Geometria

Teorema de Pitágoras: 8 exercícios resolvidos

Q: Como calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo?

Some os quadrados dos dois catetos e extraia a raiz quadrada do resultado. Se os catetos medem b e c, a hipotenusa é a = √(b² + c²). Com catetos de 6 cm e 8 cm: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, logo a = √100 = 10 cm. O erro mais comum é parar em 100 e esquecer a raiz quadrada. Outro erro frequente é somar os lados em vez dos quadrados: 6 + 8 = 14 não é a hipotenusa.

Q: Como calcular o cateto sabendo a hipotenusa?

Nesse caso se subtrai, não se soma. A fórmula inversa é c = √(a² - b²), em que a é a hipotenusa e b é o cateto conhecido. Com hipotenusa 13 m e cateto 5 m: 13² - 5² = 169 - 25 = 144, logo c = √144 = 12 m. A hipotenusa é sempre o lado maior, então ela sempre entra na subtração com o sinal de mais: se você obtiver um número negativo dentro da raiz, trocou a hipotenusa com um cateto.

Q: Como saber se um triângulo é retângulo sabendo os três lados?

Use a recíproca do teorema de Pitágoras. Identifique o lado maior, eleve-o ao quadrado e compare com a soma dos quadrados dos outros dois. Se os valores forem iguais, o triângulo é retângulo e o lado maior é a hipotenusa. Com 9, 12 e 15: 15² = 225 e 9² + 12² = 225, então é retângulo. Com 7, 8 e 12: 12² = 144 mas 7² + 8² = 113, e como 144 ≠ 113 o triângulo não é retângulo.

Q: O que é um terno pitagórico?

É um conjunto de três números inteiros que satisfazem a² = b² + c², como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17. Vale a pena decorar os principais porque eles aparecem o tempo todo nas provas e permitem responder sem calculadora. Todo múltiplo de um terno também é um terno: de 3-4-5 saem 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 e assim por diante. Reconhecer um múltiplo economiza toda a conta.

Q: O teorema de Pitágoras vale para qualquer triângulo?

Não. Vale exclusivamente para triângulos retângulos, ou seja, os que têm um ângulo de 90 graus. Num triângulo acutângulo ou obtusângulo a relação a² = b² + c² é falsa, e aplicá-la mesmo assim é um dos erros mais penalizados nas provas. Se o enunciado não disser que o triângulo é retângulo, procure o ângulo reto no desenho ou verifique com a recíproca antes de usar a fórmula.

Num triângulo retângulo vale a² = b² + c², sendo a a hipotenusa. Fórmulas inversas, ternos pitagóricos e 8 exercícios resolvidos passo a passo com verificação.

Recomendado para: 8º ano · 9º ano

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c², em que a é a hipotenusa e b e c são os catetos. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e sempre o lado maior dos três.

Antes de mais nada, uma condição que não pode ser esquecida: o triângulo precisa ter um ângulo de 90°. Se não tiver, o teorema simplesmente não se aplica.

As três fórmulas que resolvem tudo

Da mesma relação saem três usos diferentes. Saber qual deles o exercício está pedindo é metade do trabalho.

O que você procura	Fórmula	Exemplo
A hipotenusa, sabendo os dois catetos	a = √(b² + c²)	b = 6, c = 8 → a = √(36 + 64) = √100 = 10
Um cateto, sabendo a hipotenusa e o outro cateto	c = √(a² - b²)	a = 13, b = 5 → c = √(169 - 25) = √144 = 12
Se o triângulo é retângulo, sabendo os três lados (recíproca)	a² = b² + c² ?	9, 12, 15 → 15² = 225 e 9² + 12² = 225, é retângulo

A diferença entre a primeira e a segunda linha é o sinal: para a hipotenusa se soma, para um cateto se subtrai. Trocar os dois é o erro mais comum de todos. Um jeito rápido de conferir: a hipotenusa tem de sair maior que os catetos, e um cateto tem de sair menor que a hipotenusa.

Como o teorema trabalha o tempo todo com quadrados e raízes quadradas, revisar as propriedades da potenciação deixa as contas muito mais rápidas.

Os ternos pitagóricos que mais aparecem

Um terno pitagórico é formado por três números inteiros que satisfazem a relação. Quando você reconhece um deles no enunciado, a resposta sai de cabeça.

