
| (-2)⁵ | -32, negativ | Ungerader Exponent: ein negativer Faktor bleibt übrig |
| -2⁴ | -16 | Ohne Klammer bezieht sich der Exponent nur auf die 2 |
| (-1)ⁿ | 1 oder -1 | 1 bei geradem n, -1 bei ungeradem n |
| 1ⁿ | Immer 1 | Die 1 mit sich selbst zu multiplizieren ändert nichts |
Den Gegensatz zwischen -2⁴ = -16 und (-2)⁴ = 16 sollte man auswendig können: Es unterscheidet sich nur die Klammer, und sie entscheidet, ob das Vorzeichen zur Basis gehört. Dieselbe Sorgfalt braucht man beim Rechnen mit Quadraten und Wurzeln im Satz des Pythagoras und bei den quadratischen Gleichungen.
Negativer Exponent und Brüche
Die Regel a⁻ⁿ = 1/aⁿ macht aus jeder Potenz mit negativem Exponenten einen Bruch. Wer bei der Bruchrechnung sicher ist, hat es hier deutlich leichter. Steht ein Bruch als Basis, wird die Regel noch schneller, denn man dreht den Bruch einfach um: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Ein Detail, das oft untergeht: Das Vorzeichen des Exponenten ist nicht das Vorzeichen des Ergebnisses. 2⁻³ ist 1/8, eine positive Zahl, und niemals -8.
Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Schreibweise
In der wissenschaftlichen Schreibweise wird eine Zahl als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben, zum Beispiel 6,4 · 10⁷ = 64.000.000 oder 1,6 · 10⁻³ = 0,0016. Gerechnet wird ausschließlich mit den Gesetzen aus der Tabelle oben.
| Rechenart | Vorgehen | Beispiel |
|---|---|---|
| Multiplikation | Dezimalzahlen multiplizieren, Exponenten der Zehnerpotenzen addieren | (3 · 10⁵) · (5 · 10²) = 1,5 · 10⁸ |
| Division | Dezimalzahlen dividieren, Exponenten der Zehnerpotenzen subtrahieren | (6,4 · 10⁷) : (1,6 · 10³) = 4 · 10⁴ |
| Anpassung am Ende | Liegt die Dezimalzahl nicht zwischen 1 und 10, das Komma verschieben und den Exponenten korrigieren | 15 · 10⁷ = 1,5 · 10⁸ |
Die häufigsten Fehler
- Die Basen addieren statt der Exponenten. In a³ · a² ist das Ergebnis a⁵: nicht 2a⁵, denn Basen werden nicht addiert, und nicht a⁶, denn Exponenten werden nur bei einer Potenz einer Potenz multipliziert.
- Glauben, a³ + a² ließe sich zusammenfassen. Die Potenzgesetze gelten für Produkt und Quotient, nie für die Summe. Möglich ist höchstens das Ausklammern: a³ + a² = a²(a + 1).
- -2⁴ mit (-2)⁴ verwechseln. Das erste ergibt -16, das zweite 16. Ohne Klammer gehört das Minuszeichen nicht zur Basis.
- Die Regel für gleiche Basen auf verschiedene Basen anwenden. Bei 2³ · 3³ sind die Basen verschieden: Es ergibt weder 2⁹ noch 6⁹, hier gilt die Regel für gleiche Exponenten und man erhält 6³ = 216.
- Beim negativen Exponenten das Vorzeichen verwechseln. 2⁻³ ist 1/8 und nicht -8. Und in 10⁻² · 10⁵ werden die Exponenten mit Vorzeichen addiert: -2 + 5 = 3, also 10³.
- a⁰ = 0 schreiben. Jede Basis ungleich null ergibt hoch 0 den Wert 1, ein Term, der sich zu 9⁰ vereinfacht, hat also den Wert 1 und nicht 0.
In den Aufgaben unten bleiben die Gesetze dieselben, die Schwierigkeit steigt aber: Es beginnt mit Produkt und Quotient bei gleicher Basis, geht über die Potenz einer Potenz zu einem Term, der mehrere Gesetze kombiniert, wandelt einen negativen Exponenten in einen Bruch um, behandelt die klassische Vorzeichenfalle zwischen -2⁴ und (-2)⁴, wendet die Regel für gleiche Exponenten an und endet mit zwei Aufgaben in wissenschaftlicher Schreibweise, davon eine Sachaufgabe aus der Informatik.
Gelöste Aufgaben
1. Berechne mit den Potenzgesetzen: a) 7³ · 7²; b) 6⁸ : 6⁵ base
Lösung anzeigen
- In a) sind die Basen gleich und es wird multipliziert: Ich behalte die Basis und addiere die Exponenten, also 7³ · 7² = 7^(3+2) = 7⁵.
