Géométrie

Théorème de Pythagore : 8 exercices corrigés

Dans un triangle rectangle, BC² = AB² + AC². Formules inverses, réciproque, triplets pythagoriciens et 8 exercices corrigés pas à pas avec vérification.

Recommandé pour: 4e · 3e

Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, et c’est toujours le plus grand des trois côtés.

Une condition ne se négocie pas : le triangle doit avoir un angle de 90°. Sans cet angle droit, l’égalité est fausse.

Les trois formules à connaître

Une seule relation, trois usages différents. Reconnaître celui que l’énoncé demande, c’est déjà la moitié du travail.

Ce que l’on chercheFormuleExemple
L’hypoténuse, connaissant les deux côtés de l’angle droith = √(a² + b²)a = 6, b = 8 → h = √(36 + 64) = √100 = 10
Un côté de l’angle droit, connaissant l’hypoténuse et l’autre côtéa = √(h² - b²)h = 13, b = 5 → a = √(169 - 25) = √144 = 12
Si le triangle est rectangle, connaissant les trois côtés (réciproque)a² + b² = h² ?9, 12, 15 → 15² = 225 et 9² + 12² = 225 : rectangle

Toute la différence entre les deux premières lignes tient au signe : on additionne pour l’hypoténuse, on soustrait pour un côté de l’angle droit. Un réflexe de contrôle : l’hypoténuse doit sortir plus grande que les deux autres côtés, un côté de l’angle droit plus petit que l’hypoténuse.

Comme tout le chapitre repose sur des carrés et des racines carrées, revoir les propriétés des puissances rend les calculs nettement plus rapides.

Réciproque et contraposée : le cœur du programme de 4e et 3e

C’est le point sur lequel les contrôles insistent le plus, et il tient en trois énoncés qu’il faut savoir distinguer.

  • Le théorème : si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². On l’utilise pour calculer une longueur quand l’angle droit est donné.
  • La réciproque : si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A. On l’utilise pour démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.
  • La contraposée : si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A. On l’utilise pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

La méthode de rédaction attendue est toujours la même : on repère le plus grand côté, on calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres, on compare, puis on conclut en citant la propriété. Écrire les deux calculs sur deux lignes distinctes, sans mettre de signe = entre eux avant d’avoir comparé, fait partie du barème.

Les triplets pythagoriciens les plus fréquents

Un triplet pythagoricien est formé de trois entiers qui vérifient la relation. Les reconnaître dans un énoncé permet de répondre sans calculatrice.

Triplet (côté, côté, hypoténuse)Pourquoi il fonctionneMultiples les plus utilisés
3, 4, 59 + 16 = 256-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 30-40-50
5, 12, 1325 + 144 = 16910-24-26, 15-36-39, 25-60-65
8, 15, 1764 + 225 = 28916-30-34, 24-45-51
7, 24, 2549 + 576 = 62514-48-50, 21-72-75
9, 40, 4181 + 1600 = 168118-80-82, 27-120-123
20, 21, 29400 + 441 = 84140-42-58, 60-63-87

Un piège classique : multiplier un triplet par un même nombre donne encore un triplet, mais ajouter un même nombre à chaque côté ne marche pas. De 3-4-5 on tire 6-8-10, alors que 4-5-6 n’est pas un triplet (16 + 25 = 41 ≠ 36).

Les applications qui reviennent en contrôle

Le théorème apparaît rarement seul : il est caché dans une figure. Le réflexe est toujours d’y repérer un triangle rectangle.

  • Diagonale d’un rectangle de côtés L et l : la diagonale est l’hypoténuse, donc d = √(L² + l²). Avec 6 cm et 8 cm, d = 10 cm.
  • Diagonale d’un carré de côté c : les deux côtés de l’angle droit sont égaux, donc d = √(c² + c²) = c√2 ≈ 1,41 × c.
  • Hauteur d’un triangle équilatéral de côté c : la hauteur coupe la base en son milieu, donc h = c√3/2 ≈ 0,87 × c.
  • Distance entre deux points dans un repère : c’est l’hypoténuse d’un triangle aux côtés horizontal et vertical, soit d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). De A(1 ; 2) à B(5 ; 5) : √(4² + 3²) = √25 = 5.
  • Trapèze isocèle : en abaissant les deux hauteurs, on fait apparaître deux triangles rectangles identiques et la hauteur s’obtient par soustraction.

Lorsque l’énoncé donne l’aire ou le résultat et demande la longueur du côté, on aboutit à une équation du second degré incomplète de la forme x² = k : en géométrie, seule la solution positive est retenue, car une longueur n’est jamais négative.

