Mathématiques

Équations du premier degré : 8 exercices corrigés

Pour résoudre ax + b = 0, on isole l'inconnue puis on divise par le coefficient de x. Méthode en 3 étapes, tableau des cas et 8 exercices corrigés pas à pas.

Recommandé pour: 4e · 3e

Une équation du premier degré de la forme ax + b = 0, avec a non nul, se résout en isolant l’inconnue : on regroupe les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x. Quand a n’est pas nul, la solution est unique.

Les deux règles d’équivalence

Toute la méthode repose sur deux règles qui permettent de transformer l’équation sans changer ses solutions.

Règle	Ce qu’elle autorise	Conséquence pratique
Additive	Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres	Le raccourci du changement de signe quand un terme change de côté
Multiplicative	Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul	Faire disparaître les dénominateurs, puis diviser par le coefficient de x

La restriction de la seconde règle est essentielle : on ne divise jamais par zéro ni par une expression qui pourrait être nulle. C’est pour cela que ax = b ne se résout en divisant par a que si a n’est pas nul.

La méthode en trois étapes

1. Simplifier chaque membre. On développe les parenthèses et on réduit les termes semblables. S’il y a des fractions, on multiplie tous les termes par le plus petit dénominateur commun : si cette étape coince encore, il vaut mieux revoir d’abord les opérations sur les fractions.

2. Regrouper. Les termes en x passent dans le premier membre, les nombres dans le second, chacun en changeant de signe.

3. Diviser par le coefficient. L’équation s’écrit alors ax = b et la solution est x = b/a.

Les trois cas possibles

Après réduction, toute équation du premier degré s’écrit ax = b. La suite ne dépend que des valeurs de a et de b.

Forme finale	Exemple	Nombre de solutions	Ensemble des solutions
ax = b, avec a ≠ 0	3x = 12	Une seule	x = 4
0x = b, avec b ≠ 0	0x = 11	Aucune	Ensemble vide
0x = 0	0x = 0	Une infinité	Tous les réels

Les erreurs les plus fréquentes

Oublier de changer le signe quand un terme change de membre. Dans 5x - 3 = 2x + 9, le -3 devient +3 de l’autre côté.
Ne diviser qu’un seul terme. Si 3x + 6 = 12, on ne peut pas diviser seulement 3x par 3 : la division porte sur les deux membres entiers.
Se tromper de signe après une parenthèse précédée d’un moins. -2(x - 3) donne -2x + 6, pas -2x - 6.
Ne multiplier que les fractions par le dénominateur commun. Dans (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1, le 1 doit lui aussi être multiplié par 10.
Confondre x = 0 et absence de solution. Si l’on arrive à 3x = 0, la solution est x = 0 et elle est parfaitement valable.
S’arrêter avant la vérification. Remplacer la valeur trouvée dans l’équation de départ prend quelques secondes et détecte presque toutes les erreurs de signe.

Dès que l’inconnue passe au carré, la méthode change entièrement et il faut passer par le discriminant des équations du second degré. Beaucoup de problèmes de remise ou de hausse deviennent d’ailleurs des équations du premier degré une fois l’énoncé traduit, comme dans les exercices sur les pourcentages.

Dans les exercices ci-dessous la méthode ne change pas, mais la difficulté augmente : on part d’équations immédiates, on passe par les parenthèses, les fractions et les décimaux, on classe ensuite les équations selon leur nombre de solutions et on termine par un problème concret à mettre en équation.

Exercices corrigés

1. Résoudre : 2x + 6 = 0 base

Afficher la solution

Je fais passer le terme constant dans le second membre en changeant son signe : 2x = -6.
Je divise les deux membres par le coefficient de x : x = -6 : 2.
x = -3.
Vérification : 2 × (-3) + 6 = -6 + 6 = 0. C'est correct.

Réponse: x = -3

2. Résoudre : 5x - 3 = 2x + 9 base

Afficher la solution

Je regroupe les termes en x dans le premier membre et les nombres dans le second, en changeant le signe de chaque terme qui traverse le signe égal : 5x - 2x = 9 + 3.
Je réduis : 3x = 12.
Je divise par 3 : x = 4.
Vérification : 5 × 4 - 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17. Les deux membres sont égaux.

Réponse: x = 4

3. Résoudre : 3(x - 2) = 2(x + 4) base

Afficher la solution

Je développe les deux membres : 3x - 6 = 2x + 8.
Je regroupe : 3x - 2x = 8 + 6.
x = 14.
Vérification : 3 × (14 - 2) = 36 et 2 × (14 + 4) = 36. C'est correct.

Réponse: x = 14

4. Résoudre : (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 intermedio

Afficher la solution

Je cherche le plus petit dénominateur commun de 2 et 5 : c'est 10.
Je multiplie TOUS les termes par 10, y compris le 1 du second membre : 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10.
Attention au signe moins devant la parenthèse : 5x + 5 - 2x + 6 = 10.
Je réduis : 3x + 11 = 10, donc 3x = -1.
x = -1/3.
Vérification : (-1/3 + 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3 et (-1/3 - 3)/5 = (-10/3)/5 = -2/3. Donc 1/3 - (-2/3) = 1. C'est correct.

