Mathématiques
Propriétés des puissances : 8 exercices corrigés
Dans un produit de puissances de même base, les exposants s'additionnent. Tableau de toutes les propriétés, cas limites et 8 exercices corrigés en détail.
Recommandé pour: 4e · 3e
Une puissance est un produit de facteurs identiques : dans 2⁵, le 2 est la base et le 5 est l’exposant, qui compte le nombre de facteurs. Les propriétés des puissances servent justement à éviter ce comptage : quand les bases sont identiques et qu’il s’agit d’un produit, on garde la base et on additionne les exposants.
Toutes les propriétés des puissances
Voici le tableau qui permet de traiter presque tous les exercices. Chaque règle impose une condition : soit les bases sont identiques, soit les exposants le sont.
| Propriété | Règle | Exemple traité |
|---|---|---|
| Produit de même base | a^m · a^n = a^(m+n) | 5⁴ · 5² = 5⁶ = 15 625 |
| Quotient de même base | a^m/a^n = a^(m-n) | 2⁹/2⁵ = 2⁴ = 16 |
| Puissance d’une puissance | (a^m)^n = a^(m·n) | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Produit de même exposant | a^n · b^n = (a · b)^n | 4³ · 25³ = 100³ = 10⁶ |
| Quotient de même exposant | a^n/b^n = (a/b)^n | 15⁵/3⁵ = 5⁵ = 3 125 |
| Exposant 0 | a⁰ = 1, avec a ≠ 0 | 7⁰ = 1 |
| Exposant 1 | a¹ = a | 7¹ = 7 |
| Exposant négatif | a^(-n) = 1/a^n, avec a ≠ 0 | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
Les deux premières lignes exigent des bases identiques, la quatrième et la cinquième des exposants identiques. Confondre ces deux conditions est l’erreur la plus fréquente en contrôle : 4³ · 25³ ne se traite pas avec la règle de la même base, puisque 4 et 25 sont différents.
Cas limites et exceptions
| Cas | Résultat | Pourquoi |
|---|---|---|
| 0⁰ | Non défini | Deux règles se contredisent : a⁰ donne 1, mais 0ⁿ donne 0 |
| 0⁻² | Impossible | Cela reviendrait à 1/0², et la division par zéro n’existe pas |
| (-2)⁴ | 16, positif | Exposant pair : les facteurs négatifs s’annulent deux par deux |
| (-2)³ | -8, négatif | Exposant impair : il reste un facteur négatif isolé |
| -2⁴ | -16 | Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le 2 |
| (-1)ⁿ | 1 ou -1 | 1 si n est pair, -1 si n est impair |
| 1ⁿ | Toujours 1 | Multiplier 1 par lui-même ne change rien |
Le contraste entre -2⁴ = -16 et (-2)⁴ = 16 mérite d’être retenu par cœur : seule la parenthèse change, et c’est elle qui décide si le signe fait partie de la base. La même vigilance sert quand on manipule des carrés et des racines dans le théorème de Pythagore ou dans les équations du second degré.
L’exposant négatif et les fractions
La règle a⁻ⁿ = 1/aⁿ transforme toute puissance d’exposant négatif en fraction : mieux vaut donc être à l’aise avec les opérations sur les fractions avant d’aborder ces exercices. Avec une base fractionnaire, la règle est encore plus rapide, car il suffit d’inverser la fraction : (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Un détail à ne pas manquer : le signe de l’exposant n’est pas le signe du résultat. 2⁻³ vaut 1/8, un nombre positif, et jamais -8.
L’écriture scientifique, l’application la plus courante
Un nombre est en écriture scientifique lorsqu’il s’écrit comme le produit d’un nombre compris entre 1 et 10 par une puissance de 10, par exemple 4,5 · 10⁶ = 4 500 000 ou 1,5 · 10⁻² = 0,015. Les calculs utilisent exactement les propriétés du tableau.
| Opération | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Multiplication | Multiplier les parties décimales, additionner les exposants de 10 | (3 · 10⁵) · (5 · 10²) = 1,5 · 10⁸ |
| Division | Diviser les parties décimales, soustraire les exposants de 10 | (4,5 · 10⁶)/(1,5 · 10⁻²) = 3 · 10⁸ |
| Ajustement final | Si la partie décimale sort de l’intervalle 1 à 10, déplacer la virgule et corriger l’exposant | 15 · 10⁷ = 1,5 · 10⁸ |
Les erreurs les plus fréquentes
- Additionner les bases au lieu des exposants. Dans a³ · a² le résultat est a⁵ : ce n’est pas 2a⁵, car les bases ne s’additionnent pas, et ce n’est pas a⁶, car les exposants ne se multiplient que dans une puissance d’une puissance.
- Croire que a³ + a² se simplifie. Les propriétés valent pour le produit et le quotient, jamais pour la somme. Tout au plus peut-on factoriser : a³ + a² = a²(a + 1).
- Confondre -2⁴ et (-2)⁴. Le premier vaut -16, le second 16. Sans parenthèses, le signe moins n’entre pas dans la base.