Les erreurs les plus fréquentes

  • Appliquer le théorème à un triangle qui n’est pas rectangle. Sans angle droit, l’égalité est fausse. Si l’énoncé ne garantit pas l’angle droit, il faut d’abord le prouver avec la réciproque.
  • Confondre hypoténuse et côté de l’angle droit dans la formule inverse. On additionne pour l’hypoténuse, on soustrait pour un côté de l’angle droit. Une racine de nombre négatif signale exactement cette confusion.
  • Oublier la racine carrée à la fin. Arriver à BC² = 100 et répondre 100 cm au lieu de 10 cm est l’erreur qui coûte le plus de points.
  • Additionner les longueurs au lieu des carrés. Avec 6 et 8, l’hypoténuse n’est pas 6 + 8 = 14 mais √(36 + 64) = 10.
  • Arrondir trop tôt. On garde la valeur exacte (√52, 6√2, 5√3) jusqu’au dernier calcul et on n’arrondit qu’à la fin, sinon l’erreur se propage.
  • Conclure sans citer la propriété. Dans un exercice de réciproque, la phrase « d’après la réciproque du théorème de Pythagore » fait partie de la réponse attendue.

Dans les exercices ci-dessous la relation ne change pas, mais la difficulté augmente : on calcule d’abord une hypoténuse avec un triplet entier, puis un côté de l’angle droit par soustraction, puis une longueur irrationnelle à arrondir ; on applique ensuite la réciproque à deux triangles, dont un qui n’est pas rectangle ; on passe à la diagonale du carré et à la hauteur du triangle équilatéral, et on termine par un trapèze décomposé et un problème concret de rampe d’accès. Si la mise en équation vous bloque, la méthode est celle des équations du premier degré.

Exercices corrigés

1. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC. base

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  1. Je repère l'angle droit : il est en A, donc l'hypoténuse est le côté opposé, c'est-à-dire BC. C'est justement la longueur cherchée.
  2. J'écris le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 6² + 8².
  3. Je calcule les carrés : 36 + 64 = 100.
  4. Je prends la racine carrée : BC = √100 = 10 cm.
  5. Vérification : 6² + 8² = 100 et 10² = 100. Les deux membres sont égaux, la longueur 10 cm convient.

Réponse: BC = 10 cm

2. Le triangle DEF est rectangle en D, avec EF = 13 m et DE = 5 m. Calculer DF. base

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  1. L'angle droit est en D, donc l'hypoténuse est EF = 13 m. Je cherche DF, qui est un côté de l'angle droit.
  2. Comme je cherche un côté de l'angle droit, je soustrais : DF² = EF² - DE².
  3. Je remplace : DF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
  4. Je prends la racine carrée : DF = √144 = 12 m.
  5. Vérification : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 et 13² = 169. C'est correct.

Réponse: DF = 12 m

3. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 4 cm et 6 cm. Calculer l'hypoténuse, en donnant la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. base

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  1. J'applique le théorème : h² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52.
  2. Je prends la racine : h = √52. Comme 52 n'est pas un carré parfait, le résultat est un nombre irrationnel.
  3. Je simplifie le radical : 52 = 4 × 13, donc √52 = 2√13. C'est la valeur exacte, celle qu'il faut garder dans les calculs.
  4. Je n'utilise la calculatrice qu'à la fin : h ≈ 7,21 cm, valeur arrondie au centième.
  5. Vérification : 7,21² = 51,9841, très proche de 52. L'écart vient uniquement de l'arrondi.

Réponse: h = 2√13 cm ≈ 7,21 cm (valeur arrondie)

4. Dire si chaque triangle est rectangle, en justifiant. a) côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm ; b) côtés 7 cm, 8 cm et 12 cm. intermedio

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  1. J'utilise la réciproque du théorème de Pythagore : je calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis je compare.
  2. a) Le plus grand côté est 15. D'une part 15² = 225, d'autre part 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
  3. a) Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de 15 cm. Au passage, 9-12-15 est le triplet 3-4-5 multiplié par 3.
  4. b) Le plus grand côté est 12. D'une part 12² = 144, d'autre part 7² + 8² = 49 + 64 = 113.
  5. b) 144 ≠ 113, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle n'est pas rectangle. Comme 144 > 113, l'angle opposé au plus grand côté est obtus.
  6. Vérification : dans les deux cas j'ai bien pris le PLUS GRAND côté comme candidat hypoténuse. Avec un autre choix, la comparaison n'aurait aucun sens.

Réponse: a) rectangle (225 = 225) ; b) non rectangle (144 ≠ 113)

5. Calculer la diagonale d'un carré de côté 6 cm, en donnant la valeur exacte puis la valeur arrondie. intermedio

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  1. La diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles : les côtés de l'angle droit sont deux côtés du carré, et l'hypoténuse est la diagonale.
  2. J'applique le théorème : d² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
  3. d = √72. Je simplifie : 72 = 36 × 2, donc d = 6√2. C'est la valeur exacte.
  4. En généralisant, la diagonale d'un carré de côté c vaut toujours d = c√2.
  5. J'arrondis seulement maintenant : d ≈ 8,49 cm, valeur arrondie au centième.
  6. Vérification : 8,49² = 72,0801, très proche de 72. L'écart n'est dû qu'à l'arrondi.

