Mathematik

Quadratische Gleichungen: 8 Aufgaben mit Lösungen

Q: Wann benutzt man die p-q-Formel und wann die Mitternachtsformel?

Die p-q-Formel setzt die Normalform x² + px + q = 0 voraus, der Koeffizient vor x² muss also 1 sein. Sie lautet x = -p/2 ± √((p/2)² - q) und ist die schnellere Wahl, sobald die Gleichung diese Form schon hat. Die Mitternachtsformel x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a funktioniert dagegen für jedes a und ist praktisch, wenn vor dem x² eine 2 oder eine 3 steht. Beide liefern natürlich dieselben Lösungen: teilt man ax² + bx + c = 0 durch a, wird aus der einen Formel die andere.

Q: Wie löst man eine quadratische Gleichung Schritt für Schritt?

Zuerst wird die Gleichung nach null umgeformt, also Klammern ausmultipliziert, Brüche mit dem Hauptnenner beseitigt und alles auf eine Seite gebracht. Dann liest man die Koeffizienten mit ihrem Vorzeichen ab. Danach prüft man die Diskriminante: ist sie negativ, ist man fertig, sonst setzt man in die p-q-Formel oder in die Mitternachtsformel ein und rechnet den Fall mit Plus und den mit Minus getrennt aus. Zum Schluss setzt man beide Lösungen zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.

Q: Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Wenn die Diskriminante negativ ist, also b² - 4ac < 0 beziehungsweise (p/2)² - q < 0. Bei x² + 2x + 7 = 0 steht -6 unter der Wurzel, und aus einer negativen Zahl lässt sich in den reellen Zahlen keine Wurzel ziehen: die Lösungsmenge ist leer, die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse nicht. Nicht verwechseln mit der Diskriminante null, denn dann gibt es sehr wohl eine Lösung, nämlich die doppelte.

Q: Was sagt der Satz von Vieta aus?

Für x² + px + q = 0 mit den Lösungen x1 und x2 gilt x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q. Damit lassen sich gefundene Lösungen in wenigen Sekunden kontrollieren, und bei ganzzahligen Lösungen kann man sie sogar im Kopf raten: bei x² - 8x + 15 = 0 sucht man zwei Zahlen mit Summe 8 und Produkt 15, also 5 und 3. Aus dem Satz folgt außerdem die Faktorisierung x² + px + q = (x - x1)(x - x2).

Q: Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?

Man ergänzt den Term x² + px zu einem vollständigen Quadrat, indem man (p/2)² addiert und gleich wieder subtrahiert. Aus x² - 4x + 4 wird so (x - 2)², und aus x² + 2x + 7 wird (x + 1)² + 6. Danach löst man einfach nach der Klammer auf und zieht die Wurzel. Die quadratische Ergänzung ist nicht nur ein Rechenweg, sondern auch der Beweis der p-q-Formel und liefert nebenbei den Scheitelpunkt der Parabel.

ax² + bx + c = 0 löst man mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel. Tabelle zum Vorzeichen der Diskriminante, Satz von Vieta und 8 Aufgaben mit Lösungen.

Welche Formel wann

Formel	Voraussetzung	Beispiel	Vorteil
p-q-Formel	Normalform x² + px + q = 0, also a = 1	x² + 6x + 8 = 0	Kürzer, weniger Rechenschritte
Mitternachtsformel	Beliebiges a ungleich null	2x² + 3x - 5 = 0	Kein Umformen nötig

Beide führen zum selben Ergebnis. Teilt man ax² + bx + c = 0 durch a, erhält man x² + (b/a)x + c/a = 0, also p = b/a und q = c/a: die p-q-Formel ist der Sonderfall a = 1.

Das Vorzeichen der Diskriminante entscheidet

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante, weil er die Fälle unterscheidet. Man kann ihn berechnen, bevor man überhaupt eine Lösung ausrechnet.

Vorzeichen von Δ = b² - 4ac	Anzahl reeller Lösungen	Beispiel	Ergebnis
Δ > 0	Zwei verschiedene Lösungen	x² + 6x + 8 = 0, Δ = 4	x1 = -2 und x2 = -4
Δ = 0	Genau eine doppelte Lösung	x² - 4x + 4 = 0, Δ = 0	x = 2
Δ < 0	Keine reelle Lösung	x² + 2x + 7 = 0, Δ = -24	Leere Lösungsmenge

Der Fall Δ = 0 wird am häufigsten falsch gedeutet: die Gleichung hat eine Lösung, nur eben eine einzige, die doppelt zählt. Keine Lösung hat die Gleichung mit negativer Diskriminante.