Terno (cateto, cateto, hipotenusa)	Confere porque	Múltiplos mais usados
3, 4, 5	9 + 16 = 25	6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 30-40-50
5, 12, 13	25 + 144 = 169	10-24-26, 15-36-39, 25-60-65
8, 15, 17	64 + 225 = 289	16-30-34, 24-45-51
7, 24, 25	49 + 576 = 625	14-48-50, 21-72-75
9, 40, 41	81 + 1600 = 1681	18-80-82, 27-120-123
20, 21, 29	400 + 441 = 841	40-42-58, 60-63-87

Atenção a uma armadilha clássica: se você multiplicar um terno por um número, continua valendo; se você somar o mesmo número a cada lado, não vale mais. De 3-4-5 sai 6-8-10, mas 4-5-6 não é terno (16 + 25 = 41 ≠ 36).

As aplicações que caem sempre

O teorema quase nunca aparece sozinho: aparece escondido dentro de uma figura. O truque é sempre o mesmo, achar o triângulo retângulo dentro do desenho.

Diagonal de um retângulo de lados b e h: a diagonal é a hipotenusa, logo d = √(b² + h²). Com 6 cm e 8 cm, d = 10 cm.
Diagonal de um quadrado de lado l: os dois catetos são iguais, então d = √(l² + l²) = l·√2 ≈ 1,41 · l.
Altura de um triângulo equilátero de lado l: a altura corta a base ao meio, então h = l·√3/2 ≈ 0,87 · l.
Distância entre dois pontos no plano cartesiano: a distância é a hipotenusa de um triângulo com catetos horizontais e verticais, ou seja d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). De A(1, 2) a B(5, 5): √(4² + 3²) = √25 = 5.
Trapézio isósceles: baixando as duas alturas aparecem dois triângulos retângulos iguais nas laterais, e a altura sai por subtração.

Quando o enunciado dá a área ou o resultado e pede o lado, você acaba resolvendo uma equação do segundo grau incompleta do tipo x² = k, cuja solução no contexto geométrico é só a raiz positiva, porque um comprimento não pode ser negativo.

Erros mais comuns

Aplicar o teorema a um triângulo que não é retângulo. Sem o ângulo de 90° a relação é falsa. Se o enunciado não garantir o ângulo reto, verifique antes com a recíproca.
Trocar hipotenusa e cateto na fórmula inversa. Para achar a hipotenusa se soma, para achar um cateto se subtrai. Se der raiz de número negativo, foi exatamente esse o erro.
Esquecer a raiz quadrada no final. Chegar a a² = 100 e responder 100 cm em vez de 10 cm é o erro que mais custa pontos.
Somar os lados em vez dos quadrados. Com catetos 6 e 8 a hipotenusa não é 6 + 8 = 14, é √(36 + 64) = 10.
Arredondar cedo demais. Trabalhe com o valor exato (√52, 6·√2, 5·√3) até o último passo e só então aproxime. Arredondar no meio do caminho propaga o erro no resultado final.
Misturar unidades de medida. Se um lado está em metros e outro em centímetros, converta tudo antes de elevar ao quadrado.

Nos exercícios abaixo o teorema é sempre o mesmo, mas a dificuldade cresce: começamos calculando a hipotenusa com um terno inteiro, passamos ao cateto por subtração e a um resultado irracional que precisa ser arredondado, aplicamos a recíproca a dois triângulos (um retângulo e um que não é), chegamos à diagonal do quadrado e à altura do triângulo equilátero, e terminamos com um trapézio decomposto e um problema concreto de escada apoiada na parede. Se em algum passo você travar na conta com decimais, vale rever antes o método das equações do 1º grau, que é o mesmo usado para isolar o lado desconhecido.

Exercícios resolvidos

1. Um triângulo retângulo tem catetos de 6 cm e 8 cm. Calcule a hipotenusa. base

Mostrar solução

Identifico os lados: 6 cm e 8 cm são os catetos, porque formam o ângulo reto; a hipotenusa é o lado que estou procurando.
Escrevo o teorema com a hipotenusa isolada: a² = b² + c² = 6² + 8².
Calculo os quadrados: 36 + 64 = 100.
Extraio a raiz quadrada: a = √100 = 10 cm.
Verificação: 6² + 8² = 100 e 10² = 100. Os dois valores coincidem, então 10 cm está certo.