- Appliquer la règle de la même base à des bases différentes. Dans 2³ · 3³ les bases diffèrent : le résultat n’est ni 2⁹ ni 6⁹, c’est la règle du même exposant qui s’applique et l’on obtient 6³ = 216.
- Se tromper de signe avec un exposant négatif. 2⁻³ vaut 1/8 et non -8. Et dans 2⁻³ · 2⁵ les exposants s’additionnent avec leur signe : -3 + 5 = 2, donc 2².
- Écrire a⁰ = 0. Toute base non nulle élevée à 0 donne 1 : une expression qui se réduit à 2⁰ vaut donc 1, et pas 0.
Dans les exercices ci-dessous, les règles restent les mêmes mais la difficulté augmente : on commence par le produit et le quotient de même base, on passe à la puissance d’une puissance puis à une expression qui combine plusieurs propriétés, on transforme un exposant négatif en fraction, on affronte le classique piège de signe entre -3⁴ et (-3)⁴, on applique la règle du même exposant, et l’on termine par deux calculs en écriture scientifique dont un problème d’astronomie à traduire en puissances.
Exercices corrigés
1. Calcule en utilisant les propriétés : a) 5⁴ · 5² ; b) 2⁹/2⁵ base
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- Dans a) les bases sont identiques et il s'agit d'un produit : je garde la base et j'additionne les exposants, donc 5⁴ · 5² = 5^(4+2) = 5⁶.
- 5⁶ = 15 625.
- Dans b) les bases sont identiques et il s'agit d'un quotient : je garde la base et je soustrais les exposants, donc 2⁹/2⁵ = 2^(9-5) = 2⁴.
- 2⁴ = 16.
- Vérification : 5⁴ · 5² = 625 · 25 = 15 625, et 512/32 = 16. C'est correct.
Réponse: a) 5⁶ = 15 625 ; b) 2⁴ = 16
2. Calcule : a) (3²)³ ; b) (10³)⁴ base
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- C'est une puissance d'une puissance : je garde la base et je multiplie les exposants, je ne les additionne pas.
- a) (3²)³ = 3^(2·3) = 3⁶ = 729.
- b) (10³)⁴ = 10^(3·4) = 10¹².
- Vérification de a) : 3² = 9 et 9³ = 9 · 9 · 9 = 729. C'est correct.
- Vérification de b) : 10³ = 1 000 et 1 000⁴ = 10¹², soit 1 suivi de 12 zéros. C'est correct.
Réponse: a) 3⁶ = 729 ; b) 10¹²
3. Simplifie puis calcule : (2⁵ · 2⁴)/(2³)³ intermedio
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- Je traite d'abord le numérateur, qui est un produit de même base : 2⁵ · 2⁴ = 2^(5+4) = 2⁹.
- Je traite ensuite le dénominateur, qui est une puissance d'une puissance : (2³)³ = 2^(3·3) = 2⁹.
- L'expression devient 2⁹/2⁹, un quotient de même base : 2^(9-9) = 2⁰.
- D'après la propriété de l'exposant 0, le résultat vaut 1.
- Vérification : 2⁹ = 512 des deux côtés, et 512/512 = 1. C'est correct.
Réponse: 2⁰ = 1
4. Écris le résultat sous forme de fraction : 2⁻³ · 2⁵ · 2⁻⁴ intermedio
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- Les trois puissances ont la même base, donc j'additionne les exposants en gardant leur signe : -3 + 5 - 4 = -2.
- Le résultat s'écrit 2⁻².
- Un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance : 2⁻² = 1/2² = 1/4.
- Vérification avec les fractions : 2⁻³ = 1/8 et 2⁻⁴ = 1/16, donc (1/8) · 32 · (1/16) = 32/128 = 1/4. C'est correct.
Réponse: 2⁻² = 1/4
5. Calcule en surveillant le signe : a) -3⁴ ; b) (-3)⁴ ; c) (-3)³ ; d) -3³ intermedio
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- Dans a) il n'y a pas de parenthèses : l'exposant ne porte que sur le 3 et le signe moins reste en dehors, donc -3⁴ = -(3 · 3 · 3 · 3) = -81.
- Dans b) la parenthèse englobe le signe, la base est donc -3 : (-3)⁴ = 81, positif car l'exposant est pair.
- Dans c) la base est encore -3 mais l'exposant est impair : (-3)³ = -27, négatif car il reste un facteur négatif isolé.
- Dans d) le signe moins est de nouveau en dehors : -3³ = -(3 · 3 · 3) = -27.
- Vérification : a) et b) ne diffèrent que par le signe, tandis que c) et d) coïncident, car avec un exposant impair la puissance est déjà négative.
Réponse: a) -81 ; b) 81 ; c) -27 ; d) -27
6. Utilise la propriété du même exposant : a) 4³ · 25³ ; b) 15⁵/3⁵ avanzato
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- Les bases sont différentes, donc je ne peux ni additionner ni soustraire les exposants : ici c'est l'exposant qui est commun.
