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Équations du second degré : 8 exercices corrigés

Une équation du second degré ax² + bx + c = 0 se résout avec le discriminant Δ = b² - 4ac. Tableau des trois cas, forme canonique et 8 exercices corrigés.

Recommandé pour: 3e · Seconde

Une équation du second degré est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, avec a différent de zéro. L’outil central est le discriminant :

Δ = b² - 4ac, puis x = (-b ± √Δ) / 2a

En Seconde on rencontre surtout les cas qui se règlent par factorisation et par la règle du produit nul ; la formule des racines est établie en Première, à partir de la forme canonique. Les deux approches donnent évidemment les mêmes résultats, et il est utile de savoir passer de l’une à l’autre.

Premier réflexe, quelle que soit la méthode : ramener toute l’équation dans le premier membre pour avoir zéro à droite, puis relever a, b et c avec leur signe.

Le signe du discriminant décide de tout

Avant même de calculer une racine, la valeur de Δ indique combien il y en a. C’est de là que vient son nom.

Signe de ΔNombre de racines réellesExempleRésultat
Δ > 0Deux racines réelles distinctesx² + 7x + 10 = 0, Δ = 9x1 = -2 et x2 = -5
Δ = 0Une racine réelle doublex² - 10x + 25 = 0, Δ = 0x = 5
Δ < 0Aucune racine réellex² + x + 3 = 0, Δ = -11Ensemble des solutions vide

Le cas Δ = 0 est le plus souvent mal interprété : l’équation a bien une solution, une seule, comptée deux fois. C’est l’équation de discriminant négatif qui n’en a aucune.

Les équations incomplètes

Quand b ou c est nul, l’équation est incomplète et une méthode rapide s’impose. Passer par le discriminant n’est pas faux, mais c’est trois fois plus long et beaucoup plus exposé aux erreurs de signe.

TypeFormeMéthode rapideExemple
b = 0 et c = 0ax² = 0On divise par a, il reste x² = 05x² = 0 → x = 0 (racine double)
c = 0ax² + bx = 0Factorisation puis produit nul : x(ax + b) = 03x² + 6x = 0 → x = 0 ou x = -2
b = 0ax² + c = 0On isole x² et on prend la racine avec les deux signes4x² - 9 = 0 → x = ± 3/2

Dans le deuxième cas, ne divisez jamais par x : la racine x = 0 disparaîtrait. C’est le même principe qui interdit de diviser par zéro dans les équations du premier degré.

Forme canonique, somme et produit

La forme canonique écrit le trinôme comme a(x - α)² + β avec α = -b/2a. Elle donne le sommet de la parabole et permet de conclure sans formule : (x - 5)² = 0 se résout de tête. C’est aussi elle qui, développée dans le cas général, fait apparaître le discriminant et donc la formule des racines.

Quand deux racines existent, elles vérifient x1 + x2 = -b/a et x1 × x2 = c/a. Réciproquement, deux nombres de somme S et de produit P sont les racines de t² - St + P = 0 : c’est la façon la plus rapide de traiter un problème de périmètre et d’aire.

Factorisation du trinôme

Une fois les racines connues, le trinôme se factorise en a(x - x1)(x - x2). Ainsi x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). Cette écriture explique pourquoi résoudre l’équation revient à annuler un produit, et elle sert ensuite à simplifier les quotients ou à étudier le signe du trinôme, au même titre que les propriétés des puissances servent à manipuler les écritures.

Les erreurs les plus fréquentes

  • Se tromper de signe sur b quand b est négatif. Dans 2x² - 7x + 3 = 0 on a b = -7 : la formule utilise -b = +7 et le discriminant utilise (-7)² = +49, jamais -49.
  • Oublier le ±. La formule fournit deux racines, celle avec le plus et celle avec le moins. S’arrêter à la première, c’est perdre la moitié de la réponse.
  • Appliquer la formule générale à une équation incomplète. Pour 3x² + 6x = 0 il faut factoriser, et pour 4x² - 9 = 0 prendre directement la racine carrée.
  • Utiliser la formule sans avoir ramené l’équation à zéro. Dans (x - 3)(x + 1) = 5, la règle du produit nul ne s’applique pas : il faut développer et obtenir x² - 2x - 8 = 0.
  • Confondre Δ = 0 et absence de solution. Un discriminant nul donne une racine double ; c’est le discriminant négatif qui ne donne rien dans les réels.
  • Garder une racine que l’énoncé interdit. Dans un problème de longueur, une racine négative résout l’équation mais ne peut pas être une mesure : il faut l’écarter.