Resposta: a = 10 cm

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 m e um dos catetos mede 5 m. Calcule o outro cateto. base

Mostrar solução

Aqui o lado desconhecido é um cateto, então uso a fórmula inversa com subtração: c² = a² - b².
Substituo os valores: c² = 13² - 5² = 169 - 25.
c² = 144.
Extraio a raiz quadrada: c = √144 = 12 m.
Verificação: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 e 13² = 169. Confere.

Resposta: c = 12 m

3. Um triângulo retângulo tem catetos de 4 cm e 6 cm. Calcule a hipotenusa, dando o valor exato e o valor aproximado com duas casas decimais. base

Mostrar solução

Aplico o teorema: a² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52.
Extraio a raiz: a = √52. O número 52 não é um quadrado perfeito, então o resultado é irracional.
Simplifico o radical: 52 = 4 · 13, portanto √52 = 2·√13. Esse é o valor exato.
Só agora, no fim, uso a calculadora: a ≈ 7,21 cm, valor arredondado para duas casas decimais.
Verificação: 7,21² = 51,9841, praticamente igual a 52. A pequena diferença vem só do arredondamento.

Resposta: a = 2·√13 cm ≈ 7,21 cm (arredondado)

4. Verifique se cada triângulo é retângulo. a) lados 9 cm, 12 cm e 15 cm; b) lados 7 cm, 8 cm e 12 cm. intermedio

Mostrar solução

Uso a recíproca do teorema de Pitágoras: se o quadrado do lado maior for igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é retângulo.
a) O lado maior é 15. Calculo separadamente: 15² = 225 e 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
a) Os dois resultados são iguais, logo o triângulo é retângulo, com a hipotenusa de 15 cm. Repare que 9-12-15 é o terno 3-4-5 multiplicado por 3.
b) O lado maior é 12. Calculo: 12² = 144 e 7² + 8² = 49 + 64 = 113.
b) 144 ≠ 113, então o triângulo não é retângulo. Como 144 > 113, o ângulo maior é obtuso.
Verificação: nos dois casos comparei sempre o quadrado do LADO MAIOR com a soma dos outros dois. Se eu tivesse escolhido outro lado como referência, a comparação não teria sentido.

Resposta: a) é retângulo (225 = 225); b) não é retângulo (144 ≠ 113)

5. Calcule a diagonal de um quadrado de lado 6 cm, dando o valor exato e o aproximado. intermedio

Mostrar solução

A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos iguais, em que os catetos são dois lados do quadrado e a hipotenusa é a própria diagonal.
Aplico o teorema: d² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
d = √72. Simplifico: 72 = 36 · 2, portanto d = 6·√2. Esse é o valor exato.
Generalizando, a diagonal de um quadrado de lado l é sempre d = l·√2.
Aproximo no final: d ≈ 8,49 cm, arredondado para duas casas decimais.
Verificação: 8,49² = 72,0801, muito próximo de 72. A diferença é só o arredondamento.

Resposta: d = 6·√2 cm ≈ 8,49 cm (arredondado)

6. Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 10 cm. intermedio

Mostrar solução

Traço a altura relativa à base: num triângulo equilátero ela também é mediana, ou seja, divide a base em duas partes iguais de 5 cm.
Obtenho assim um triângulo retângulo em que a hipotenusa é o lado de 10 cm e um cateto é a metade da base, 5 cm. O outro cateto é a altura.
Como procuro um cateto, subtraio: h² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75.
h = √75 = √(25 · 3) = 5·√3. Valor exato.
Generalizando: num triângulo equilátero de lado l vale h = l·√3/2.
Aproximo: h ≈ 8,66 cm, arredondado para duas casas decimais.
Verificação: 8,66² = 74,9956 ≈ 75, e a altura é menor que o lado (8,66 < 10), como tem de ser.