- a) Je multiplie les bases et je garde l'exposant : 4³ · 25³ = (4 · 25)³ = 100³ = 10⁶, soit 1 000 000.
- b) Je divise les bases et je garde l'exposant : 15⁵/3⁵ = (15/3)⁵ = 5⁵ = 3 125.
- Vérification de a) : 64 · 15 625 = 1 000 000. C'est correct.
- Vérification de b) : 759 375/243 = 3 125. C'est correct.
Réponse: a) 100³ = 10⁶ = 1 000 000 ; b) 5⁵ = 3 125
7. Effectue en écriture scientifique : (4,5 · 10⁶)/(1,5 · 10⁻²) avanzato
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- Je sépare la partie décimale de la puissance de 10 : (4,5/1,5) · (10⁶/10⁻²).
- Je divise les parties décimales : 4,5/1,5 = 3.
- Je divise les puissances de 10 en soustrayant les exposants avec leur signe : 10^(6-(-2)) = 10⁸.
- Le résultat est 3 · 10⁸, déjà en écriture scientifique puisque 3 est compris entre 1 et 10.
- Vérification avec les nombres développés : 4,5 · 10⁶ = 4 500 000 et 1,5 · 10⁻² = 0,015 ; 4 500 000/0,015 = 300 000 000 = 3 · 10⁸. C'est correct.
Réponse: 3 · 10⁸
8. La lumière se déplace à environ 3 · 10⁵ km/s. Elle met environ 5 · 10² secondes pour aller du Soleil à la Terre. Quelle est cette distance ? Donne le résultat en écriture scientifique. avanzato
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- J'écris la relation utilisée : distance = vitesse · durée.
- Je remplace : d = (3 · 10⁵) · (5 · 10²).
- Je multiplie les parties décimales : 3 · 5 = 15.
- J'additionne les exposants des puissances de 10 : 10⁵ · 10² = 10⁷. J'obtiens 15 · 10⁷.
- Je remets en écriture scientifique en déplaçant la virgule : 15 · 10⁷ = 1,5 · 10¹ · 10⁷ = 1,5 · 10⁸.
- Vérification : 300 000 · 500 = 150 000 000, soit bien 1,5 · 10⁸. C'est correct.
- Contrôle de bon sens : la distance Terre-Soleil vaut environ 150 millions de kilomètres, le résultat est donc plausible.
Réponse: 1,5 · 10⁸ km, soit 150 millions de kilomètres
Questions fréquentes
Quelles sont les propriétés des puissances ?
Il y en a huit. Produit de même base : on garde la base et on additionne les exposants, comme dans 5⁴ · 5² = 5⁶. Quotient de même base : on soustrait les exposants, comme dans 2⁹/2⁵ = 2⁴. Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, comme dans (3²)³ = 3⁶. Produit et quotient de même exposant : on opère sur les bases et on garde l'exposant, comme dans 4³ · 25³ = 100³. Restent trois cas particuliers : a⁰ = 1 pour a non nul, a¹ = a et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Pourquoi tout nombre à la puissance 0 vaut 1 ?
Parce que cela découle de la règle du quotient de même base. Diviser 2⁵ par 2⁵ donne évidemment 1, puisqu'il s'agit du même nombre divisé par lui-même. En appliquant la propriété, 2⁵/2⁵ = 2^(5-5) = 2⁰. Les deux chemins doivent donner le même résultat, donc 2⁰ = 1. Le raisonnement vaut pour toute base non nulle, et c'est précisément pour cela que 0⁰ n'est pas défini.
Comment calculer une puissance négative ?
Un exposant négatif désigne l'inverse : a⁻ⁿ = 1/aⁿ, avec a non nul. Ainsi 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Attention, le résultat est positif : le signe de l'exposant change la position de la puissance, jamais le signe du résultat. Avec une base fractionnaire, il suffit d'inverser la fraction, par exemple (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Dans un calcul, les exposants négatifs entrent dans les additions avec leur propre signe, comme dans 2⁻³ · 2⁵ = 2².
Quelle est la différence entre -2⁴ et (-2)⁴ ?
C'est la parenthèse. Dans -2⁴ l'exposant ne porte que sur le 2 et le signe moins reste en dehors du calcul, donc -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -16. Dans (-2)⁴ la base est le nombre négatif tout entier, et quatre facteurs négatifs s'annulent deux par deux : (-2)⁴ = 16. Avec un exposant impair les deux écritures coïncident, car il reste un facteur négatif : -2³ = -8 et (-2)³ = -8.
Peut-on additionner des puissances comme a³ + a² ?
Non. Les propriétés des puissances concernent la multiplication, la division et la puissance d'une puissance, jamais l'addition ni la soustraction. Donc a³ + a² ne devient ni a⁵ ni a⁶ : l'expression reste telle quelle. Tout au plus peut-on factoriser en écrivant a³ + a² = a²(a + 1). On n'additionne que des puissances identiques, considérées comme des termes semblables : 3a² + 5a² = 8a².