Matemática

Equações do 2º grau: 8 exercícios com Bhaskara

A fórmula de Bhaskara resolve ax² + bx + c = 0 com Δ = b² - 4ac. Tabela dos sinais do delta, equações incompletas e 8 exercícios resolvidos passo a passo.

Recomendado para: 9º ano

Uma equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. A ferramenta padrão para resolvê-la é a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √Δ) / 2a, com Δ = b² - 4ac

O primeiro passo é sempre o mesmo: levar tudo para o primeiro membro, deixando zero no segundo membro, e só então identificar a, b e c com o sinal que cada um tem.

O discriminante decide tudo

Antes de calcular qualquer raiz, o valor de Δ já diz quantas soluções existem. Por isso ele se chama discriminante.

Sinal de ΔQuantas raízes reaisExemploResultado
Δ > 0Duas raízes reais distintasx² + 5x + 6 = 0, Δ = 1x1 = -2 e x2 = -3
Δ = 0Uma única raiz real (raiz dupla)x² - 6x + 9 = 0, Δ = 0x = 3
Δ < 0Nenhuma raiz realx² + 2x + 5 = 0, Δ = -16Conjunto solução vazio

O caso Δ = 0 é o mais confundido: a equação tem solução, uma só, contada duas vezes. Quem não tem solução real é a equação com Δ negativo.

Equações incompletas: nem sempre precisa de Bhaskara

Quando b ou c valem zero, a equação é incompleta e existe um caminho mais rápido. Usar Bhaskara aqui não está errado, mas custa o triplo do tempo e abre espaço para erro de sinal.

TipoFormaMétodo rápidoExemplo
b = 0 e c = 0ax² = 0Divide por a, sobra x² = 05x² = 0 → x = 0 (raiz dupla)
c = 0ax² + bx = 0Fator comum em evidência: x(ax + b) = 03x² - 12x = 0 → x = 0 ou x = 4
b = 0ax² + c = 0Isola o x² e extrai a raiz com os dois sinais2x² - 50 = 0 → x = ± 5

No segundo caso, nunca divida a equação por x: você apagaria a raiz x = 0. É o mesmo princípio que impede dividir por zero nas equações do 1º grau.

Soma e produto das raízes

Quando existem duas raízes, elas obedecem às relações de Girard:

x1 + x2 = -b/a e x1 · x2 = c/a

Em x² - 7x + 12 = 0 a soma vale 7 e o produto vale 12: os números são 4 e 3, encontrados de cabeça. Use essas duas relações principalmente como conferência, logo depois de aplicar Bhaskara.

Fatoração do trinômio

Conhecidas as raízes, o trinômio se fatora como a(x - x1)(x - x2). De x² + 5x + 6 = 0, com raízes -2 e -3, sai x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). É essa fatoração que explica por que resolver a equação equivale a anular um produto, e ela reaparece sempre que se simplificam frações algébricas ou se trabalha com potências e suas propriedades.

Erros mais comuns

  • Errar o sinal de b quando b é negativo. Em x² - 7x + 12 = 0 o coeficiente é b = -7, então na fórmula entra -b = +7 e no delta entra (-7)² = +49, não -49.
  • Esquecer o ±. A fórmula produz duas raízes, uma com o mais e outra com o menos. Parar na primeira significa perder metade da resposta.
  • Aplicar Bhaskara numa equação incompleta. Em 3x² - 12x = 0 o caminho é o fator comum, e em 2x² - 50 = 0 é a raiz quadrada direta.
  • Aplicar a fórmula sem zerar o segundo membro. Em x(x + 3) = 40 os coeficientes não são a = 1, b = 3, c = 0: primeiro é preciso chegar a x² + 3x - 40 = 0.
  • Confundir Δ = 0 com nenhuma solução. Delta zero dá uma raiz dupla; quem não tem raiz real é o delta negativo.
  • Aceitar raízes que o problema não permite. Num problema de área, uma raiz negativa resolve a equação mas não serve como medida: precisa ser descartada.

Nos exercícios abaixo a dificuldade cresce de verdade: começamos por uma equação completa com delta positivo e raízes inteiras, passamos pela armadilha do b negativo, resolvemos as duas equações incompletas pelo método rápido, analisamos os casos Δ = 0 e Δ < 0, enfrentamos uma equação com frações que precisa ser reduzida à forma normal e terminamos com um problema de geometria em que uma das raízes tem de ser descartada.

