Matemáticas
Inecuaciones de primer grado: 5 ejercicios resueltos
Cómo se resuelve una inecuación de primer grado y cuándo cambia el sentido de la desigualdad, con cinco ejercicios resueltos.
Recomendado para: 2º ESO · 3º ESO
Una inecuación de primer grado de la forma ax + b > 0 (o con <, >=, <=) se resuelve como una ecuación, despejando la x, con una regla adicional: si multiplicas o divides por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. La solución no es un único número sino un intervalo.
Cómo se resuelve, paso a paso
- Quita paréntesis y denominadores. Multiplica todo por el mínimo común múltiplo si hay fracciones.
- Agrupa: los términos con x en un miembro, los números en el otro.
- Divide por el coeficiente de la x.
- Comprueba el signo de ese coeficiente antes de escribir la solución.
Cuándo cambia el sentido de la desigualdad
Solo en un caso: cuando multiplicas o divides los dos miembros por un número negativo. Entonces < pasa a >, y >= pasa a <=.
La razón se ve con números. 2 < 5 es cierto, pero si multiplicas ambos lados por -1 obtienes -2 y -5, y ahora -2 > -5. Multiplicar por un negativo da la vuelta al orden de la recta numérica, así que el signo tiene que darse la vuelta también.
Cuidado con el error más frecuente: pasar un término de un miembro a otro no cambia el sentido. En 5 - 2x < 1 el paso -2x < -4 conserva el signo original; el sentido se invierte solo en el paso siguiente, al dividir entre -2. El tercer ejercicio está puesto justo para fijar esta diferencia.
Las reglas de las ecuaciones de primer grado que se siguen aplicando
Una inecuación hereda casi todas las reglas de una ecuación de primer grado, y conviene tenerlas claras porque son las que se usan en los tres primeros pasos:
- Se puede sumar o restar el mismo número en los dos miembros sin que cambie nada. Es lo que justifica “pasar un término al otro lado cambiándole el signo”.
- Se puede multiplicar o dividir por el mismo número positivo sin que cambie nada. Es lo que permite quitar denominadores multiplicando por el mcm.
- Los términos semejantes se agrupan y se suman antes de despejar.
- La x se despeja al final, dividiendo entre su coeficiente.
La única regla que la inecuación añade es la del punto 2 en negativo: multiplicar o dividir por un número negativo sí cambia algo, y hay que invertir el sentido de la desigualdad. Todo lo demás funciona exactamente igual que en una ecuación.
La solución es un intervalo
A diferencia de una ecuación de primer grado, que tiene una única solución, aquí la respuesta son infinitos valores:
| Resultado | Intervalo | El extremo |
|---|---|---|
| x > 2 | (2, +∞) | queda fuera |
| x >= 3 | [3, +∞) | entra |
| x < -1 | (-∞, -1) | queda fuera |
| x <= 0 | (-∞, 0] | entra |
Para comprobar que no te has equivocado, sustituye un valor cualquiera del intervalo en la inecuación original: si la desigualdad se cumple, la solución es correcta. Cada uno de los cinco ejercicios de abajo está verificado de esta forma.
Ejercicios resueltos
1. Resuelve: 2x + 4 > 0 base
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- Paso el término independiente a la derecha: 2x > -4.
- Divido por 2 (positivo, el sentido se mantiene): x > -2.
Resultado: x > -2
2. Resuelve: 3x - 9 <= 0 base
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- Paso -9 a la derecha: 3x <= 9.
- Divido por 3 (positivo): x <= 3.
Resultado: x <= 3
3. Resuelve: 5 - 2x < 1 intermedio
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- Paso 5 a la derecha: -2x < -4. Atención: aquí el sentido NO cambia, solo he movido un término.
- Divido por -2: al ser NEGATIVO, ahora sí se invierte el sentido -> x > 2.
Resultado: x > 2
4. Resuelve: 4(x - 1) >= 2x + 2 intermedio
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- Desarrollo: 4x - 4 >= 2x + 2.
- Agrupo términos: 2x >= 6.
- Divido por 2: x >= 3.
Resultado: x >= 3
5. Resuelve: (x + 1)/2 - (x - 2)/3 > 1 avanzato
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- Multiplico todo por 6: 3(x + 1) - 2(x - 2) > 6.
- Desarrollo: 3x + 3 - 2x + 4 > 6, es decir x + 7 > 6.
- Paso 7 a la derecha: x > -1.
Resultado: x > -1
Preguntas frecuentes
¿Cuándo cambia el sentido de una inecuación?
Solo en un caso: cuando multiplicas o divides ambos miembros por un número negativo. Entonces el signo de desigualdad se invierte (< pasa a >, y al revés). Pasar un término de un miembro a otro NO cambia el sentido, y ese es el error más frecuente.
¿Cómo se resuelve una inecuación de primer grado?
Con los mismos pasos que una ecuación: quitas paréntesis y denominadores, agrupas los términos con x en un miembro y los números en el otro, y divides por el coeficiente de la x. El único paso extra es comprobar el signo de ese coeficiente: si es negativo, inviertes el sentido de la desigualdad.
¿La solución de una inecuación de primer grado es un número?
No, es un intervalo: infinitos valores. Por ejemplo x > 2 indica todos los números mayores que 2, y se escribe como el intervalo (2, +∞). Si la desigualdad no es estricta, como x >= 3, el extremo entra en la solución y el corchete se cierra: [3, +∞).
¿En qué se diferencia de una ecuación de primer grado?
El método para despejar la x es el mismo, pero la ecuación tiene una única solución mientras que la inecuación tiene un intervalo, y hay que recordar la regla del cambio de sentido.