Réponse: x = -1/3

5. Résoudre : 0,4x + 1,2 = 0,1x + 3 intermedio

Afficher la solution

Je peux garder les décimaux ou multiplier tous les termes par 10 pour les faire disparaître. Je choisis la seconde méthode : 4x + 12 = x + 30.
Je regroupe : 4x - x = 30 - 12.
3x = 18, donc x = 6.
Vérification avec les décimaux d'origine : 0,4 × 6 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6 et 0,1 × 6 + 3 = 0,6 + 3 = 3,6. C'est correct.

Réponse: x = 6

6. Résoudre : (2x - 1)/3 - (x + 2)/4 = (x - 5)/6 intermedio

Afficher la solution

Le plus petit dénominateur commun de 3, 4 et 6 est 12.
Je multiplie tous les termes par 12 : 4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2(x - 5).
Je développe : 8x - 4 - 3x - 6 = 2x - 10.
Je réduis le premier membre : 5x - 10 = 2x - 10.
Je regroupe : 5x - 2x = -10 + 10, soit 3x = 0.
x = 0. Attention : x = 0 est une solution valable, ce n'est pas la même chose que dire que l'équation n'a pas de solution.
Vérification : (2 × 0 - 1)/3 - (0 + 2)/4 = -1/3 - 1/2 = -5/6 et (0 - 5)/6 = -5/6. C'est correct.

Réponse: x = 0

7. Pour chaque équation, dire si elle admet une seule solution, aucune solution ou une infinité de solutions, en justifiant. a) 2(x - 3) = 2x + 5 ; b) 3(x + 2) = 3x + 6 ; c) 7x - 4 = 3x + 8. avanzato

Afficher la solution

a) Je développe : 2x - 6 = 2x + 5. Je regroupe : 2x - 2x = 5 + 6, soit 0x = 11. Aucun nombre multiplié par zéro ne donne 11 : l'équation n'a aucune solution, l'ensemble des solutions est vide.
b) 3x + 6 = 3x + 6, donc 0x = 0. N'importe quel nombre convient : l'équation a une infinité de solutions, c'est une identité.
c) 7x - 3x = 8 + 4, donc 4x = 12 et x = 3. Une seule solution.
La règle générale : après réduction, toute équation du premier degré s'écrit ax = b. Si a n'est pas nul il y a une solution unique ; si a = 0 et b n'est pas nul il n'y a aucune solution ; si a = 0 et b = 0 tous les réels conviennent.

Réponse: a) aucune solution (0x = 11) ; b) une infinité de solutions (0x = 0) ; c) une seule solution, x = 3

8. Un taxi facture 4,50 € de prise en charge, puis 1,20 € par kilomètre parcouru. La course a coûté 22,50 €. Combien de kilomètres ont été parcourus ? Écrire l'équation avant de la résoudre. avanzato

Afficher la solution

Je choisis l'inconnue : soit k le nombre de kilomètres parcourus.
Je traduis l'énoncé avec le modèle partie fixe plus partie variable : 4,50 + 1,20k = 22,50.
J'isole le terme en k : 1,20k = 22,50 - 4,50 = 18.
Je divise : k = 18 : 1,20 = 15.
Vérification : 4,50 + 1,20 × 15 = 4,50 + 18 = 22,50. C'est correct.
Contrôle de cohérence : le résultat est un nombre de kilomètres positif, donc plausible. Un résultat négatif aurait signalé une erreur de mise en équation.

Réponse: 15 kilomètres

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré étape par étape ?

En trois étapes. D'abord on simplifie chaque membre : on développe les parenthèses et, s'il y a des fractions, on multiplie tous les termes par le plus petit dénominateur commun. Ensuite on regroupe les termes en x dans le premier membre et les nombres dans le second, en changeant le signe de chaque terme qui traverse le signe égal. Enfin on divise les deux membres par le coefficient de l'inconnue. Il reste à remplacer la valeur trouvée dans l'équation de départ pour vérifier.

Quand une équation du premier degré n'a-t-elle pas de solution ?

Quand, après réduction, on obtient 0x = b avec b non nul, par exemple 0x = 11. Aucun nombre multiplié par zéro ne donne un résultat non nul, donc l'ensemble des solutions est vide. Le cas inverse est 0x = 0 : n'importe quel nombre convient et l'équation admet une infinité de solutions. Attention à ne pas confondre ces deux situations avec x = 0, qui est une solution ordinaire.

Pourquoi change-t-on le signe quand on passe un terme de l'autre côté ?

Parce qu'en réalité on ne fait rien passer : on ajoute ou on soustrait la même quantité aux deux membres. Dans x + 5 = 12, soustraire 5 des deux côtés donne x + 5 - 5 = 12 - 5, soit x = 7. Le changement de signe n'est qu'une écriture abrégée de cette opération. C'est la première règle d'équivalence : ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres ne change pas les solutions.

Comment résoudre une équation avec des fractions ?

On cherche le plus petit dénominateur commun et on multiplie par lui tous les termes de l'équation, y compris ceux qui ne sont pas des fractions. Dans (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 le dénominateur commun est 10, et l'équation devient 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10. Les deux erreurs les plus fréquentes sont d'oublier de multiplier le terme du second membre et de ne pas changer les signes à l'intérieur d'une parenthèse précédée d'un moins.

Quelle est la différence entre une équation et une identité ?

Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue, une identité est vraie pour toutes. Dans 2x = 6, seul x = 3 convient. En revanche 3(x + 2) = 3x + 6 est vraie pour tout x, puisque le second membre n'est que le développement du premier : c'est une identité, et dans un exercice la bonne réponse est de dire que l'équation admet une infinité de solutions.