Lineare Ungleichungen: 8 Aufgaben mit Lösungen

Eine lineare Ungleichung löst man fast genauso wie eine lineare Gleichung, mit einem Unterschied, an dem die ganze Aufgabe hängt: wer beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt, muss das Ungleichheitszeichen umdrehen. Wer das vergisst, rechnet jeden einzelnen Schritt richtig und gibt trotzdem eine Lösungsmenge ab, die in die falsche Richtung zeigt.

Die Regel zum Umdrehen

Beginnen wir mit einer wahren Zahlenaussage: 5 > 3. Multipliziert man beide Seiten mit -2, entstehen die Werte -10 und -6. Da -10 auf dem Zahlenstrahl weiter links liegt, lautet die richtige Beziehung jetzt -10 < -6. Das Zeichen hat sich also umgedreht.

Das ist keine willkürliche Vereinbarung: die Multiplikation mit einer negativen Zahl spiegelt den Zahlenstrahl an der Null, und was vorher rechts lag, liegt danach links. Genau deshalb wird aus -2x > 22 die Lösung x < -11 und nicht x > -11.

Die praktische Merkregel ist kurz: zähle, wie oft du mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl geteilt hast. Einmal bedeutet einmal umdrehen. Wer nur addiert, subtrahiert oder mit positiven Zahlen gerechnet hat, lässt das Zeichen unverändert stehen.

Die vier Ungleichheitszeichen

Zeichen	Sprechweise	Lösungsmenge (Beispiel mit 4)	Am Zahlenstrahl	Beispielungleichung
<	kleiner als	L = {x ∈ ℝ mit x < 4} oder ]-∞; 4[	offener Kreis bei 4, links einfärben	x + 2 < 6
>	größer als	L = {x ∈ ℝ mit x > 4} oder ]4; ∞[	offener Kreis bei 4, rechts einfärben	x - 1 > 3
≤	kleiner oder gleich	L = {x ∈ ℝ mit x ≤ 4} oder ]-∞; 4]	ausgefüllter Punkt bei 4, links einfärben	2x ≤ 8
≥	größer oder gleich	L = {x ∈ ℝ mit x ≥ 4} oder [4; ∞[	ausgefüllter Punkt bei 4, rechts einfärben	3x ≥ 12

Die Zahl 4 steht im Intervall immer an derselben Stelle: nur die Klammer und die eingefärbte Seite ändern sich.

Welche Umformungen erlaubt sind

Umformung	Wirkung auf das Zeichen	Zahlenbeispiel
Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren	bleibt gleich	aus 5 > 3 wird 5 + 4 > 3 + 4, also 9 > 7
Auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren	bleibt gleich	aus 5 > 3 wird 5 - 8 > 3 - 8, also -3 > -5
Mit einer positiven Zahl multiplizieren	bleibt gleich	aus 5 > 3 wird 5 · 2 > 3 · 2, also 10 > 6
Durch eine positive Zahl teilen	bleibt gleich	aus 10 > 6 wird 10 : 2 > 6 : 2, also 5 > 3
Mit einer negativen Zahl multiplizieren	DREHT SICH UM	aus 5 > 3 wird 5 · (-2) < 3 · (-2), also -10 < -6
Durch eine negative Zahl teilen	DREHT SICH UM	aus -10 < -6 wird -10 : (-2) > -6 : (-2), also 5 > 3
Beide Seiten vertauschen	dreht sich um	aus 5 > 3 wird 3 < 5

Zwei Verbote gehören noch dazu. Niemals mit null multiplizieren: aus 5 > 3 würde 0 > 0, und das ist falsch. Und niemals mit einem Term multiplizieren, der x enthält und dessen Vorzeichen unbekannt ist, etwa x oder x - 2: solange man nicht weiß, ob dieser Term positiv oder negativ ist, kann man nicht entscheiden, ob das Zeichen umgedreht werden muss. Alles Übrige entspricht dem Verfahren bei linearen Gleichungen, einschließlich des Beseitigens der Nenner: wer beim Hauptnenner noch unsicher ist, wiederholt vorher die Bruchrechnung.

