Matemáticas

Propiedades de las potencias y los exponentes

Cuáles son las propiedades de los exponentes: producto, cociente y potencia de una potencia, más el exponente cero y el negativo, con 9 ejercicios resueltos.

Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO

Las propiedades de las potencias permiten simplificar productos, cocientes y potencias de potencias sin hacer cada cálculo. La regla básica es: con la misma base, para multiplicar se suman los exponentes (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) y para dividir se restan (aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).

Las reglas fundamentales

Las tres primeras se aplican solo cuando la base es la misma; las dos últimas, cuando cambia la base pero el exponente es el mismo:

PropiedadReglaEjemplo
Producto de potenciasaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Cociente de potenciasaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ5⁶ : 5⁴ = 5² = 25
Potencia de una potencia(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ(3²)³ = 3⁶ = 729
Exponente ceroa⁰ = 1 (a ≠ 0)7⁰ = 1
Exponente negativoa⁻ⁿ = 1/aⁿ2⁻³ = 1/8
Producto de bases distintasaⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ2³ · 5³ = 10³ = 1000
Cociente de bases distintasaⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ6² : 3² = 2² = 4

Exponente o potencia: no son la misma cosa

Las dos palabras se usan como sinónimos, pero conviene tenerlas separadas: en 2⁵ la potencia es toda la expresión (y su resultado, 32), la base es el 2 y el exponente es solo el 5, el número en alto que dice cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Las propiedades de arriba actúan siempre sobre los exponentes: por eso “propiedades de las potencias” y “reglas de los exponentes” nombran el mismo conjunto de reglas.

Exponente cero y exponente negativo

Dos casos que conviene memorizar porque aparecen a menudo: cualquier número distinto de cero elevado a 0 da 1 (a⁰ = 1), mientras que un exponente negativo indica el recíproco (a⁻ⁿ = 1/aⁿ). Ambos resultados se deducen de la regla del cociente.

Cómo abordar los ejercicios

El método es siempre el mismo: comprueba si las bases son iguales, aplica la propiedad correcta trabajando sobre los exponentes y solo al final calcula el valor numérico. En los 9 ejercicios resueltos de abajo encontrarás el mismo esquema con dificultad creciente: desde productos sencillos hasta una expresión con dos bases literales y exponentes negativos, donde conviene aplicar una propiedad a la vez y no saltarse pasos.

Ejercicios resueltos

1. Simplifica: 2³ · 2⁴ base

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  1. Las bases son iguales (2), así que en un producto se suman los exponentes.
  2. 2³ · 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷.
  3. 2⁷ = 128.

Resultado: 2⁷ = 128

2. Simplifica: 5⁶ : 5⁴ base

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  1. Las bases son iguales (5), así que en un cociente se restan los exponentes.
  2. 5⁶ : 5⁴ = 5^(6−4) = 5².
  3. 5² = 25.

Resultado: 5² = 25

3. Simplifica: (3²)³ intermedio

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  1. Es una potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.
  2. (3²)³ = 3^(2·3) = 3⁶.
  3. 3⁶ = 729.

Resultado: 3⁶ = 729

4. Simplifica: (10³ · 10⁻¹) : 10² intermedio

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  1. En el producto sumo los exponentes: 10³ · 10⁻¹ = 10^(3+(−1)) = 10².
  2. En el cociente resto: 10² : 10² = 10^(2−2) = 10⁰.
  3. Todo número distinto de cero elevado a 0 vale 1.

Resultado: 10⁰ = 1

5. Simplifica: (x⁴ · x⁻⁶)⁻² avanzato

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  1. Dentro del paréntesis sumo los exponentes: x⁴ · x⁻⁶ = x^(4+(−6)) = x⁻².
  2. Ahora es una potencia de una potencia: (x⁻²)⁻² = x^((−2)·(−2)) = x⁴.
  3. Los dos signos negativos dan un exponente positivo.

Resultado: x⁴

6. Simplifica: 3⁵ · 3⁻² base

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  1. Las bases son iguales (3): en un producto se suman los exponentes, también cuando uno es negativo.
  2. 3⁵ · 3⁻² = 3^(5+(−2)) = 3³.
  3. 3³ = 27.

Resultado: 3³ = 27

7. Escribe 4⁻² sin exponente negativo. intermedio

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  1. Un exponente negativo indica el recíproco: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
  2. 4⁻² = 1/4².
  3. 4² = 16, así que 4⁻² = 1/16.

Resultado: 1/16

8. Simplifica: 2³ · 5³ intermedio

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  1. Aquí las bases son distintas (2 y 5), así que NO se suman los exponentes.
  2. Pero el exponente es el mismo, y vale la propiedad aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ.
  3. 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³.
  4. 10³ = 1000.

Resultado: 10³ = 1000

9. Simplifica: (a²b⁻³)² · (a⁻¹b²)³ avanzato

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  1. Aplico la potencia de una potencia a cada paréntesis: (a²b⁻³)² = a⁴b⁻⁶.
  2. Y el segundo: (a⁻¹b²)³ = a⁻³b⁶.
  3. Ahora multiplico sumando los exponentes de cada base: a^(4+(−3)) · b^(−6+6).
  4. a¹ · b⁰ = a · 1 = a.

Resultado: a

Preguntas frecuentes

¿Exponente y potencia son lo mismo?

No. En la expresión 2⁵ la potencia es toda la expresión (y también su resultado, 32), la base es el 2 y el exponente es solo el número pequeño en alto, el 5, que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Por eso se dice "las propiedades de las potencias" y "las reglas de los exponentes": se refieren a lo mismo, pero el exponente es la parte sobre la que se opera.

¿Cuánto vale una potencia con exponente 0?

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 vale 1: por ejemplo 7⁰ = 1. La expresión 0⁰, en cambio, no está definida.

¿Qué significa un exponente negativo?

Un exponente negativo indica el recíproco: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Por ejemplo 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

¿Puedo sumar los exponentes aunque las bases sean distintas?

No. La regla del producto solo vale cuando la base es la misma: 2³ · 3² no se simplifica sumando exponentes, porque las bases 2 y 3 son distintas.