Réponse: d = 6√2 cm ≈ 8,49 cm (valeur arrondie)

6. Calculer la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 10 cm. intermedio

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  1. Je trace la hauteur issue d'un sommet : dans un triangle équilatéral elle est aussi médiane, donc elle coupe la base en deux segments de 5 cm.
  2. J'obtiens un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le côté de 10 cm et dont un côté de l'angle droit est la demi-base, 5 cm. L'autre côté de l'angle droit est la hauteur cherchée.
  3. Je cherche un côté de l'angle droit, donc je soustrais : h² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75.
  4. h = √75 = √(25 × 3) = 5√3. C'est la valeur exacte.
  5. En généralisant : dans un triangle équilatéral de côté c, la hauteur vaut h = c√3/2.
  6. J'arrondis : h ≈ 8,66 cm, valeur arrondie au centième.
  7. Vérification : 8,66² = 74,9956 ≈ 75, et la hauteur est bien inférieure au côté (8,66 < 10).

Réponse: h = 5√3 cm ≈ 8,66 cm (valeur arrondie)

7. Un trapèze isocèle a une grande base de 14 cm, une petite base de 8 cm et des côtés obliques de 5 cm. Calculer sa hauteur puis son aire. avanzato

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  1. Je trace les deux hauteurs issues des sommets de la petite base : le trapèze se décompose en un rectangle central et deux triangles rectangles identiques sur les côtés.
  2. Le rectangle central a pour largeur la petite base, 8 cm. Il reste 14 - 8 = 6 cm, répartis également entre les deux triangles : 6 : 2 = 3 cm chacun.
  3. Dans chaque triangle latéral, l'hypoténuse est le côté oblique de 5 cm et un côté de l'angle droit est la projection de 3 cm. La hauteur est l'autre côté de l'angle droit.
  4. Je cherche un côté de l'angle droit, donc je soustrais : h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, d'où h = √16 = 4 cm.
  5. Je calcule l'aire du trapèze : A = (14 + 8) × 4 : 2 = 22 × 4 : 2 = 44 cm².
  6. Vérification : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Le triangle latéral est le triplet 3-4-5, tout est cohérent.

Réponse: h = 4 cm et A = 44 cm²

8. Une rampe d'accès s'élève de 0,60 m sur une longueur horizontale de 4,50 m. Quelle est la longueur de la rampe ? Arrondir au centième. avanzato

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  1. Je fais un schéma : le sol est horizontal, le dénivelé est vertical, ces deux directions forment un angle droit. La rampe est l'hypoténuse du triangle rectangle.
  2. Les données sont les deux côtés de l'angle droit : 4,50 m et 0,60 m. Je cherche l'hypoténuse, donc j'additionne.
  3. L² = 4,50² + 0,60² = 20,25 + 0,36 = 20,61.
  4. L = √20,61 ≈ 4,54 m, valeur arrondie au centième.
  5. Vérification : 4,54² = 20,6116, très proche de 20,61. L'écart vient de l'arrondi.
  6. Contrôle de bon sens : la rampe (4,54 m) est un peu plus longue que sa projection au sol (4,50 m), ce qui est logique. Un résultat plus petit que 4,50 m aurait signalé une soustraction faite à la place d'une addition.

Réponse: L ≈ 4,54 m (valeur arrondie)

Questions fréquentes

Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Avec AB = 6 cm et AC = 8 cm : 36 + 64 = 100, donc BC = √100 = 10 cm. L'erreur la plus fréquente est de s'arrêter à 100 en oubliant la racine carrée. La deuxième est d'additionner les longueurs au lieu des carrés : 6 + 8 = 14 n'est pas l'hypoténuse.

Comment calculer un côté de l'angle droit ?

Là il faut soustraire, et non additionner. On part de BC² = AB² + AC² et on isole le côté cherché : AB² = BC² - AC². Avec une hypoténuse de 13 m et un côté de 5 m : 169 - 25 = 144, donc le côté cherché mesure √144 = 12 m. L'hypoténuse est toujours le plus grand côté, donc c'est toujours elle qui est en tête de la soustraction. Si vous obtenez un nombre négatif sous la racine, c'est que vous l'avez confondue avec un côté de l'angle droit.

Comment savoir si un triangle est rectangle ?

On applique la réciproque du théorème de Pythagore. On repère le plus grand côté, on calcule son carré d'un côté et la somme des carrés des deux autres de l'autre, puis on compare. Avec 9, 12 et 15 : 15² = 225 et 9² + 12² = 225, donc le triangle est rectangle. Avec 7, 8 et 12 : 12² = 144 alors que 7² + 8² = 113, et comme 144 ≠ 113 le triangle n'est pas rectangle : c'est la contraposée du théorème.

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème sert à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs. La contraposée sert au contraire à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. En rédaction, il faut citer la propriété utilisée : écrire « d'après la réciproque du théorème de Pythagore » rapporte des points, l'oublier en fait perdre.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

C'est un trio de nombres entiers qui vérifie a² + b² = c², comme 3-4-5, 5-12-13 ou 8-15-17. Les connaître par cœur fait gagner beaucoup de temps en contrôle, car la réponse tombe sans calculatrice. Tout multiple d'un triplet en est encore un : à partir de 3-4-5 on obtient 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50. Attention, cela marche pour la multiplication mais pas pour l'addition : 4-5-6 n'est pas un triplet.