Dans les exercices ci-dessous la difficulté augmente réellement : on commence par une équation complète à racines entières, on affronte le piège du coefficient b négatif, on traite les deux équations incomplètes par la méthode rapide, on analyse les cas Δ = 0 et Δ < 0, on développe une équation qui n’est pas encore réduite, et on termine par un problème de périmètre et d’aire résolu avec la somme et le produit des racines.

Exercices corrigés

1. Résoudre : x² + 7x + 10 = 0 base

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  1. J'identifie les coefficients dans la forme ax² + bx + c = 0 : a = 1, b = 7, c = 10.
  2. Je calcule le discriminant : Δ = b² - 4ac = 7² - 4 × 1 × 10 = 49 - 40 = 9.
  3. Δ > 0 : l'équation admet deux racines réelles distinctes.
  4. J'applique la formule : x = (-7 ± √9) / (2 × 1) = (-7 ± 3) / 2.
  5. x1 = (-7 + 3) / 2 = -2 et x2 = (-7 - 3) / 2 = -5.
  6. Vérification en substituant : (-2)² + 7 × (-2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 et (-5)² + 7 × (-5) + 10 = 25 - 35 + 10 = 0. C'est correct.
  7. Contrôle par somme et produit : x1 + x2 = -7 = -b/a et x1 × x2 = 10 = c/a. C'est correct.

Réponse: x1 = -2 et x2 = -5

2. Résoudre : 2x² - 7x + 3 = 0 base

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  1. Coefficients : a = 2, b = -7, c = 3. Attention, le signe moins fait partie du coefficient b.
  2. Δ = (-7)² - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25. Le carré de -7 vaut bien +49.
  3. Dans la formule on écrit -b, donc -(-7) = +7 : x = (7 ± √25) / (2 × 2) = (7 ± 5) / 4.
  4. x1 = (7 + 5) / 4 = 3 et x2 = (7 - 5) / 4 = 2/4 = 1/2.
  5. Vérification : 2 × 3² - 7 × 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0 et 2 × (1/2)² - 7 × (1/2) + 3 = 0,5 - 3,5 + 3 = 0. C'est correct.
  6. Factorisation associée : 2x² - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - 1/2).

Réponse: x1 = 3 et x2 = 1/2

3. Résoudre l'équation incomplète : 3x² + 6x = 0 base

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  1. Ici c = 0 : c'est une équation incomplète du type ax² + bx = 0, la formule générale est inutile.
  2. Je factorise par le facteur commun 3x : 3x(x + 2) = 0.
  3. J'applique la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc 3x = 0 ou x + 2 = 0.
  4. x1 = 0 et x2 = -2.
  5. Vérification : 3 × 0² + 6 × 0 = 0 et 3 × (-2)² + 6 × (-2) = 12 - 12 = 0. C'est correct.
  6. Erreur à éviter : diviser les deux membres par x pour simplifier. On perdrait la racine x = 0, car on ne divise jamais par une expression qui peut être nulle.

Réponse: x1 = 0 et x2 = -2

4. Résoudre l'équation incomplète : 4x² - 9 = 0 base

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  1. Ici b = 0 : c'est une équation du type ax² + c = 0, on isole x² puis on prend la racine carrée.
  2. J'isole : 4x² = 9, donc x² = 9/4.
  3. Je prends la racine carrée sans oublier les deux signes : x = ± √(9/4) = ± 3/2, soit ± 1,5.
  4. x1 = 3/2 et x2 = -3/2.
  5. Autre méthode, l'identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b) : 4x² - 9 = (2x - 3)(2x + 3), donc 2x = 3 ou 2x = -3. On retrouve les mêmes racines.
  6. Vérification : 4 × (3/2)² - 9 = 9 - 9 = 0 et 4 × (-3/2)² - 9 = 9 - 9 = 0. C'est correct.

Réponse: x1 = 3/2 et x2 = -3/2

5. Résoudre et interpréter : x² - 10x + 25 = 0 intermedio

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  1. Coefficients : a = 1, b = -10, c = 25.
  2. Δ = (-10)² - 4 × 1 × 25 = 100 - 100 = 0.
  3. Δ = 0 : il y a une racine réelle unique, dite racine double. Attention, cela ne veut pas dire que l'équation n'a pas de solution.
  4. x = -b / 2a = 10 / 2 = 5.
  5. Forme canonique : x² - 10x + 25 = (x - 5)², un carré parfait qui ne s'annule que pour x = 5.
  6. Vérification : 5² - 10 × 5 + 25 = 25 - 50 + 25 = 0. C'est correct.

