Matemática
Propriedades da potenciação: 8 exercícios resolvidos
Na multiplicação de potências de mesma base os expoentes se somam. Tabela com todas as propriedades, casos limite e 8 exercícios resolvidos passo a passo.
Recomendado para: 8º ano
Uma potência é uma multiplicação de fatores iguais: em 2⁵ o número 2 é a base e o 5 é o expoente, que conta quantas vezes a base aparece. As propriedades da potenciação existem para evitar essa contagem: quando as bases são iguais e há uma multiplicação, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Todas as propriedades da potenciação
Esta é a tabela que resolve praticamente todos os exercícios. Repare que cada regra exige uma condição: ou as bases são iguais, ou os expoentes são iguais.
| Propriedade | Regra | Exemplo resolvido |
|---|---|---|
| Produto de mesma base | a^m · a^n = a^(m+n) | 2⁵ · 2³ = 2⁸ = 256 |
| Quociente de mesma base | a^m : a^n = a^(m-n) | 3⁷ : 3⁴ = 3³ = 27 |
| Potência de potência | (a^m)^n = a^(m·n) | (2³)⁴ = 2¹² = 4096 |
| Produto de mesmo expoente | a^n · b^n = (a · b)^n | 2³ · 5³ = 10³ = 1000 |
| Quociente de mesmo expoente | a^n : b^n = (a : b)^n | 12⁴ : 4⁴ = 3⁴ = 81 |
| Expoente zero | a⁰ = 1, com a ≠ 0 | 7⁰ = 1 |
| Expoente um | a¹ = a | 7¹ = 7 |
| Expoente negativo | a^(-n) = 1/a^n, com a ≠ 0 | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
As duas primeiras linhas pedem bases iguais, a quarta e a quinta pedem expoentes iguais. Confundir as duas condições é o erro que mais aparece nas provas: 2³ · 3³ não se resolve com a regra da mesma base, porque as bases 2 e 3 são diferentes.
Casos limite e exceções
| Caso | Resultado | Por quê |
|---|---|---|
| 0⁰ | Não é definido | Duas regras se contradizem: a⁰ dá 1, mas 0ⁿ dá 0 |
| 0⁻² | Impossível | Equivale a 1/0², e não existe divisão por zero |
| (-2)⁴ | 16, positivo | Expoente par: os fatores negativos se cancelam dois a dois |
| (-2)³ | -8, negativo | Expoente ímpar: sobra um fator negativo sem par |
| -2⁴ | -16 | Sem parênteses o expoente age só no 2; o menos fica de fora |
| (-1)ⁿ | 1 ou -1 | Vale 1 se n for par e -1 se n for ímpar |
| 1ⁿ | 1 sempre | Multiplicar 1 por ele mesmo não muda nada |
O contraste entre -2⁴ = -16 e (-2)⁴ = 16 vale a pena decorar: a diferença está só no parêntese, e é ele que decide se o sinal faz parte da base. O mesmo cuidado aparece quando você trabalha com quadrados e raízes nas equações do 2º grau, em que trocar o sinal de um quadrado muda todo o discriminante.
O expoente negativo e as frações
A regra a⁻ⁿ = 1/aⁿ transforma qualquer potência de expoente negativo numa fração, e por isso convém estar seguro nas operações com frações antes de atacar estes exercícios. Com base fracionária a regra fica ainda mais rápida, porque basta inverter a fração: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Cuidado com um detalhe: o sinal do expoente não é o sinal do resultado. 2⁻³ vale 1/8, um número positivo, e nunca -8.
Notação científica: a aplicação mais usada
Um número está em notação científica quando é escrito como produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de 10, como 3,2 · 10⁵ = 320 000 ou 2,5 · 10⁻³ = 0,0025. As operações usam exatamente as propriedades da tabela.
| Operação | Como fazer | Exemplo |
|---|---|---|
| Multiplicação | Multiplica as partes decimais e soma os expoentes de 10 | (3,2 · 10⁵) · (2,5 · 10⁻³) = 8 · 10² |
| Divisão | Divide as partes decimais e subtrai os expoentes de 10 | (8 · 10⁶) : (2 · 10²) = 4 · 10⁴ |
| Ajuste final | Se a parte decimal sair fora do intervalo de 1 a 10, move a vírgula e corrige o expoente | 320 · 10³ = 3,2 · 10⁵ |
Erros mais comuns
- Somar as bases em vez de somar os expoentes. Em a³ · a² o resultado é a⁵: não é 2a⁵, porque as bases não se somam, e não é a⁶, porque os expoentes não se multiplicam num produto.
- Achar que a³ + a² se simplifica. As propriedades valem para multiplicação e divisão, nunca para soma. O máximo que dá para fazer é colocar em evidência: a³ + a² = a²(a + 1).
