Matemática

Inequações do 1º grau: 8 exercícios resolvidos

Multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade. Regra explicada, tabelas dos símbolos e 8 exercícios resolvidos passo a passo.

Recomendado para: 9º ano

Uma inequação do 1º grau se resolve quase como uma equação, mas existe uma diferença que decide o exercício inteiro: multiplicar ou dividir os dois membros por um número negativo inverte o sinal da desigualdade. Quem esquece disso faz todas as contas certas e mesmo assim entrega a resposta errada, porque o conjunto solução fica virado para o lado oposto.

A regra da inversão, na prática

Comece por uma desigualdade numérica verdadeira: 5 > 3. Multiplique os dois lados por -2 e veja o que acontece com os resultados: -10 e -6. Como -10 está mais à esquerda na reta numérica, a relação correta agora é -10 < -6. Ou seja, o sinal virou.

Isso não é um capricho da matemática: multiplicar por um número negativo espelha a reta numérica em torno do zero, e quem estava à direita passa a estar à esquerda. É exatamente por isso que -4x < -12 vira x > 3 e não x < 3.

A regra prática que resolve todos os exercícios é curta: conte quantas vezes você dividiu ou multiplicou por um número negativo. Se foi uma vez, o sinal vira uma vez. Se você só somou, subtraiu ou trabalhou com positivos, o sinal fica exatamente como estava.

Os quatro símbolos de desigualdade

SímboloComo se lêConjunto solução (exemplo com 4)Na reta numéricaExemplo de inequação
<menor queS = {x ∈ ℝ tal que x < 4}, ou ]-∞, 4[bolinha aberta no 4, pinta à esquerdax + 1 < 5
>maior queS = {x ∈ ℝ tal que x > 4}, ou ]4, +∞[bolinha aberta no 4, pinta à direitax - 2 > 2
≤menor ou igual aS = {x ∈ ℝ tal que x ≤ 4}, ou ]-∞, 4]bolinha cheia no 4, pinta à esquerda2x ≤ 8
≥maior ou igual aS = {x ∈ ℝ tal que x ≥ 4}, ou [4, +∞[bolinha cheia no 4, pinta à direita3x ≥ 12

Repare que o número 4 aparece sempre do mesmo lado do intervalo, e o que muda é apenas o formato do colchete e o lado pintado da reta.

O que se pode fazer nos dois membros

OperaçãoO que acontece com o sinalExemplo numérico
Somar o mesmo númeronão mudade 5 > 3 para 5 + 4 > 3 + 4, ou seja 9 > 7
Subtrair o mesmo númeronão mudade 5 > 3 para 5 - 8 > 3 - 8, ou seja -3 > -5
Multiplicar por um número positivonão mudade 5 > 3 para 5 · 2 > 3 · 2, ou seja 10 > 6
Dividir por um número positivonão mudade 10 > 6 para 10 : 2 > 6 : 2, ou seja 5 > 3
Multiplicar por um número negativoINVERTEde 5 > 3 para 5 · (-2) < 3 · (-2), ou seja -10 < -6
Dividir por um número negativoINVERTEde -10 < -6 para -10 : (-2) > -6 : (-2), ou seja 5 > 3
Trocar os dois membros de lugarinvertede 5 > 3 para 3 < 5

Duas proibições completam a tabela. Nunca multiplique por zero: 5 > 3 viraria 0 > 0, que é falso. E nunca multiplique por uma expressão com x de sinal desconhecido, como x ou x - 2: você não sabe se ela é positiva ou negativa, portanto não sabe se deve inverter o sinal ou não. Todo o resto do método é igual ao das equações do 1º grau, inclusive a eliminação de denominadores: se o cálculo do mmc ainda travar você, vale rever antes as operações com frações.

Reta numérica e notação de intervalo

Depois de encontrar algo como x > 3, a resposta pode ser escrita de três formas equivalentes, e a prova pede quase sempre pelo menos duas.

Na reta numérica, marque o número 3, escolha a bolinha (aberta para < e >, cheia para ≤ e ≥) e pinte o lado que contém os valores que servem. Um teste rápido: pegue o zero, substitua na inequação original e veja se ele torna a sentença verdadeira. Se sim, o lado pintado é o que contém o zero.

Na notação de intervalo, o colchete virado para dentro inclui o extremo e o virado para fora exclui. Os símbolos -∞ e +∞ nunca são incluídos, então do lado do infinito o colchete é sempre aberto: ]3, +∞[ e nunca [3, +∞].

