Inéquations du premier degré : 8 exercices corrigés

Une inéquation du premier degré se résout presque comme une équation, à une différence près qui décide de tout l’exercice : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Qui l’oublie mène tous ses calculs correctement et rend malgré tout un ensemble de solutions tourné du mauvais côté.

La règle du changement de sens

Partons d’une inégalité numérique vraie : 5 > 3. Multiplions les deux côtés par -2 et regardons les résultats : -10 et -6. Comme -10 se situe plus à gauche sur la droite graduée, la relation correcte devient -10 < -6. Le sens a bien changé.

Ce n’est pas une convention arbitraire : multiplier par un nombre négatif revient à faire une symétrie de la droite graduée par rapport à zéro, et ce qui était à droite se retrouve à gauche. C’est exactement pour cette raison que -3x ≥ 15 donne x ≤ -5 et non x ≥ -5.

La règle pratique tient en une phrase : comptez le nombre de fois où vous avez multiplié ou divisé par un nombre négatif. Une fois, le sens change une fois. Si vous n’avez fait qu’ajouter, soustraire ou travailler avec des nombres positifs, le sens reste inchangé.

Les quatre symboles d’inégalité

Symbole	Lecture	Ensemble des solutions (exemple avec 5)	Sur la droite graduée	Exemple d’inéquation
<	strictement inférieur à	S = ]-∞ ; 5[	point creux en 5, on hachure à gauche	x + 2 < 7
>	strictement supérieur à	S = ]5 ; +∞[	point creux en 5, on hachure à droite	x - 1 > 4
≤	inférieur ou égal à	S = ]-∞ ; 5]	point plein en 5, on hachure à gauche	2x ≤ 10
≥	supérieur ou égal à	S = [5 ; +∞[	point plein en 5, on hachure à droite	3x ≥ 15

Le nombre 5 occupe toujours la même place dans l’intervalle : seuls le crochet et le côté hachuré changent.

Ce qu’on a le droit de faire sur les deux membres

Opération	Effet sur le sens	Exemple numérique
Ajouter le même nombre	inchangé	de 5 > 3 à 5 + 4 > 3 + 4, soit 9 > 7
Soustraire le même nombre	inchangé	de 5 > 3 à 5 - 8 > 3 - 8, soit -3 > -5
Multiplier par un nombre positif	inchangé	de 5 > 3 à 5 × 2 > 3 × 2, soit 10 > 6
Diviser par un nombre positif	inchangé	de 10 > 6 à 10 : 2 > 6 : 2, soit 5 > 3
Multiplier par un nombre négatif	CHANGE	de 5 > 3 à 5 × (-2) < 3 × (-2), soit -10 < -6
Diviser par un nombre négatif	CHANGE	de -10 < -6 à -10 : (-2) > -6 : (-2), soit 5 > 3
Échanger les deux membres	change	de 5 > 3 à 3 < 5

Deux interdits complètent le tableau. Ne multipliez jamais par zéro : 5 > 3 deviendrait 0 > 0, qui est faux. Et ne multipliez jamais par une expression contenant x dont le signe est inconnu, comme x ou x - 2 : tant que vous ignorez si elle est positive ou négative, vous ne pouvez pas décider s’il faut changer le sens. Pour tout le reste, la méthode est celle des équations du premier degré, y compris la suppression des dénominateurs : si le dénominateur commun vous bloque encore, revoyez d’abord les opérations sur les fractions.

Droite graduée et notation par intervalles

Une fois obtenu quelque chose comme x > -3, la réponse s’écrit de trois manières équivalentes, et un contrôle en demande presque toujours au moins deux.

Sur la droite graduée, on place la borne, on choisit le point (creux pour < et >, plein pour ≤ et ≥) et on hachure le côté qui contient les solutions. Un test rapide pour ne pas se tromper de côté : remplacer x par 0 dans l’inéquation de départ ; si l’inégalité est vérifiée, le côté hachuré est celui qui contient 0.

Dans la notation par intervalles, le crochet tourné vers l’intérieur inclut la borne, le crochet tourné vers l’extérieur l’exclut. Les symboles -∞ et +∞ ne sont jamais atteints, donc le crochet reste ouvert de leur côté : on écrit ]-3 ; +∞[ et jamais [-3 ; +∞].

Inéquations toujours vraies et inéquations sans solution

Il arrive que les termes en x s’éliminent et qu’il ne reste qu’une comparaison entre nombres. La réponse n’est alors pas une valeur, mais une description de l’ensemble.

Dans 4(x - 1) < 4x + 3 on aboutit à 0x < 7. Zéro est inférieur à 7 quoi qu’il arrive : tous les réels conviennent, donc S = ℝ. Dans 5(x + 2) ≤ 5x + 3 on aboutit à 0x ≤ -7, et zéro n’atteint jamais -7 : aucune valeur ne convient, donc S = ∅. Il ne faut pas confondre l’ensemble vide avec la solution x = 0, qui est un nombre tout à fait ordinaire.

Les erreurs les plus fréquentes

• Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif. De -3x ≥ 15 on tire x ≤ -5, jamais x ≥ -5. C’est l’erreur qui coûte le plus de points.
• Changer le sens simplement parce qu’un terme a traversé. Dans 5x - 8 ≥ 8x + 7, faire passer 8x à gauche change le signe du terme, qui devient -8x, mais le ≥ reste un ≥.
• Confondre point creux et point plein. Avec < et > la borne est exclue, avec ≤ et ≥ elle est incluse. Moyen mnémotechnique : la barre sous le symbole est celle qui remplit le point.
• Écrire la borne du mauvais côté de l’intervalle. La solution x > 5 s’écrit ]5 ; +∞[ et non ]+∞ ; 5[ : un intervalle se lit de la plus petite valeur vers la plus grande.
• Multiplier les deux membres par une expression contenant x. Multiplier par x ou par x - 2 est interdit tant que le signe de cette expression n’est pas connu, puisqu’on ne sait pas s’il faut changer le sens.
• Ne pas vérifier. Tester une valeur intérieure et une valeur extérieure à l’ensemble trouvé prend quelques secondes et repère immédiatement un sens inversé du mauvais côté.

Dès que l’inconnue apparaît au carré, la méthode change : il faut alors factoriser et passer par le tableau de signes, en s’appuyant sur les équations du second degré. Beaucoup de problèmes de budget, de remise maximale ou de seuil de rentabilité deviennent quant à eux des inéquations du premier degré dès que l’énoncé est traduit, comme dans beaucoup d’exercices sur les pourcentages.

Dans les exercices ci-dessous la difficulté augmente volontairement : on commence par un coefficient positif, on rencontre le premier changement de sens, puis l’inconnue dans les deux membres, les parenthèses et les dénominateurs, la représentation sur droite graduée et en intervalle, les deux cas limites, et on termine par un problème de budget à traduire en inéquation.