- Confundir -2⁴ com (-2)⁴. O primeiro vale -16 e o segundo 16. Sem parênteses, o sinal de menos não entra na base.
- Aplicar a regra da mesma base a bases diferentes. Em 2³ · 3³ as bases são diferentes, então não dá 2⁹ nem 6⁹: aqui vale a regra do mesmo expoente, e o resultado é 6³ = 216.
- Errar o sinal com expoente negativo. 2⁻³ é 1/8, não -8. E em 3⁻² · 3⁵ os expoentes se somam com o próprio sinal: -2 + 5 = 3, ou seja 3³.
- Escrever a⁰ = 0. Qualquer base diferente de zero elevada a zero dá 1, e é por isso que uma expressão que se reduz a 3⁰ tem resultado 1, e não 0.
Nos exercícios abaixo as regras são sempre as mesmas, mas a dificuldade cresce: começamos com produto e quociente de mesma base, passamos pela potência de potência e por uma expressão que combina várias propriedades, tratamos o expoente negativo como fração, enfrentamos o caso clássico de sinal entre -2⁴ e (-2)⁴, aplicamos a regra do mesmo expoente e terminamos com dois exercícios de notação científica, sendo o último um problema de laboratório que precisa ser traduzido em potência.
Exercícios resolvidos
1. Calcule aplicando as propriedades: a) 2⁵ · 2³; b) 3⁷ : 3⁴ base
Mostrar solução
- Em a) as bases são iguais e é uma multiplicação, então conservo a base e somo os expoentes: 2⁵ · 2³ = 2^(5+3) = 2⁸.
- 2⁸ = 256.
- Em b) as bases são iguais e é uma divisão, então conservo a base e subtraio os expoentes: 3⁷ : 3⁴ = 3^(7-4) = 3³.
- 3³ = 27.
- Verificação: 2⁵ · 2³ = 32 · 8 = 256, confere. E 3⁷ : 3⁴ = 2187 : 81 = 27, confere.
Resposta: a) 2⁸ = 256; b) 3³ = 27
2. Calcule: a) (2³)⁴; b) (10²)³ base
Mostrar solução
- É uma potência de potência: conservo a base e multiplico os expoentes, sem somá-los.
- a) (2³)⁴ = 2^(3·4) = 2¹² = 4096.
- b) (10²)³ = 10^(2·3) = 10⁶ = 1 000 000.
- Verificação de a): 2³ = 8 e 8⁴ = 8 · 8 · 8 · 8 = 4096. Confere.
- Verificação de b): 10² = 100 e 100³ = 1 000 000. Confere.
Resposta: a) 2¹² = 4096; b) 10⁶ = 1 000 000
3. Simplifique e calcule: (3⁴ · 3²) : (3³)² intermedio
Mostrar solução
- Começo pelo numerador, que é um produto de mesma base: 3⁴ · 3² = 3^(4+2) = 3⁶.
- Agora o denominador, que é uma potência de potência: (3³)² = 3^(3·2) = 3⁶.
- A expressão virou 3⁶ : 3⁶, um quociente de mesma base: 3^(6-6) = 3⁰.
- Pela propriedade do expoente zero, 3⁰ = 1.
- Verificação: 3⁶ = 729 nos dois lados, e 729 : 729 = 1. Confere.
Resposta: 3⁰ = 1
4. Escreva o resultado como fração: 3⁻² · 3⁵ · 3⁻⁴ intermedio
Mostrar solução
- As três potências têm a mesma base, então somo os expoentes levando o sinal de cada um: -2 + 5 - 4 = -1.
- O resultado é 3⁻¹.
- Um expoente negativo indica o inverso da potência: 3⁻¹ = 1/3¹ = 1/3.
- Verificação com frações: 3⁻² = 1/9 e 3⁻⁴ = 1/81, então (1/9) · 243 · (1/81) = 243/729 = 1/3. Confere.
Resposta: 3⁻¹ = 1/3
5. Calcule com atenção ao sinal: a) -2⁴; b) (-2)⁴; c) (-2)³; d) -2³ intermedio
Mostrar solução
- Em a) não há parênteses, então o expoente age somente sobre o 2 e o sinal de menos fica de fora: -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16.
- Em b) o parêntese inclui o sinal, então a base é -2: (-2)⁴ = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16, positivo porque o expoente é par.
- Em c) a base é -2 e o expoente é ímpar: (-2)³ = (-2)(-2)(-2) = -8, negativo porque sobra um fator negativo.
- Em d) o menos está de fora de novo: -2³ = -(2 · 2 · 2) = -8.
- Verificação: a) e b) diferem no sinal, c) e d) coincidem por acaso, porque com expoente ímpar a potência já é negativa.