- 7⁵ = 16.807.
- In b) sind die Basen gleich und es wird dividiert: Ich behalte die Basis und subtrahiere die Exponenten, also 6⁸ : 6⁵ = 6^(8-5) = 6³.
- 6³ = 216.
- Probe: 343 · 49 = 16.807 und 1.679.616 : 7.776 = 216. Stimmt.
Ergebnis: a) 7⁵ = 16.807; b) 6³ = 216
2. Berechne: a) (4²)³; b) (2⁵)² base
Lösung anzeigen
- Das ist eine Potenz einer Potenz: Ich behalte die Basis und multipliziere die Exponenten, ich addiere sie nicht.
- a) (4²)³ = 4^(2·3) = 4⁶ = 4.096.
- b) (2⁵)² = 2^(5·2) = 2¹⁰ = 1.024.
- Probe zu a): 4² = 16 und 16³ = 16 · 16 · 16 = 4.096. Stimmt.
- Probe zu b): 2⁵ = 32 und 32² = 1.024. Stimmt.
Ergebnis: a) 4⁶ = 4.096; b) 2¹⁰ = 1.024
3. Vereinfache und berechne: (5³ · 5⁴) : (5²)³ intermedio
Lösung anzeigen
- Zuerst der Zähler, ein Produkt mit gleicher Basis: 5³ · 5⁴ = 5^(3+4) = 5⁷.
- Dann der Nenner, eine Potenz einer Potenz: (5²)³ = 5^(2·3) = 5⁶.
- Jetzt steht dort 5⁷ : 5⁶, ein Quotient mit gleicher Basis: 5^(7-6) = 5¹.
- Nach dem Gesetz für den Exponenten 1 gilt 5¹ = 5.
- Probe: 5⁷ = 78.125 und 5⁶ = 15.625, und 78.125 : 15.625 = 5. Stimmt.
Ergebnis: 5¹ = 5
4. Schreibe das Ergebnis als Bruch und als Dezimalzahl: 10⁻² · 10⁵ · 10⁻⁶ intermedio
Lösung anzeigen
- Alle drei Potenzen haben dieselbe Basis, also addiere ich die Exponenten mit ihrem Vorzeichen: -2 + 5 - 6 = -3.
- Das Ergebnis lautet 10⁻³.
- Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Potenz: 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000.
- Als Dezimalzahl sind das 0,001.
- Probe: 0,01 · 100.000 · 0,000001 = 0,001. Stimmt.
Ergebnis: 10⁻³ = 1/1000 = 0,001
5. Berechne und achte auf das Vorzeichen: a) -2⁴; b) (-2)⁴; c) (-2)⁵; d) -2⁵ intermedio
Lösung anzeigen
- In a) fehlt die Klammer, der Exponent bezieht sich also nur auf die 2 und das Minuszeichen bleibt außen: -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16.
- In b) schließt die Klammer das Vorzeichen ein, die Basis ist also -2: (-2)⁴ = 16, positiv, weil der Exponent gerade ist.
- In c) ist die Basis wieder -2, der Exponent aber ungerade: (-2)⁵ = -32, negativ, weil ein negativer Faktor ohne Partner übrig bleibt.
- In d) steht das Minuszeichen erneut außerhalb: -2⁵ = -(2 · 2 · 2 · 2 · 2) = -32.
- Probe: a) und b) unterscheiden sich nur im Vorzeichen, c) und d) stimmen überein, weil eine Potenz mit ungeradem Exponenten und negativer Basis ohnehin negativ ist.
Ergebnis: a) -16; b) 16; c) -32; d) -32
6. Nutze das Gesetz für gleiche Exponenten: a) 2⁴ · 5⁴; b) 18³ : 6³ avanzato
Lösung anzeigen
- Die Basen sind verschieden, ich darf die Exponenten also weder addieren noch subtrahieren: gleich ist hier der Exponent.
- a) Ich multipliziere die Basen und behalte den Exponenten: 2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10.000.
- b) Ich dividiere die Basen und behalte den Exponenten: 18³ : 6³ = (18 : 6)³ = 3³ = 27.
- Probe zu a): 16 · 625 = 10.000. Stimmt.
- Probe zu b): 5.832 : 216 = 27. Stimmt.
Ergebnis: a) 10⁴ = 10.000; b) 3³ = 27
7. Berechne in wissenschaftlicher Schreibweise: (6,4 · 10⁷) : (1,6 · 10³) avanzato
Lösung anzeigen
- Ich trenne die Dezimalzahlen von den Zehnerpotenzen: (6,4 : 1,6) · (10⁷ : 10³).
- Ich dividiere die Dezimalzahlen: 6,4 : 1,6 = 4.