Unvollständige Gleichungen: schneller ohne Formel

Ist b oder c gleich null, heißt die Gleichung unvollständig, und es gibt einen deutlich kürzeren Weg. Die Formel wäre nicht falsch, kostet aber dreimal so viel Zeit und lädt zu Vorzeichenfehlern ein.

Typ	Form	Schnelles Verfahren	Beispiel
b = 0 und c = 0	ax² = 0	Durch a teilen, es bleibt x² = 0	5x² = 0 → x = 0 (doppelt)
c = 0	ax² + bx = 0	Ausklammern und Satz vom Nullprodukt: x(ax + b) = 0	2x² - 10x = 0 → x = 0 oder x = 5
b = 0	ax² + c = 0	Nach x² umstellen und mit beiden Vorzeichen die Wurzel ziehen	3x² - 27 = 0 → x = ± 3

Im zweiten Fall darf man niemals durch x teilen: die Lösung x = 0 ginge verloren. Das ist dasselbe Prinzip, das schon bei den linearen Gleichungen das Teilen durch null verbietet.

Satz von Vieta und Faktorisierung

Für die Normalform x² + px + q = 0 gilt x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q. Bei x² - 8x + 15 = 0 sucht man also zwei Zahlen mit Summe 8 und Produkt 15 und findet 5 und 3 im Kopf. Vor allem aber ist Vieta die schnellste Kontrolle nach dem Einsetzen in die Formel.

Sind die Lösungen bekannt, lässt sich der Term faktorisieren: x² + px + q = (x - x1)(x - x2), allgemein a(x - x1)(x - x2). Aus x² + 6x + 8 wird so (x + 2)(x + 4). Diese Schreibweise erklärt, warum Lösen und Nullsetzen eines Produkts dasselbe sind, und sie hilft beim Kürzen von Bruchtermen genauso wie die Potenzgesetze beim Umformen von Potenzen.

Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung macht aus x² + px ein vollständiges Quadrat, indem man (p/2)² addiert und wieder abzieht. So wird x² + 2x + 7 zu (x + 1)² + 6, und man sieht sofort, dass der Term nie null wird. Genau dieses Verfahren, auf ax² + bx + c angewandt, liefert den Beweis der beiden Formeln. Nebenbei liefert es den Scheitelpunkt der Parabel. Quadratische Gleichungen entstehen übrigens ständig in der Geometrie, etwa wenn man beim Satz des Pythagoras eine unbekannte Seitenlänge sucht.

Die häufigsten Fehler

Das Vorzeichen von b beziehungsweise p falsch übernehmen. Bei x² - 8x + 15 = 0 ist p = -8, also -p/2 = +4 und (p/2)² = +16, niemals -16.
Das ± vergessen. Die Formel liefert zwei Lösungen, eine mit Plus und eine mit Minus. Wer nach der ersten aufhört, gibt die halbe Antwort ab.
Die allgemeine Formel bei einer unvollständigen Gleichung anwenden. Bei 2x² - 10x = 0 gehört ausgeklammert, bei 3x² - 27 = 0 direkt die Wurzel gezogen.
Die Formel benutzen, ohne vorher auf null umzuformen. Bei x · (2x + 3) = 5 sind die Koeffizienten nicht a = 2, b = 3, c = 0: erst 2x² + 3x - 5 = 0 aufstellen.
Δ = 0 mit keiner Lösung verwechseln. Diskriminante null bedeutet eine doppelte Lösung; leer ist die Lösungsmenge erst bei negativer Diskriminante.
Die p-q-Formel anwenden, obwohl a nicht 1 ist. Bei 2x² + 3x - 5 = 0 muss man erst durch 2 teilen oder gleich die Mitternachtsformel nehmen.

In den Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit wirklich an: Es beginnt mit einer Gleichung in Normalform mit ganzzahligen Lösungen, führt über die Vorzeichenfalle bei negativem p und die beiden unvollständigen Typen zu den Sonderfällen Δ = 0 und Δ < 0, dann zu einer Gleichung, die erst ausmultipliziert und auf null gebracht werden muss, und endet mit einer Sachaufgabe zur Wurfparabel, bei der beide Lösungen eine Bedeutung haben.

Gelöste Aufgaben

1. Löse mit der p-q-Formel: x² + 6x + 8 = 0 base

Lösung anzeigen

Die Gleichung steht bereits in Normalform x² + px + q = 0, also p = 6 und q = 8.
Ich setze in die p-q-Formel ein: x = -p/2 ± √((p/2)² - q) = -3 ± √(3² - 8).
Unter der Wurzel steht 9 - 8 = 1, also ein positiver Wert: es gibt zwei verschiedene Lösungen.
x = -3 ± 1, also x1 = -3 + 1 = -2 und x2 = -3 - 1 = -4.
Probe durch Einsetzen: (-2)² + 6 · (-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 und (-4)² + 6 · (-4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. Stimmt.
Kontrolle mit dem Satz von Vieta: x1 + x2 = -2 - 4 = -6 = -p und x1 · x2 = (-2) · (-4) = 8 = q. Stimmt.