Resposta: a) -16; b) 16; c) -8; d) -8
6. Calcule usando a propriedade do expoente igual: a) 2³ · 5³; b) 12⁴ : 4⁴ avanzato
Mostrar solução
- As bases são diferentes, então não posso somar nem subtrair expoentes: o que é igual aqui é o expoente.
- a) Multiplico as bases e conservo o expoente: 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³ = 1000.
- b) Divido as bases e conservo o expoente: 12⁴ : 4⁴ = (12 : 4)⁴ = 3⁴ = 81.
- Verificação de a): 8 · 125 = 1000. Confere.
- Verificação de b): 20736 : 256 = 81. Confere.
Resposta: a) 10³ = 1000; b) 3⁴ = 81
7. Efetue em notação científica: (3,2 · 10⁵) · (2,5 · 10⁻³) avanzato
Mostrar solução
- Separo a parte decimal da parte com potência de 10: (3,2 · 2,5) · (10⁵ · 10⁻³).
- Multiplico os decimais: 3,2 · 2,5 = 8.
- Multiplico as potências de mesma base somando os expoentes com sinal: 10⁵ · 10⁻³ = 10^(5-3) = 10².
- O resultado é 8 · 10², ou seja 800. Já está em notação científica porque 8 está entre 1 e 10.
- Verificação com os números escritos por extenso: 3,2 · 10⁵ = 320 000 e 2,5 · 10⁻³ = 0,0025; 320 000 · 0,0025 = 800. Confere.
Resposta: 8 · 10² = 800
8. Uma cultura de laboratório começa com 5 · 10³ bactérias e a população dobra a cada hora. Quantas bactérias há depois de 6 horas? Dê a resposta em notação científica. avanzato
Mostrar solução
- Traduzo o dobro a cada hora numa potência: depois de 6 horas o número inicial foi multiplicado por 2 seis vezes, ou seja por 2⁶.
- Escrevo a expressão: 5 · 10³ · 2⁶.
- Calculo 2⁶ = 64.
- Multiplico as partes numéricas: 5 · 64 = 320, então tenho 320 · 10³.
- Coloco em notação científica movendo a vírgula: 320 · 10³ = 3,2 · 10² · 10³ = 3,2 · 10⁵.
- Verificação: 5 · 10³ = 5000 e 5000 · 64 = 320 000, que é exatamente 3,2 · 10⁵. Confere.
- Checagem de sentido: a população aumentou 64 vezes em 6 horas, é o esperado para uma duplicação por hora.
Resposta: 3,2 · 10⁵ bactérias, ou seja 320 000
Perguntas frequentes
Quais são as propriedades da potenciação?
São oito. Produto de mesma base: conserva a base e soma os expoentes, como em 2⁵ · 2³ = 2⁸. Quociente de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes, como em 3⁷ : 3⁴ = 3³. Potência de potência: multiplica os expoentes, como em (2³)⁴ = 2¹². Produto e quociente de mesmo expoente: opera com as bases e conserva o expoente, como em 2³ · 5³ = 10³. Depois vêm os três casos particulares: a⁰ = 1 para a diferente de zero, a¹ = a e a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Por que todo número elevado a zero é 1?
Porque decorre da regra do quociente de mesma base. Se você dividir 2⁵ por 2⁵ o resultado é obviamente 1, já que é o mesmo número dividido por ele mesmo. Aplicando a propriedade, 2⁵ : 2⁵ = 2^(5-5) = 2⁰. Os dois caminhos precisam dar o mesmo resultado, então 2⁰ = 1. O raciocínio vale para qualquer base diferente de zero, e é justamente por isso que 0⁰ fica sem definição.
Como calcular potência com expoente negativo?
O expoente negativo indica o inverso: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, com a diferente de zero. Então 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Note que o resultado é positivo, e não negativo: o sinal do expoente muda a posição da potência, nunca o sinal do resultado. Com fração a base se inverte: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Nas expressões, os expoentes negativos entram nas somas e subtrações com o próprio sinal, como em 3⁻² · 3⁵ = 3³.
Qual a diferença entre -2⁴ e (-2)⁴?
O parêntese. Em -2⁴ o expoente age somente sobre o 2 e o sinal de menos fica de fora do cálculo, então -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16. Em (-2)⁴ a base é o número negativo inteiro, e quatro fatores negativos se cancelam dois a dois: (-2)⁴ = 16. Com expoente ímpar as duas escritas coincidem por acaso, porque sobra um fator negativo: -2³ = -8 e (-2)³ = -8.
Posso somar potências como a³ + a²?
Não. As propriedades da potenciação valem para multiplicação, divisão e potência de potência, nunca para adição ou subtração. Então a³ + a² não vira a⁵ nem a⁶: continua assim. O máximo que dá para fazer é colocar em evidência o fator comum, escrevendo a³ + a² = a²(a + 1). Só é possível somar potências idênticas como termos semelhantes: 3a² + 5a² = 8a².