Réponse: x = 5, racine double

6. Résoudre dans R : x² + x + 3 = 0 intermedio

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  1. Coefficients : a = 1, b = 1, c = 3.
  2. Δ = 1² - 4 × 1 × 3 = 1 - 12 = -11.
  3. Δ < 0 : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels.
  4. L'équation n'admet donc aucune racine réelle et l'ensemble des solutions est vide.
  5. La forme canonique le montre autrement : x² + x + 3 = (x + 1/2)² + 11/4. Un carré augmenté de 11/4 vaut au minimum 2,75, il ne peut jamais être nul. C'est correct.
  6. Graphiquement, la parabole d'équation y = x² + x + 3 est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : elle ne le coupe jamais.

Réponse: Aucune racine réelle (Δ = -11)

7. Résoudre : (x - 3)(x + 1) = 5 intermedio

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  1. Piège : le second membre n'est pas nul, donc la règle du produit nul ne s'applique pas telle quelle. Il faut d'abord développer.
  2. Je développe le premier membre : x² + x - 3x - 3 = x² - 2x - 3.
  3. L'équation devient x² - 2x - 3 = 5, puis je passe le 5 à gauche : x² - 2x - 8 = 0. Maintenant a = 1, b = -2, c = -8.
  4. Δ = (-2)² - 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36. Attention au signe : moins par moins donne plus, donc -4ac s'ajoute.
  5. x = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.
  6. x1 = (2 + 6) / 2 = 4 et x2 = (2 - 6) / 2 = -2.
  7. Vérification dans l'équation de départ : (4 - 3)(4 + 1) = 1 × 5 = 5 et (-2 - 3)(-2 + 1) = (-5) × (-1) = 5. C'est correct.

Réponse: x1 = 4 et x2 = -2

8. Un potager rectangulaire a un périmètre de 26 m et une aire de 40 m². Déterminer ses dimensions. Poser l'équation avant de résoudre. avanzato

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  1. Je note L la longueur et l la largeur en mètres. Le périmètre donne 2(L + l) = 26, donc L + l = 13.
  2. L'aire donne L × l = 40.
  3. Je reconnais une somme et un produit : les deux dimensions sont les racines de l'équation t² - St + P = 0 avec S = 13 et P = 40.
  4. L'équation est donc t² - 13t + 40 = 0.
  5. Δ = (-13)² - 4 × 1 × 40 = 169 - 160 = 9.
  6. t = (13 ± √9) / 2 = (13 ± 3) / 2, donc t1 = 8 et t2 = 5.
  7. Les deux racines sont positives et acceptables : la plus grande est la longueur, la plus petite la largeur.
  8. Vérification : périmètre 2 × (8 + 5) = 26 m et aire 8 × 5 = 40 m². C'est correct.

Réponse: Longueur 8 m et largeur 5 m

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré ?

On écrit d'abord l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0, avec zéro dans le second membre, puis on relève les coefficients a, b et c avec leur signe. On calcule ensuite le discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ est positif ou nul, on applique x = (-b ± √Δ) / 2a en traitant séparément le cas du plus et celui du moins. Enfin on remplace les racines trouvées dans l'équation de départ pour vérifier.

Quand une équation du second degré n'a-t-elle pas de solution ?

Lorsque le discriminant est strictement négatif. Pour x² + x + 3 = 0 on obtient Δ = 1 - 12 = -11 : aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif, la racine de -11 n'existe donc pas dans R et l'ensemble des solutions est vide. Graphiquement la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses. Ce cas ne doit pas être confondu avec Δ = 0, où il existe bien une solution, la racine double.

À quoi sert la forme canonique ?

La forme canonique écrit le trinôme sous la forme a(x - α)² + β, où α = -b/2a et β est la valeur du trinôme en α. Elle donne directement le sommet de la parabole, donc le minimum ou le maximum de la fonction, et elle permet de résoudre l'équation sans la formule des racines : x² - 10x + 25 = 0 s'écrit (x - 5)² = 0 et donne immédiatement x = 5. C'est aussi elle qui sert à démontrer la formule du discriminant.

Comment résoudre une équation du second degré sans discriminant ?

Il y a trois cas classiques. Si l'équation est incomplète avec c = 0, on factorise : 3x² + 6x = 0 devient 3x(x + 2) = 0 et la règle du produit nul donne x = 0 ou x = -2. Si b = 0, on isole x² et on prend la racine carrée avec les deux signes : 4x² - 9 = 0 donne x = ± 3/2. Enfin la forme canonique ou une identité remarquable permettent de conclure directement quand le trinôme est un carré parfait.

Comment utiliser la somme et le produit des racines ?

Quand l'équation admet deux racines, on a x1 + x2 = -b/a et x1 × x2 = c/a. C'est d'abord un contrôle très rapide après avoir appliqué la formule. C'est ensuite une méthode de résolution : deux nombres dont on connaît la somme S et le produit P sont les racines de t² - St + P = 0, ce qui règle en une ligne les problèmes de type périmètre et aire d'un rectangle.