Ergebnis: x1 = -2 und x2 = -4

2. Löse: x² - 8x + 15 = 0 base

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Normalform mit p = -8 und q = 15. Das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten p dazu.
Ich bilde -p/2 = -(-8)/2 = +4. Genau hier passiert der häufigste Vorzeichenfehler.
Unter der Wurzel: (p/2)² - q = (-4)² - 15 = 16 - 15 = 1. Das Quadrat von -4 ist positiv.
x = 4 ± √1 = 4 ± 1, also x1 = 5 und x2 = 3.
Probe: 5² - 8 · 5 + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 und 3² - 8 · 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = 0. Stimmt.
Vieta: 5 + 3 = 8 = -p und 5 · 3 = 15 = q. Stimmt.

Ergebnis: x1 = 5 und x2 = 3

3. Löse die unvollständige Gleichung: 2x² - 10x = 0 base

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Hier ist c = 0, es handelt sich also um den Typ ax² + bx = 0. Eine Formel brauche ich dafür nicht.
Ich klammere den gemeinsamen Faktor 2x aus: 2x(x - 5) = 0.
Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist: 2x = 0 oder x - 5 = 0.
x1 = 0 und x2 = 5.
Probe: 2 · 0² - 10 · 0 = 0 und 2 · 5² - 10 · 5 = 50 - 50 = 0. Stimmt.
Typischer Fehler: beide Seiten durch x teilen, um zu vereinfachen. Damit verliert man die Lösung x = 0, denn man darf nie durch einen Term teilen, der null sein kann.

Ergebnis: x1 = 0 und x2 = 5

4. Löse die unvollständige Gleichung: 3x² - 27 = 0 base

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Hier ist b = 0, also der Typ ax² + c = 0: ich stelle nach x² um und ziehe die Wurzel.
Umstellen: 3x² = 27, also x² = 9.
Wurzelziehen mit beiden Vorzeichen: x = ± √9 = ± 3.
x1 = 3 und x2 = -3.
Probe: 3 · 3² - 27 = 27 - 27 = 0 und 3 · (-3)² - 27 = 27 - 27 = 0. Stimmt.
Zum Vergleich: bei 3x² + 27 = 0 käme x² = -9 heraus. Kein reelles Quadrat ist negativ, es gäbe also keine reelle Lösung.

Ergebnis: x1 = 3 und x2 = -3

5. Löse und beschreibe die Lösungsmenge: x² - 4x + 4 = 0 intermedio

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Normalform mit p = -4 und q = 4.
Die Diskriminante ist hier (p/2)² - q = 4 - 4 = 0.
Ist der Radikand null, gibt es genau eine Lösung, die sogenannte doppelte Lösung. Das ist nicht dasselbe wie keine Lösung.
x = -p/2 = 2.
Mit quadratischer Ergänzung sieht man dasselbe: x² - 4x + 4 = (x - 2)², und ein Quadrat wird nur null, wenn die Klammer null ist, also bei x = 2.
Probe: 2² - 4 · 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. Stimmt.

Ergebnis: x = 2, doppelte Lösung

6. Löse in den reellen Zahlen: x² + 2x + 7 = 0 intermedio

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Normalform mit p = 2 und q = 7.
Radikand: (p/2)² - q = 1 - 7 = -6.
Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert.
Die Gleichung hat also keine reelle Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
Die quadratische Ergänzung bestätigt das ohne Rechnung: x² + 2x + 7 = (x + 1)² + 6. Ein Quadrat plus 6 ist mindestens 6 und niemals null. Stimmt.
Anschaulich liegt die Parabel y = x² + 2x + 7 vollständig oberhalb der x-Achse und schneidet sie nie.

Ergebnis: Keine reelle Lösung (Radikand -6)

7. Löse: x · (2x + 3) = 5 intermedio

Lösung anzeigen

Bevor ich eine Formel anwende, muss die Gleichung auf null gebracht werden. Ausmultiplizieren: 2x² + 3x = 5.
Die 5 auf die linke Seite: 2x² + 3x - 5 = 0. Jetzt ist a = 2, b = 3, c = -5.
Weil a nicht 1 ist, nehme ich die Mitternachtsformel, sonst müsste ich erst durch 2 teilen.
Diskriminante: b² - 4ac = 3² - 4 · 2 · (-5) = 9 + 40 = 49. Achtung auf das Vorzeichen: minus mal minus ergibt plus, der Term -4ac wird also addiert.
x = (-3 ± √49) / (2 · 2) = (-3 ± 7) / 4.
x1 = (-3 + 7) / 4 = 1 und x2 = (-3 - 7) / 4 = -10/4 = -2,5.
Probe in der Ausgangsgleichung: 1 · (2 · 1 + 3) = 1 · 5 = 5 und (-2,5) · (2 · (-2,5) + 3) = (-2,5) · (-2) = 5. Stimmt.

