Matematica

Propiedades de las potencias: ejercicios resueltos paso a paso

Las propiedades de las potencias explicadas de forma sencilla, con las reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias, y cinco ejercicios resueltos de dificultad creciente con solución verificada.

Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO

Las propiedades de las potencias permiten simplificar productos, cocientes y potencias de potencias sin hacer cada cálculo. La regla básica es: con la misma base, para multiplicar se suman los exponentes (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) y para dividir se restan (aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).

Las reglas fundamentales

Todas las propiedades se aplican solo cuando la base es la misma:

  • Producto: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (sumo los exponentes);
  • Cociente: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (resto los exponentes);
  • Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (multiplico los exponentes).

Hay además dos propiedades útiles cuando cambia la base pero el exponente es el mismo: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ y (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ.

Exponente cero y exponente negativo

Dos casos que conviene memorizar porque aparecen a menudo: cualquier número distinto de cero elevado a 0 da 1 (a⁰ = 1), mientras que un exponente negativo indica el recíproco (a⁻ⁿ = 1/aⁿ). Ambos resultados se deducen de la regla del cociente.

Cómo abordar los ejercicios

El método es siempre el mismo: comprueba si las bases son iguales, aplica la propiedad correcta trabajando sobre los exponentes y solo al final calcula el valor numérico. En los ejercicios siguientes encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente, desde productos sencillos hasta una expresión con exponentes negativos que hay que tratar con cuidado.

Ejercicios resueltos

1. Simplifica: 2³ · 2⁴ base

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  1. Las bases son iguales (2), así que en un producto se suman los exponentes.
  2. 2³ · 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷.
  3. 2⁷ = 128.

Resultado: 2⁷ = 128

2. Simplifica: 5⁶ : 5⁴ base

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  1. Las bases son iguales (5), así que en un cociente se restan los exponentes.
  2. 5⁶ : 5⁴ = 5^(6−4) = 5².
  3. 5² = 25.

Resultado: 5² = 25

3. Simplifica: (3²)³ intermedio

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  1. Es una potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.
  2. (3²)³ = 3^(2·3) = 3⁶.
  3. 3⁶ = 729.

Resultado: 3⁶ = 729

4. Simplifica: (10³ · 10⁻¹) : 10² intermedio

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  1. En el producto sumo los exponentes: 10³ · 10⁻¹ = 10^(3+(−1)) = 10².
  2. En el cociente resto: 10² : 10² = 10^(2−2) = 10⁰.
  3. Todo número distinto de cero elevado a 0 vale 1.

Resultado: 10⁰ = 1

5. Simplifica: (x⁴ · x⁻⁶)⁻² avanzato

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  1. Dentro del paréntesis sumo los exponentes: x⁴ · x⁻⁶ = x^(4+(−6)) = x⁻².
  2. Ahora es una potencia de una potencia: (x⁻²)⁻² = x^((−2)·(−2)) = x⁴.
  3. Los dos signos negativos dan un exponente positivo.

Resultado: x⁴

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale una potencia con exponente 0?

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 vale 1: por ejemplo 7⁰ = 1. La expresión 0⁰, en cambio, no está definida.

¿Qué significa un exponente negativo?

Un exponente negativo indica el recíproco: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Por ejemplo 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

¿Puedo sumar los exponentes aunque las bases sean distintas?

No. La regla del producto solo vale cuando la base es la misma: 2³ · 3² no se simplifica sumando exponentes, porque las bases 2 y 3 son distintas.