Geometrie

Satz des Pythagoras: 8 Aufgaben mit Lösungen

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Umkehrung, Satzgruppe des Pythagoras, pythagoreische Tripel und 8 Aufgaben mit vollständigem Lösungsweg und Probe.

Empfohlen für: 8. Klasse · 9. Klasse

Der Satz des Pythagoras besagt, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse so groß ist wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten: a² + b² = c², wobei a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste der drei Seiten.

Eine Voraussetzung ist dabei nicht verhandelbar: das Dreieck muss einen 90°-Winkel haben. Ohne rechten Winkel gilt die Gleichung nicht.

Die drei Formeln, die alles abdecken

Aus einer einzigen Beziehung ergeben sich drei verschiedene Aufgabentypen. Zu erkennen, welcher gerade gefragt ist, ist die halbe Arbeit.

Gesucht istFormelBeispiel
Die Hypotenuse aus beiden Kathetenc = √(a² + b²)a = 6, b = 8 → c = √(36 + 64) = √100 = 10
Eine Kathete aus Hypotenuse und anderer Kathetea = √(c² - b²)c = 13, b = 5 → a = √(169 - 25) = √144 = 12
Ob das Dreieck rechtwinklig ist (Umkehrung)a² + b² = c² ?9, 12, 15 → 15² = 225 und 9² + 12² = 225: rechtwinklig

Der ganze Unterschied zwischen den ersten beiden Zeilen liegt im Rechenzeichen: für die Hypotenuse wird addiert, für eine Kathete subtrahiert. Als schnelle Kontrolle: die Hypotenuse muss größer herauskommen als jede Kathete, eine Kathete kleiner als die Hypotenuse.

Weil das ganze Kapitel auf Quadraten und Quadratwurzeln beruht, machen die Potenzgesetze die Rechnungen deutlich schneller.

Die Satzgruppe des Pythagoras

Zeichnet man im rechtwinkligen Dreieck die Höhe h auf der Hypotenuse ein, wird die Hypotenuse c in zwei Abschnitte p und q geteilt. Dann gelten drei zusammengehörige Sätze, die zusammen die Satzgruppe des Pythagoras bilden.

SatzFormelBeispiel für a = 15, b = 20, c = 25
Satz des Pythagorasa² + b² = c²225 + 400 = 625 = 25²
Kathetensatz (Euklid)a² = c · p und b² = c · qp = 225 : 25 = 9 und q = 400 : 25 = 16
Höhensatzh² = p · qh = √(9 · 16) = √144 = 12

In der Klassenarbeit gilt eine einfache Faustregel: Solange nur die drei Seiten vorkommen, reicht der Satz des Pythagoras. Sobald die Höhe auf der Hypotenuse oder ein Hypotenusenabschnitt auftaucht, sind Kathetensatz und Höhensatz der kürzere Weg.

Die häufigsten pythagoreischen Tripel

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen, die die Gleichung erfüllen. Wer sie erkennt, spart sich den Taschenrechner.

Tripel (Kathete, Kathete, Hypotenuse)Warum es stimmtWichtige Vielfache
3, 4, 59 + 16 = 256-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 30-40-50
5, 12, 1325 + 144 = 16910-24-26, 15-36-39, 25-60-65
8, 15, 1764 + 225 = 28916-30-34, 24-45-51
7, 24, 2549 + 576 = 62514-48-50, 21-72-75
9, 40, 4181 + 1600 = 168118-80-82, 27-120-123
20, 21, 29400 + 441 = 84140-42-58, 60-63-87

Eine klassische Falle: ein Tripel mit einer Zahl zu multiplizieren ergibt wieder ein Tripel, dieselbe Zahl zu jeder Seite zu addieren dagegen nicht. Aus 3-4-5 wird 6-8-10, aber 4-5-6 ist kein Tripel (16 + 25 = 41 ≠ 36).

Die typischen Anwendungen

Der Satz steht fast nie allein, er steckt in einer Figur. Der Trick ist immer derselbe: in der Zeichnung ein rechtwinkliges Dreieck finden.

  • Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten a und b: die Diagonale ist die Hypotenuse, also d = √(a² + b²). Bei 6 cm und 8 cm ist d = 10 cm.
  • Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge a: beide Katheten sind gleich lang, also d = √(a² + a²) = a·√2 ≈ 1,41 · a.
  • Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a: die Höhe halbiert die Grundseite, also h = a·√3/2 ≈ 0,87 · a.
  • Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem: der Abstand ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit waagerechter und senkrechter Kathete, also d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Von A(1 | 2) nach B(5 | 5): √(4² + 3²) = √25 = 5.
  • Gleichschenkliges Trapez: fällt man beide Höhen, entstehen zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, und die Höhe ergibt sich durch Subtraktion.

Wenn eine Aufgabe den Flächeninhalt vorgibt und nach der Seitenlänge fragt, landet man bei einer unvollständigen quadratischen Gleichung der Form x² = k. In der Geometrie zählt davon nur die positive Lösung, denn eine Länge kann nicht negativ sein.

Die häufigsten Fehler

  • Den Satz auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anwenden. Ohne rechten Winkel ist die Gleichung falsch. Steht der rechte Winkel nicht in der Aufgabe, muss er zuerst mit der Umkehrung nachgewiesen werden.
  • Hypotenuse und Kathete in der Umstellung vertauschen. Für die Hypotenuse wird addiert, für eine Kathete subtrahiert. Eine negative Zahl unter der Wurzel zeigt genau diesen Fehler an.
  • Die Wurzel am Ende vergessen. Bei c² = 100 als Ergebnis 100 cm statt 10 cm anzugeben kostet die meisten Punkte.
  • Die Seiten statt der Quadrate addieren. Bei den Katheten 6 und 8 ist die Hypotenuse nicht 6 + 8 = 14, sondern √(36 + 64) = 10.
  • Zu früh runden. Bis zum letzten Schritt wird mit dem exakten Wert gerechnet (√52, 6·√2, 5·√3); erst am Ende wird gerundet, sonst pflanzt sich der Fehler fort.
  • Einheiten mischen. Stehen die Seiten in Metern und Zentimetern, muss vor dem Quadrieren umgerechnet werden.

In den Aufgaben unten bleibt der Satz derselbe, die Schwierigkeit steigt aber: Es geht von der Hypotenuse mit einem ganzzahligen Tripel über eine Kathete durch Subtraktion und ein irrationales Ergebnis zum Runden zur Umkehrung an zwei Dreiecken, von denen eines ausdrücklich nicht rechtwinklig ist. Danach folgen Quadratdiagonale und Höhe im gleichseitigen Dreieck, und den Abschluss bilden ein zerlegtes Trapez und eine Sachaufgabe zum Dachstuhl. Wer beim Umstellen der Formel ins Stocken gerät, findet die Technik dazu bei den linearen Gleichungen.

Gelöste Aufgaben

1. Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten 6 cm und 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse. base

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  1. Ich ordne die Seiten zu: 6 cm und 8 cm schließen den rechten Winkel ein, sind also die Katheten a und b. Gesucht ist die Hypotenuse c.
  2. Ich schreibe den Satz des Pythagoras auf: c² = a² + b² = 6² + 8².
  3. Ich rechne die Quadrate aus: 36 + 64 = 100.
  4. Ich ziehe die Wurzel: c = √100 = 10 cm.
  5. Probe: 6² + 8² = 100 und 10² = 100. Beide Seiten stimmen überein, die Lösung ist 10 cm.

Ergebnis: c = 10 cm

2. Aufgabe: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 13 m lang, eine Kathete 5 m. Berechne die zweite Kathete. base

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  1. Gesucht ist diesmal eine Kathete, also stelle ich die Formel um und subtrahiere: a² = c² - b².
  2. Ich setze ein: a² = 13² - 5² = 169 - 25.
  3. a² = 144.
  4. Ich ziehe die Wurzel: a = √144 = 12 m.
  5. Probe: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 und 13² = 169. Stimmt.

Ergebnis: a = 12 m

3. Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 4 cm und 6 cm. Berechne die Hypotenuse exakt und gerundet auf zwei Nachkommastellen. base

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  1. Ich wende den Satz an: c² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52.
  2. Ich ziehe die Wurzel: c = √52. Da 52 keine Quadratzahl ist, ist das Ergebnis irrational.
  3. Ich vereinfache die Wurzel: 52 = 4 · 13, also √52 = 2·√13. Das ist der exakte Wert, mit dem ich weiterrechne.
  4. Erst ganz am Schluss greife ich zum Taschenrechner: c ≈ 7,21 cm, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  5. Probe: 7,21² = 51,9841, also fast genau 52. Die winzige Abweichung kommt nur vom Runden.