Ergebnis: x1 = 1 und x2 = -2,5

8. Ein Ball wird von einem 1 m hohen Podest senkrecht nach oben geworfen. Für seine Höhe in Metern gilt h(t) = -5t² + 20t + 1, wobei t die Zeit in Sekunden ist. Nach wie vielen Sekunden befindet sich der Ball auf 16 m Höhe? avanzato

Lösung anzeigen

Ich übersetze die Frage in eine Gleichung: h(t) = 16, also -5t² + 20t + 1 = 16.
Ich bringe alles auf eine Seite: -5t² + 20t - 15 = 0.
Ich teile die ganze Gleichung durch -5, um die Normalform zu bekommen: t² - 4t + 3 = 0. Beim Teilen durch eine negative Zahl wechselt jedes Vorzeichen.
p-q-Formel mit p = -4 und q = 3: t = 2 ± √(4 - 3) = 2 ± 1.
t1 = 1 und t2 = 3.
Probe: h(1) = -5 + 20 + 1 = 16 und h(3) = -45 + 60 + 1 = 16. Stimmt.
Beide Lösungen sind sinnvoll und positiv: der Ball ist nach 1 Sekunde im Aufsteigen auf 16 m und nach 3 Sekunden im Fallen wieder auf derselben Höhe. Anders als bei Längenaufgaben darf hier also keine der beiden Lösungen weggelassen werden.

Ergebnis: Nach 1 Sekunde und nach 3 Sekunden

Häufige Fragen

Wann benutzt man die p-q-Formel und wann die Mitternachtsformel?

Die p-q-Formel setzt die Normalform x² + px + q = 0 voraus, der Koeffizient vor x² muss also 1 sein. Sie lautet x = -p/2 ± √((p/2)² - q) und ist die schnellere Wahl, sobald die Gleichung diese Form schon hat. Die Mitternachtsformel x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a funktioniert dagegen für jedes a und ist praktisch, wenn vor dem x² eine 2 oder eine 3 steht. Beide liefern natürlich dieselben Lösungen: teilt man ax² + bx + c = 0 durch a, wird aus der einen Formel die andere.

Wie löst man eine quadratische Gleichung Schritt für Schritt?

Zuerst wird die Gleichung nach null umgeformt, also Klammern ausmultipliziert, Brüche mit dem Hauptnenner beseitigt und alles auf eine Seite gebracht. Dann liest man die Koeffizienten mit ihrem Vorzeichen ab. Danach prüft man die Diskriminante: ist sie negativ, ist man fertig, sonst setzt man in die p-q-Formel oder in die Mitternachtsformel ein und rechnet den Fall mit Plus und den mit Minus getrennt aus. Zum Schluss setzt man beide Lösungen zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Wenn die Diskriminante negativ ist, also b² - 4ac < 0 beziehungsweise (p/2)² - q < 0. Bei x² + 2x + 7 = 0 steht -6 unter der Wurzel, und aus einer negativen Zahl lässt sich in den reellen Zahlen keine Wurzel ziehen: die Lösungsmenge ist leer, die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse nicht. Nicht verwechseln mit der Diskriminante null, denn dann gibt es sehr wohl eine Lösung, nämlich die doppelte.

Was sagt der Satz von Vieta aus?

Für x² + px + q = 0 mit den Lösungen x1 und x2 gilt x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q. Damit lassen sich gefundene Lösungen in wenigen Sekunden kontrollieren, und bei ganzzahligen Lösungen kann man sie sogar im Kopf raten: bei x² - 8x + 15 = 0 sucht man zwei Zahlen mit Summe 8 und Produkt 15, also 5 und 3. Aus dem Satz folgt außerdem die Faktorisierung x² + px + q = (x - x1)(x - x2).

Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?

Man ergänzt den Term x² + px zu einem vollständigen Quadrat, indem man (p/2)² addiert und gleich wieder subtrahiert. Aus x² - 4x + 4 wird so (x - 2)², und aus x² + 2x + 7 wird (x + 1)² + 6. Danach löst man einfach nach der Klammer auf und zieht die Wurzel. Die quadratische Ergänzung ist nicht nur ein Rechenweg, sondern auch der Beweis der p-q-Formel und liefert nebenbei den Scheitelpunkt der Parabel.