Sempre verdadeiras e nunca verificadas

Às vezes os termos com x se cancelam e sobra uma sentença só de números. Aí a resposta não é um valor, e sim uma descrição do conjunto.

Em 2(x - 3) < 2x + 5 você chega a 0x < 11. Como zero é menor que 11 aconteça o que acontecer, qualquer número real serve: S = ℝ. Já em 3(x + 1) ≥ 3x + 7 você chega a 0x ≥ 4, e zero nunca alcança o 4: nenhum valor serve, S = ∅. Não confunda o conjunto vazio com a solução x = 0, que é um número perfeitamente normal.

Erros mais comuns

  • Esquecer de inverter o sinal ao dividir por um número negativo. Em -4x < -12 a resposta é x > 3, não x < 3. Esse é o erro que mais derruba nota na prova.
  • Inverter o sinal só porque um termo mudou de membro. Em 2x + 9 < 6x - 3, ao passar o 6x para a esquerda muda o sinal do termo, que vira -6x, mas o < continua sendo <.
  • Confundir bolinha aberta com bolinha cheia. Com < e > o extremo fica de fora, com ≤ e ≥ ele entra. Um jeito de lembrar: o risquinho embaixo do sinal é o mesmo que pinta a bolinha.
  • Escrever o intervalo com o extremo do lado errado. A solução x > 4 é ]4, +∞[ e não ]+∞, 4[: o intervalo é sempre escrito da esquerda para a direita, do menor para o maior.
  • Multiplicar os dois membros por uma expressão com x. Multiplicar por x, ou por x - 2, é proibido enquanto você não souber o sinal dessa expressão, porque não dá para decidir se o sinal de desigualdade inverte.
  • Parar antes de testar. Substituir um valor de dentro e um de fora do conjunto encontrado leva poucos segundos e pega na hora um sinal invertido para o lado errado.

Assim que a incógnita aparecer ao quadrado o método muda: o estudo do sinal passa pela fatoração e pela fórmula das equações do 2º grau. E muitos problemas de meta de faturamento e de desconto máximo viram inequações do 1º grau assim que o enunciado é traduzido, como acontece em muitos problemas de porcentagem.

Nos exercícios abaixo a dificuldade cresce de propósito: começamos com um coeficiente positivo, passamos pelo primeiro caso de inversão, depois pela incógnita nos dois membros, por parênteses e denominadores, chegamos à representação na reta e em intervalo, aos dois casos limite e terminamos com um problema de média de notas que precisa ser traduzido em inequação.

Exercícios resolvidos

1. Resolva: 3x - 12 > 0 base

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  1. Passo o termo independente para o segundo membro trocando o sinal: 3x > 12.
  2. O coeficiente de x é 3, um número positivo: divido os dois membros por 3 e o sinal de desigualdade continua o mesmo.
  3. x > 4, ou seja S = {x ∈ ℝ tal que x > 4}, que em notação de intervalo é ]4, +∞[.
  4. Verificação com um valor de dentro, x = 5: 3 · 5 - 12 = 3, e 3 > 0 é verdadeiro.
  5. Verificação com um valor de fora, x = 4: 3 · 4 - 12 = 0, e 0 > 0 é falso. Confere, o 4 não entra.

Resposta: x > 4, ou seja S = ]4, +∞[

2. Resolva: -2x + 10 ≥ 0 base

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  1. Passo o 10 para o segundo membro trocando o sinal: -2x ≥ -10.
  2. Agora preciso dividir por -2, que é negativo: divido os dois membros e INVERTO o sinal de desigualdade, que passa de ≥ para ≤.
  3. x ≤ 5, ou seja S = {x ∈ ℝ tal que x ≤ 5}, em intervalo ]-∞, 5].
  4. Verificação com x = 5, valor de dentro: -2 · 5 + 10 = 0, e 0 ≥ 0 é verdadeiro.
  5. Verificação com x = 6, valor de fora: -2 · 6 + 10 = -2, e -2 ≥ 0 é falso. Confere.

Resposta: x ≤ 5, ou seja S = ]-∞, 5]

3. Resolva: 2x + 9 < 6x - 3 base

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  1. Levo os termos com x para o primeiro membro e os números para o segundo, trocando o sinal de quem atravessa a desigualdade: 2x - 6x < -3 - 9.
  2. Reduzo os termos semelhantes: -4x < -12. Atenção: passar um termo de um membro para o outro troca o sinal DO TERMO, não o sinal de desigualdade, que continua sendo <.
  3. Agora sim divido por -4, que é negativo, e por isso inverto o sinal: x > 3.
  4. S = {x ∈ ℝ tal que x > 3}, em intervalo ]3, +∞[.
  5. Verificação com x = 4, valor de dentro: 2 · 4 + 9 = 17 e 6 · 4 - 3 = 21, e 17 < 21 é verdadeiro.
  6. Verificação com x = 3, valor de fora: 15 < 15 é falso. Confere.