Ergebnis: c = 2·√13 cm ≈ 7,21 cm (gerundet)

4. Aufgabe: Prüfe, ob die Dreiecke rechtwinklig sind, und begründe. a) Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm; b) Seiten 7 cm, 8 cm und 12 cm. intermedio

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  1. Ich benutze die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: ich berechne das Quadrat der längsten Seite und die Summe der Quadrate der beiden anderen getrennt und vergleiche.
  2. a) Die längste Seite ist 15. Einerseits 15² = 225, andererseits 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
  3. a) Beide Werte sind gleich, nach der Umkehrung des Satzes ist das Dreieck also rechtwinklig, und 15 cm ist die Hypotenuse. Nebenbei: 9-12-15 ist das Tripel 3-4-5, mit 3 multipliziert.
  4. b) Die längste Seite ist 12. Einerseits 12² = 144, andererseits 7² + 8² = 49 + 64 = 113.
  5. b) 144 ≠ 113, das Dreieck ist also nicht rechtwinklig. Weil 144 > 113 ist, ist der größte Winkel sogar stumpf.
  6. Probe: In beiden Fällen habe ich die LÄNGSTE Seite als Hypotenuse getestet. Mit einer anderen Seite wäre der Vergleich sinnlos.

Ergebnis: a) rechtwinklig (225 = 225); b) nicht rechtwinklig (144 ≠ 113)

5. Aufgabe: Berechne die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 6 cm, exakt und gerundet. intermedio

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  1. Die Diagonale zerlegt das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke: die Katheten sind zwei Quadratseiten, die Hypotenuse ist die Diagonale.
  2. Ich wende den Satz an: d² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
  3. d = √72. Ich vereinfache: 72 = 36 · 2, also d = 6·√2. Das ist der exakte Wert.
  4. Allgemein gilt für ein Quadrat mit der Seitenlänge a immer d = a·√2.
  5. Jetzt runde ich: d ≈ 8,49 cm, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  6. Probe: 8,49² = 72,0801, also fast genau 72. Der Unterschied kommt nur vom Runden.

Ergebnis: d = 6·√2 cm ≈ 8,49 cm (gerundet)

6. Aufgabe: Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 10 cm. intermedio

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  1. Ich zeichne die Höhe ein: im gleichseitigen Dreieck ist sie zugleich Seitenhalbierende und teilt die Grundseite in zwei Stücke von je 5 cm.
  2. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: die Hypotenuse ist die Seite mit 10 cm, eine Kathete ist die halbe Grundseite mit 5 cm, die andere Kathete ist die gesuchte Höhe.
  3. Weil ich eine Kathete suche, subtrahiere ich: h² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75.
  4. h = √75 = √(25 · 3) = 5·√3. Das ist der exakte Wert.
  5. Allgemein gilt für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a: h = a·√3/2.
  6. Gerundet: h ≈ 8,66 cm, auf zwei Nachkommastellen.
  7. Probe: 8,66² = 74,9956 ≈ 75, und die Höhe ist kleiner als die Seite (8,66 < 10), wie es sein muss.

Ergebnis: h = 5·√3 cm ≈ 8,66 cm (gerundet)

7. Aufgabe: Ein gleichschenkliges Trapez hat die längere Grundseite 14 cm, die kürzere 8 cm und die Schenkel 5 cm. Berechne die Höhe und den Flächeninhalt. avanzato

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  1. Ich fälle von den Endpunkten der kürzeren Grundseite zwei Höhen: das Trapez zerfällt in ein Rechteck in der Mitte und zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke an den Seiten.
  2. Das mittlere Rechteck ist so breit wie die kürzere Grundseite, also 8 cm. Übrig bleiben 14 - 8 = 6 cm, gleichmäßig auf beide Dreiecke verteilt: 6 : 2 = 3 cm je Seite.
  3. In jedem Randdreieck ist der Schenkel mit 5 cm die Hypotenuse und die Projektion mit 3 cm eine Kathete. Die Höhe ist die zweite Kathete.
  4. Ich suche eine Kathete, also subtrahiere ich: h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, somit h = √16 = 4 cm.
  5. Flächeninhalt des Trapezes: A = (14 + 8) · 4 : 2 = 22 · 4 : 2 = 44 cm².
  6. Probe: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Das Randdreieck ist genau das Tripel 3-4-5, alles passt zusammen.