Exercícios resolvidos

1. Resolva pela fórmula de Bhaskara: x² + 5x + 6 = 0 base

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  1. Identifico os coeficientes na forma ax² + bx + c = 0: a = 1, b = 5, c = 6.
  2. Calculo o discriminante: Δ = b² - 4ac = 5² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1.
  3. Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  4. Aplico Bhaskara: x = (-5 ± √1) / (2 · 1) = (-5 ± 1) / 2.
  5. x1 = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2 e x2 = (-5 - 1) / 2 = -6 / 2 = -3.
  6. Verificação substituindo: (-2)² + 5 · (-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 e (-3)² + 5 · (-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. Confere.
  7. Confirmo também por soma e produto: x1 + x2 = -2 - 3 = -5 = -b/a e x1 · x2 = (-2) · (-3) = 6 = c/a. Confere.

Resposta: x1 = -2 e x2 = -3

2. Resolva: x² - 7x + 12 = 0 base

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  1. Coeficientes: a = 1, b = -7, c = 12. Atenção: b é negativo, o sinal faz parte do coeficiente.
  2. Δ = (-7)² - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1. O quadrado de -7 é positivo.
  3. Na fórmula entra -b, ou seja -(-7) = +7: x = (7 ± √1) / 2 = (7 ± 1) / 2.
  4. x1 = (7 + 1) / 2 = 4 e x2 = (7 - 1) / 2 = 3.
  5. Verificação: 4² - 7 · 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 e 3² - 7 · 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0. Confere.
  6. Soma e produto: 4 + 3 = 7 = -b/a e 4 · 3 = 12 = c/a. Confere.

Resposta: x1 = 4 e x2 = 3

3. Resolva a equação incompleta: 3x² - 12x = 0 base

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  1. Aqui c = 0, então é uma equação incompleta do tipo ax² + bx = 0. Não preciso de Bhaskara.
  2. Coloco o fator comum 3x em evidência: 3x(x - 4) = 0.
  3. Um produto é zero quando um dos fatores é zero: 3x = 0 ou x - 4 = 0.
  4. x1 = 0 e x2 = 4.
  5. Verificação: 3 · 0² - 12 · 0 = 0 e 3 · 4² - 12 · 4 = 48 - 48 = 0. Confere.
  6. Erro clássico: dividir os dois membros por x para simplificar. Isso apagaria a raiz x = 0, porque não se pode dividir por uma expressão que pode valer zero. Uma equação do 2º grau incompleta com c = 0 tem sempre o zero como raiz.

Resposta: x1 = 0 e x2 = 4

4. Resolva a equação incompleta: 2x² - 50 = 0 base

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  1. Aqui b = 0, então é uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0: basta isolar o x² e extrair a raiz quadrada.
  2. Isolo: 2x² = 50, logo x² = 25.
  3. Extraio a raiz lembrando dos dois sinais: x = ± √25 = ± 5.
  4. x1 = 5 e x2 = -5.
  5. Verificação: 2 · 5² - 50 = 50 - 50 = 0 e 2 · (-5)² - 50 = 50 - 50 = 0. Confere.
  6. Observe que se a equação fosse 2x² + 50 = 0 chegaríamos a x² = -25, e nenhum número real elevado ao quadrado dá negativo: não haveria raízes reais.

Resposta: x1 = 5 e x2 = -5

5. Resolva e classifique quanto às raízes: x² - 6x + 9 = 0 intermedio

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  1. Coeficientes: a = 1, b = -6, c = 9.
  2. Δ = (-6)² - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.
  3. Δ = 0 significa uma única raiz real, chamada raiz dupla. Cuidado: delta zero não é o mesmo que não ter solução.
  4. x = -b / 2a = 6 / 2 = 3.
  5. Verificação: 3² - 6 · 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0. Confere.
  6. A fatoração deixa isso claro: x² - 6x + 9 = (x - 3)², que é um trinômio quadrado perfeito e só se anula em x = 3.

Resposta: x = 3, raiz dupla

6. Resolva em R: x² + 2x + 5 = 0 intermedio

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  1. Coeficientes: a = 1, b = 2, c = 5.
  2. Δ = 2² - 4 · 1 · 5 = 4 - 20 = -16.
  3. Δ < 0: a raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais.
  4. Portanto a equação não tem raízes reais e o conjunto solução é vazio.
  5. Controle rápido sem calcular nada: completando o quadrado, x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, e um quadrado somado a 4 é sempre maior ou igual a 4, nunca zero. Confere.