Resposta: x > 3, ou seja S = ]3, +∞[

4. Resolva: 3(x - 2) > 5(x + 1) - 3 intermedio

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  1. Aplico a distributiva nos dois membros: 3x - 6 > 5x + 5 - 3.
  2. Reduzo o segundo membro: 3x - 6 > 5x + 2.
  3. Separo incógnitas e números: 3x - 5x > 2 + 6, ou seja -2x > 8.
  4. Divido por -2, que é negativo, e inverto o sinal: x < -4.
  5. S = {x ∈ ℝ tal que x < -4}, em intervalo ]-∞, -4[.
  6. Verificação com x = -5, valor de dentro: 3 · (-5 - 2) = -21 e 5 · (-5 + 1) - 3 = -23, e -21 > -23 é verdadeiro.
  7. Verificação com x = -4, valor de fora: -18 > -18 é falso. Confere.

Resposta: x < -4, ou seja S = ]-∞, -4[

5. Resolva: (x - 4)/2 - (2x + 1)/3 ≥ -3 intermedio

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  1. O mínimo múltiplo comum dos denominadores 2 e 3 é 6.
  2. Multiplico TODOS os termos por 6, inclusive o -3 do segundo membro. Como 6 é positivo, o sinal de desigualdade não muda: 3(x - 4) - 2(2x + 1) ≥ -18.
  3. Aplico a distributiva com cuidado no menos na frente do parêntese: 3x - 12 - 4x - 2 ≥ -18.
  4. Reduzo o primeiro membro: -x - 14 ≥ -18, logo -x ≥ -4.
  5. Divido por -1, que é negativo, e inverto o sinal: x ≤ 4.
  6. S = {x ∈ ℝ tal que x ≤ 4}, em intervalo ]-∞, 4].
  7. Verificação com x = 4, valor de dentro: (4 - 4)/2 - (8 + 1)/3 = 0 - 3 = -3, e -3 ≥ -3 é verdadeiro.
  8. Verificação com x = 5, valor de fora: (5 - 4)/2 - (10 + 1)/3 = 1/2 - 11/3 = -19/6, que é aproximadamente -3,17 e não é maior nem igual a -3. Confere.

Resposta: x ≤ 4, ou seja S = ]-∞, 4]

6. Resolva 6x + 5 ≥ 2, represente o conjunto solução na reta numérica e escreva a resposta em notação de intervalo. intermedio

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  1. Passo o 5 para o segundo membro: 6x ≥ -3.
  2. Divido por 6, que é positivo, então o sinal de desigualdade fica igual: x ≥ -3/6, que simplificado dá x ≥ -1/2, ou seja x ≥ -0,5.
  3. Na reta numérica marco o ponto -0,5 com uma bolinha cheia, porque o sinal é ≥ e o extremo faz parte da solução, e pinto toda a semirreta à direita.
  4. Em notação de intervalo: S = [-1/2, +∞[. O colchete virado para dentro indica extremo incluído, e do lado do infinito o colchete é sempre virado para fora.
  5. Verificação com x = -0,5, valor de dentro: 6 · (-0,5) + 5 = -3 + 5 = 2, e 2 ≥ 2 é verdadeiro.
  6. Verificação com x = -1, valor de fora: 6 · (-1) + 5 = -1, e -1 ≥ 2 é falso. Confere.

Resposta: x ≥ -1/2, ou seja S = [-1/2, +∞[

7. Resolva e classifique cada uma. a) 2(x - 3) < 2x + 5; b) 3(x + 1) ≥ 3x + 7. avanzato

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  1. a) Aplico a distributiva: 2x - 6 < 2x + 5.
  2. Separo: 2x - 2x < 5 + 6, ou seja 0x < 11. Os termos com x se cancelaram, então não sobrou coeficiente para dividir.
  3. Zero vezes qualquer número dá zero, e 0 < 11 é verdadeiro sempre: a inequação vale para todo número real, então S = ℝ.
  4. b) Aplico a distributiva: 3x + 3 ≥ 3x + 7. Separo: 3x - 3x ≥ 7 - 3, ou seja 0x ≥ 4.
  5. Zero nunca é maior nem igual a 4: nenhum valor serve e o conjunto solução é vazio, S = ∅.
  6. Verificação de a) com x = 0: 2 · (0 - 3) = -6 e 2 · 0 + 5 = 5, e -6 < 5 é verdadeiro. Com x = 100: 194 < 205, verdadeiro também.
  7. Verificação de b) com x = 0: 3 e 7, e 3 ≥ 7 é falso. Com x = 100: 303 ≥ 307 é falso. Confere, não existe valor que sirva.