Resposta: h = 5·√3 cm ≈ 8,66 cm (arredondado)

7. Um trapézio isósceles tem base maior de 14 cm, base menor de 8 cm e lados oblíquos de 5 cm. Calcule a altura e a área. avanzato

Mostrar solução

Traço as duas alturas a partir dos vértices da base menor: o trapézio fica dividido em um retângulo central e dois triângulos retângulos iguais nas laterais.
A base do retângulo central é igual à base menor, 8 cm. Sobram 14 - 8 = 6 cm, repartidos igualmente entre os dois triângulos: 6 : 2 = 3 cm cada.
Em cada triângulo lateral a hipotenusa é o lado oblíquo, 5 cm, e um cateto é a projeção de 3 cm. A altura é o outro cateto.
Como procuro um cateto, subtraio: h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, logo h = √16 = 4 cm.
Calculo a área com a fórmula do trapézio: A = (14 + 8) · 4 : 2 = 22 · 4 : 2 = 44 cm².
Verificação: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². O triângulo lateral é o terno 3-4-5, tudo confere.

Resposta: h = 4 cm e A = 44 cm²

8. Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede vertical, com o pé afastado 1,4 m da parede. A que altura do chão a escada toca a parede? avanzato

Mostrar solução

Faço o desenho: a parede é vertical, o chão é horizontal, então parede e chão formam um ângulo reto. A escada é a hipotenusa do triângulo retângulo.
Os dados são a hipotenusa (5 m) e um cateto (1,4 m); a altura procurada é o outro cateto.
Como procuro um cateto, subtraio: h² = 5² - 1,4² = 25 - 1,96 = 23,04.
h = √23,04 = 4,8 m. Aqui o resultado é exato, sem arredondamento.
Verificação: 1,4² + 4,8² = 1,96 + 23,04 = 25 = 5². Confere.
Checagem de sentido: 4,8 m é menor que os 5 m da escada, como tem de ser. Se tivesse dado um valor maior que a hipotenusa, o erro estaria na fórmula, provavelmente somando em vez de subtrair.

Resposta: h = 4,8 m

Perguntas frequentes

Como calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo?

Some os quadrados dos dois catetos e extraia a raiz quadrada do resultado. Se os catetos medem b e c, a hipotenusa é a = √(b² + c²). Com catetos de 6 cm e 8 cm: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, logo a = √100 = 10 cm. O erro mais comum é parar em 100 e esquecer a raiz quadrada. Outro erro frequente é somar os lados em vez dos quadrados: 6 + 8 = 14 não é a hipotenusa.

Como calcular o cateto sabendo a hipotenusa?

Nesse caso se subtrai, não se soma. A fórmula inversa é c = √(a² - b²), em que a é a hipotenusa e b é o cateto conhecido. Com hipotenusa 13 m e cateto 5 m: 13² - 5² = 169 - 25 = 144, logo c = √144 = 12 m. A hipotenusa é sempre o lado maior, então ela sempre entra na subtração com o sinal de mais: se você obtiver um número negativo dentro da raiz, trocou a hipotenusa com um cateto.

Como saber se um triângulo é retângulo sabendo os três lados?

Use a recíproca do teorema de Pitágoras. Identifique o lado maior, eleve-o ao quadrado e compare com a soma dos quadrados dos outros dois. Se os valores forem iguais, o triângulo é retângulo e o lado maior é a hipotenusa. Com 9, 12 e 15: 15² = 225 e 9² + 12² = 225, então é retângulo. Com 7, 8 e 12: 12² = 144 mas 7² + 8² = 113, e como 144 ≠ 113 o triângulo não é retângulo.

O que é um terno pitagórico?

É um conjunto de três números inteiros que satisfazem a² = b² + c², como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17. Vale a pena decorar os principais porque eles aparecem o tempo todo nas provas e permitem responder sem calculadora. Todo múltiplo de um terno também é um terno: de 3-4-5 saem 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 e assim por diante. Reconhecer um múltiplo economiza toda a conta.

O teorema de Pitágoras vale para qualquer triângulo?

Não. Vale exclusivamente para triângulos retângulos, ou seja, os que têm um ângulo de 90 graus. Num triângulo acutângulo ou obtusângulo a relação a² = b² + c² é falsa, e aplicá-la mesmo assim é um dos erros mais penalizados nas provas. Se o enunciado não disser que o triângulo é retângulo, procure o ângulo reto no desenho ou verifique com a recíproca antes de usar a fórmula.