- Ich dividiere die Zehnerpotenzen, indem ich die Exponenten subtrahiere: 10^(7-3) = 10⁴.
- Das Ergebnis ist 4 · 10⁴, also 40.000. Es steht bereits in wissenschaftlicher Schreibweise, weil 4 zwischen 1 und 10 liegt.
- Probe mit ausgeschriebenen Zahlen: 64.000.000 : 1.600 = 40.000. Stimmt.
Ergebnis: 4 · 10⁴ = 40.000
8. Eine SSD hat eine Kapazität von 2⁹ GB. Ein Gigabyte entspricht in der Informatik 2³⁰ Byte. Wie viele Byte fasst die SSD? Gib das Ergebnis als Zweierpotenz und gerundet in wissenschaftlicher Schreibweise an. avanzato
Lösung anzeigen
- Ich lese die Kapazität ab: 2⁹ = 512, die SSD hat also 512 GB.
- Ich stelle den Term auf: Anzahl der Byte = 2⁹ · 2³⁰.
- Beide Faktoren haben die Basis 2, also addiere ich die Exponenten: 2^(9+30) = 2³⁹.
- 2³⁹ = 549.755.813.888 Byte.
- Gerundet in wissenschaftlicher Schreibweise sind das etwa 5,5 · 10¹¹ Byte.
- Probe: 512 · 1.073.741.824 = 549.755.813.888. Stimmt.
- Plausibilitätskontrolle: Rund eine halbe Billion Byte für eine 512-GB-SSD ist eine sinnvolle Größenordnung.
Ergebnis: 2³⁹ Byte = 549.755.813.888 Byte, also etwa 5,5 · 10¹¹ Byte
Häufige Fragen
Welche Potenzgesetze gibt es?
Es sind acht. Produkt mit gleicher Basis: Basis behalten, Exponenten addieren, zum Beispiel 7³ · 7² = 7⁵. Quotient mit gleicher Basis: Exponenten subtrahieren, zum Beispiel 6⁸ : 6⁵ = 6³. Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren, zum Beispiel (4²)³ = 4⁶. Produkt und Quotient mit gleichem Exponenten: mit den Basen rechnen und den Exponenten behalten, zum Beispiel 2⁴ · 5⁴ = 10⁴. Dazu kommen drei Sonderfälle: a⁰ = 1 für a ungleich null, a¹ = a und a^(-n) = 1/a^n.
Warum ist alles hoch 0 gleich 1?
Weil es sich aus dem Gesetz für den Quotienten mit gleicher Basis ergibt. Teilt man 2⁵ durch 2⁵, kommt offensichtlich 1 heraus, denn es ist dieselbe Zahl geteilt durch sich selbst. Nach dem Potenzgesetz gilt aber 2⁵ : 2⁵ = 2^(5-5) = 2⁰. Beide Wege müssen dasselbe liefern, also ist 2⁰ = 1. Das gilt für jede Basis ungleich null, und genau deshalb bleibt 0⁰ undefiniert.
Wie rechnet man mit negativen Exponenten?
Ein negativer Exponent steht für den Kehrwert: a^(-n) = 1/a^n, mit a ungleich null. Also ist 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Wichtig: Das Ergebnis ist positiv, denn das Vorzeichen des Exponenten ändert nur die Lage der Potenz, nie das Vorzeichen des Ergebnisses. Bei einem Bruch als Basis wird der Bruch einfach umgedreht, etwa (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. In Termen zählen negative Exponenten mit ihrem eigenen Vorzeichen mit, zum Beispiel 10⁻² · 10⁵ = 10³.
Was ist der Unterschied zwischen -2⁴ und (-2)⁴?
Die Klammer. Bei -2⁴ bezieht sich der Exponent nur auf die 2, das Minuszeichen steht außerhalb der Rechnung: -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16. Bei (-2)⁴ ist die ganze negative Zahl die Basis, und vier negative Faktoren heben sich paarweise auf: (-2)⁴ = 16. Bei ungeradem Exponenten fallen beide Schreibweisen zufällig zusammen, weil ein negativer Faktor übrig bleibt: -2⁵ = -32 und (-2)⁵ = -32.
Kann man Potenzen wie a³ + a² addieren?
Nein. Die Potenzgesetze gelten für Multiplikation, Division und die Potenz einer Potenz, niemals für Addition oder Subtraktion. Aus a³ + a² wird also weder a⁵ noch a⁶, der Term bleibt stehen. Höchstens lässt sich ausklammern: a³ + a² = a²(a + 1). Addieren darf man nur völlig gleiche Potenzen, die als gleichartige Terme zusammengefasst werden: 3a² + 5a² = 8a².