Resposta: a) sempre verdadeira, S = ℝ; b) nunca verificada, S = ∅

8. Nas duas primeiras avaliações de matemática Bianca tirou 6,5 e 5,5. Que nota ela precisa tirar na terceira avaliação para que a média das três fique maior ou igual a 7,0? As notas vão de 0 a 10. avanzato

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  1. Escolho a incógnita: seja n a nota da terceira avaliação.
  2. Traduzo o enunciado em inequação, lembrando que média das três é a soma dividida por 3: (6,5 + 5,5 + n)/3 ≥ 7.
  3. Somo o que já é conhecido: (12 + n)/3 ≥ 7.
  4. Multiplico os dois membros por 3. Como 3 é positivo, o sinal não muda: 12 + n ≥ 21.
  5. Passo o 12 para o segundo membro: n ≥ 9.
  6. Verificação com n = 9, valor de dentro: a média fica (6,5 + 5,5 + 9)/3 = 21/3 = 7, e 7 ≥ 7 é verdadeiro.
  7. Verificação com n = 8,9, valor de fora: a média fica 20,9/3 ≈ 6,97, que não chega a 7. Confere.
  8. Checagem de sentido: como a nota máxima é 10, dentro do contexto do problema o conjunto solução é 9 ≤ n ≤ 10. É possível, mas exige quase o máximo.

Resposta: n ≥ 9; como a nota máxima é 10, na prática 9 ≤ n ≤ 10

Perguntas frequentes

Quando inverte o sinal da desigualdade?

Só em um caso: quando você multiplica ou divide os dois membros por um número negativo. Some ou subtraia quanto quiser, multiplique ou divida por positivos: o sinal fica igual. Mas ao dividir -4x < -12 por -4 o sinal vira e o resultado é x > 3. Passar um termo de um membro para o outro não conta como multiplicar por negativo: nesse caso muda o sinal do termo, e não o sinal de desigualdade.

Como resolver inequação do 1º grau passo a passo?

São quatro passos. Primeiro simplifique cada membro com a distributiva e, se houver frações, multiplique todos os termos pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Depois leve os termos com x para o primeiro membro e os números para o segundo, trocando o sinal de cada termo que atravessa. Em seguida divida pelo coeficiente de x, invertendo o sinal de desigualdade se esse coeficiente for negativo. Por fim escreva o conjunto solução e teste um valor de dentro e um de fora.

Qual a diferença entre bolinha aberta e bolinha fechada na reta numérica?

A bolinha aberta, ou vazia, é usada com < e com >: o extremo não faz parte da solução. A bolinha cheia é usada com ≤ e com ≥: o extremo entra. Em x > 4 você marca 4 com bolinha aberta e pinta o que está à direita; em x ≥ 4 a mesma marca vira bolinha cheia. Na notação de intervalo isso corresponde a ]4, +∞[ com colchete virado para fora e a [4, +∞[ com colchete virado para dentro.

Como escrever o conjunto solução de uma inequação em intervalo?

O extremo incluído leva colchete virado para dentro, o extremo excluído leva colchete virado para fora, e o lado do infinito é sempre aberto. Assim x < 4 vira ]-∞, 4[, x ≤ 4 vira ]-∞, 4], x > 4 vira ]4, +∞[ e x ≥ 4 vira [4, +∞[. O erro mais comum é escrever o número do lado errado: quem tem x maior que 4 escreve o 4 à esquerda, porque o intervalo cresce da esquerda para a direita.

Quando a inequação do 1º grau não tem solução?

Quando, depois de reduzir, os termos com x se cancelam e sobra algo impossível como 0x ≥ 4. Zero nunca chega a 4, então nenhum valor serve e o conjunto solução é vazio, S = ∅. O caso oposto é 0x < 11: como zero é sempre menor que 11, qualquer número real serve e S = ℝ. Nos dois casos não existe coeficiente para dividir, então a resposta não é um número e sim a descrição do conjunto.