Zahlenstrahl und Intervallschreibweise

Steht am Ende etwas wie x > 3 da, lässt sich die Antwort auf drei gleichwertige Arten aufschreiben, und in einer Klassenarbeit werden meist mindestens zwei davon verlangt.

Am Zahlenstrahl markiert man die Randstelle, wählt die Markierung (offener Kreis bei < und >, ausgefüllter Punkt bei ≤ und ≥) und färbt die Seite ein, auf der die Lösungen liegen. Ein schneller Test gegen das Verwechseln der Seiten: die Null in die Ausgangsungleichung einsetzen. Ist die Aussage wahr, gehört die Null zur eingefärbten Seite.

In der Intervallschreibweise schließt die nach innen gedrehte Klammer die Randstelle ein, die nach außen gedrehte schließt sie aus. Die Symbole -∞ und ∞ werden nie erreicht, deshalb bleibt die Klammer auf ihrer Seite immer offen: man schreibt ]3; ∞[ und niemals [3; ∞].

Immer wahre und nie erfüllte Ungleichungen

Manchmal heben sich die Terme mit x auf und übrig bleibt nur ein Vergleich zwischen Zahlen. Dann ist die Antwort kein Wert, sondern eine Beschreibung der Menge.

Bei 3(x + 4) > 3x - 2 landet man bei 0x > -14. Null ist in jedem Fall größer als -14, also erfüllt jede reelle Zahl die Ungleichung: L = ℝ. Bei 6(x - 1) ≥ 6x + 5 landet man bei 0x ≥ 11, und null erreicht die 11 nie: kein Wert passt, also L = { }. Die leere Menge darf man nicht mit der Lösung x = 0 verwechseln, denn das ist eine ganz gewöhnliche Zahl.

Die häufigsten Fehler

• Das Umdrehen beim Teilen durch eine negative Zahl vergessen. Aus -2x > 22 folgt x < -11 und nicht x > -11. Dieser Fehler kostet in Klassenarbeiten die meisten Punkte.
• Das Zeichen umdrehen, nur weil ein Term die Seite gewechselt hat. In 9x - 7 ≤ 3x + 17 wechselt beim Verschieben von 3x das Vorzeichen des Terms, aus ≤ wird aber kein ≥.
• Offenen Kreis und ausgefüllten Punkt verwechseln. Bei < und > bleibt die Randstelle draußen, bei ≤ und ≥ gehört sie dazu. Eselsbrücke: der Strich unter dem Zeichen ist derselbe, der den Punkt ausfüllt.
• Die Randstelle auf der falschen Seite des Intervalls notieren. Die Lösung x > 4 heißt ]4; ∞[ und nicht ]∞; 4[: ein Intervall wird immer vom kleineren zum größeren Wert geschrieben.
• Beide Seiten mit einem Term multiplizieren, der x enthält. Die Multiplikation mit x oder mit x - 2 ist verboten, solange das Vorzeichen dieses Terms unbekannt ist, denn dann lässt sich nicht entscheiden, ob das Zeichen umgedreht werden muss.
• Die Probe weglassen. Einen Wert aus der Lösungsmenge und einen außerhalb einzusetzen dauert wenige Sekunden und deckt ein falsch herum stehendes Zeichen sofort auf.

Sobald die Variable im Quadrat auftaucht, greift dieses Verfahren nicht mehr: dann führt der Weg über die Faktorisierung und eine Vorzeichentabelle, aufbauend auf den quadratischen Gleichungen. Viele Sachaufgaben zu Budgetgrenzen und maximalen Rabatten werden dagegen zu linearen Ungleichungen, sobald man den Text übersetzt, ganz ähnlich wie bei vielen Aufgaben zur Prozentrechnung.

In den Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit bewusst an: Es beginnt mit einem positiven Koeffizienten, führt über den ersten Fall mit Umdrehen zur Variablen auf beiden Seiten, zu Klammern und Brüchen, zur Darstellung am Zahlenstrahl und als Intervall, zu den beiden Grenzfällen und endet mit einer Sachaufgabe zum Notendurchschnitt, die zuerst in eine Ungleichung übersetzt werden muss.