Ergebnis: h = 4 cm und A = 44 cm²

8. Aufgabe: Ein Satteldach sitzt auf einem 8 m breiten Haus, der First liegt 2,5 m über der Dachkante. Wie lang ist ein Sparren vom Traufpunkt bis zum First? Runde auf zwei Nachkommastellen. avanzato

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  1. Ich skizziere die Situation: der First liegt genau über der Hausmitte, das Dach ist symmetrisch. Ich betrachte deshalb nur die halbe Dachbreite.
  2. Halbe Hausbreite: 8 : 2 = 4 m. Das ist die waagerechte Kathete, die senkrechte Kathete ist die Firsthöhe von 2,5 m.
  3. Der Sparren ist die Hypotenuse, also addiere ich: s² = 4² + 2,5² = 16 + 6,25 = 22,25.
  4. s = √22,25 ≈ 4,72 m, auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  5. Probe: 4,72² = 22,2784, sehr nahe an 22,25. Die Abweichung stammt nur vom Runden.
  6. Plausibilitätskontrolle: der Sparren mit 4,72 m ist länger als die halbe Hausbreite von 4 m, das muss so sein. Ein kleinerer Wert hätte auf eine Subtraktion statt einer Addition hingedeutet.

Ergebnis: s ≈ 4,72 m (gerundet)

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Hypotenuse?

Man addiert die Quadrate der beiden Katheten und zieht aus der Summe die Wurzel. Aus a² + b² = c² folgt c = √(a² + b²). Bei Katheten von 6 cm und 8 cm ergibt das 36 + 64 = 100 und damit c = √100 = 10 cm. Der häufigste Fehler ist, bei 100 stehen zu bleiben und die Wurzel zu vergessen. Der zweithäufigste ist, die Seiten statt der Quadrate zu addieren: 6 + 8 = 14 ist nicht die Hypotenuse.

Wie berechnet man eine Kathete?

Hier wird subtrahiert, nicht addiert. Aus a² + b² = c² folgt a = √(c² - b²). Bei einer Hypotenuse von 13 m und einer Kathete von 5 m ergibt das 169 - 25 = 144 und damit a = √144 = 12 m. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und steht deshalb immer vorn in der Subtraktion. Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, wurden Hypotenuse und Kathete vertauscht.

Wie prüft man, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Man sucht die längste Seite, berechnet ihr Quadrat und getrennt davon die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten und vergleicht. Bei 9, 12 und 15 gilt 15² = 225 und 9² + 12² = 225, das Dreieck ist also rechtwinklig. Bei 7, 8 und 12 gilt 12² = 144, aber 7² + 8² = 113: wegen 144 ≠ 113 ist dieses Dreieck nicht rechtwinklig.

Was gehört zur Satzgruppe des Pythagoras?

Drei Sätze, die alle im rechtwinkligen Dreieck gelten. Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten: a² + b² = c². Der Kathetensatz verbindet eine Kathete mit ihrem Hypotenusenabschnitt: a² = c · p. Der Höhensatz verbindet die Höhe auf der Hypotenuse mit den beiden Abschnitten: h² = p · q. Kathetensatz und Höhensatz braucht man immer dann, wenn die Höhe auf der Hypotenuse eingezeichnet ist.

Was ist ein pythagoreisches Tripel?

Drei natürliche Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, zum Beispiel 3-4-5, 5-12-13 oder 8-15-17. Es lohnt sich, die wichtigsten auswendig zu können, weil sie in Klassenarbeiten ständig vorkommen und die Rechnung sparen. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel: aus 3-4-5 werden 6-8-10, 9-12-15 oder 30-40-50. Das gilt aber nur für die Multiplikation, nicht für die Addition: 4-5-6 ist kein Tripel.