Resposta: Nenhuma raiz real (Δ = -16)

7. Resolva: x²/2 - x/3 = 5/6 intermedio

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  1. Antes de aplicar Bhaskara preciso eliminar os denominadores e levar tudo para a forma ax² + bx + c = 0.
  2. O mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 6 é 6. Multiplico TODOS os termos por 6: 3x² - 2x = 5.
  3. Passo o 5 para o primeiro membro: 3x² - 2x - 5 = 0. Agora a = 3, b = -2, c = -5.
  4. Δ = (-2)² - 4 · 3 · (-5) = 4 + 60 = 64. Atenção ao sinal: menos por menos dá mais, então o -4ac soma.
  5. x = (2 ± √64) / (2 · 3) = (2 ± 8) / 6.
  6. x1 = (2 + 8) / 6 = 10 / 6 = 5/3 e x2 = (2 - 8) / 6 = -6 / 6 = -1.
  7. Verificação na equação original com x = 5/3: (25/9)/2 - (5/3)/3 = 25/18 - 10/18 = 15/18 = 5/6. Confere.
  8. Verificação com x = -1: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Confere.

Resposta: x1 = 5/3 e x2 = -1

8. Um terreno retangular tem o comprimento 3 m maior que a largura e área de 40 m². Quais são as dimensões do terreno? Monte a equação antes de resolver. avanzato

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  1. Escolho a incógnita: seja x a largura em metros. O comprimento é então x + 3.
  2. Monto a equação da área: x(x + 3) = 40.
  3. Aplico a distributiva e levo tudo para o primeiro membro: x² + 3x - 40 = 0. Agora a = 1, b = 3, c = -40.
  4. Δ = 3² - 4 · 1 · (-40) = 9 + 160 = 169.
  5. x = (-3 ± √169) / 2 = (-3 ± 13) / 2.
  6. x1 = (-3 + 13) / 2 = 5 e x2 = (-3 - 13) / 2 = -8.
  7. Descarto x = -8: uma largura não pode ser negativa. Em problemas de geometria as raízes precisam passar pelo teste do contexto, não basta que resolvam a equação.
  8. Largura 5 m e comprimento 5 + 3 = 8 m.
  9. Verificação: 5 · 8 = 40 m². Confere.

Resposta: Largura 5 m e comprimento 8 m

Perguntas frequentes

Como resolver equação do 2º grau por Bhaskara?

Primeiro escreva a equação na forma ax² + bx + c = 0, com zero no segundo membro, e identifique os três coeficientes com o sinal. Depois calcule o discriminante Δ = b² - 4ac. Se Δ for maior ou igual a zero, aplique x = (-b ± √Δ) / 2a, resolvendo separadamente com o mais e com o menos. Por fim substitua as duas raízes na equação original: se os dois lados derem o mesmo valor, o resultado está certo.

O que significa o delta na equação do segundo grau?

O delta, ou discriminante, é Δ = b² - 4ac e diz quantas raízes reais a equação tem antes mesmo de você calculá-las. Se Δ > 0 existem duas raízes reais distintas; se Δ = 0 existe uma única raiz real, chamada raiz dupla, e o trinômio é um quadrado perfeito; se Δ < 0 não existe raiz real, porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos reais.

Como resolver equação do 2º grau incompleta?

Sem Bhaskara, que nesses casos é mais lenta e mais sujeita a erro. Se c = 0, como em 3x² - 12x = 0, coloque x em evidência: 3x(x - 4) = 0, e as raízes são 0 e 4. Se b = 0, como em 2x² - 50 = 0, isole o x² e extraia a raiz quadrada com os dois sinais: x = ± 5. Se b = 0 e c = 0 sobra apenas ax² = 0, cuja única raiz é x = 0.

Para que serve a soma e produto das raízes?

As relações de Girard dizem que x1 + x2 = -b/a e x1 · x2 = c/a. Servem para duas coisas. A primeira é conferir em poucos segundos as raízes encontradas por Bhaskara. A segunda é resolver de cabeça equações com raízes inteiras: em x² - 7x + 12 = 0 basta procurar dois números cuja soma seja 7 e cujo produto seja 12, ou seja 4 e 3, sem calcular o discriminante.

Quando a equação do 2º grau não tem solução real?

Quando o discriminante é negativo. Em x² + 2x + 5 = 0 temos Δ = 4 - 20 = -16, e como nenhum número real elevado ao quadrado dá um resultado negativo, a raiz de -16 não existe em R: o conjunto solução é vazio. Não confunda esse caso com Δ = 0, em que a equação tem sim uma solução, a raiz dupla, nem com a raiz x = 0, que é um valor perfeitamente válido.