Proportions : 8 exercices corrigés et 4 propriétés

Une proportion est l’égalité de deux rapports : 3 : 12 = 5 : 20 se lit « 3 est à 12 comme 5 est à 20 » et c’est vrai parce que les deux rapports valent 0,25. Une seule règle résout tous les exercices : le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, ce qu’on appelle le produit en croix.

Le nom des termes

Dans une proportion a : b = c : d, les quatre nombres portent un nom précis, et les confondre est l’erreur qui fait dérailler tout le reste.

Terme	Position dans a : b = c : d	Nom
a	premier	antécédent du premier rapport, extrême
b	deuxième	conséquent du premier rapport, moyen
c	troisième	antécédent du second rapport, moyen
d	quatrième	conséquent du second rapport, extrême

Les extrêmes sont le premier et le dernier, les moyens sont ceux du milieu. D’où la propriété fondamentale : b · c = a · d. En écrivant la proportion sous forme de fractions a/b = c/d, on retrouve exactement le produit en croix.

Comment trouver le terme manquant

Inutile de retenir quatre formules différentes : le mécanisme est toujours le même, seule change la paire que l’on multiplie.

Inconnue	Formule	Exemple
premier terme (extrême)	x = (b · c) : d	x : 12 = 5 : 20 → x = (12 · 5) : 20 = 3
deuxième terme (moyen)	x = (a · d) : c	3 : x = 5 : 20 → x = (3 · 20) : 5 = 12
troisième terme (moyen)	x = (a · d) : b	3 : 12 = x : 20 → x = (3 · 20) : 12 = 5
quatrième terme (extrême)	x = (b · c) : a	3 : 12 = 5 : x → x = (12 · 5) : 3 = 20

En pratique : multiplie les deux termes connus du type opposé à l’inconnue, puis divise par le troisième terme connu. Le quatrième cas est celui de la quatrième proportionnelle, le plus fréquent dans les exercices.

Les quatre propriétés à retenir

Au-delà de la propriété fondamentale, quatre transformations laissent la proportion vraie. Elles servent surtout dans les problèmes qui donnent la somme ou la différence des termes.

Propriété	De a : b = c : d on obtient	Quand l’utiliser
inverser	b : a = d : c	pour ramener l’inconnue au numérateur
permuter les moyens	a : c = b : d	pour comparer des grandeurs de même nature
composer	(a + b) : b = (c + d) : d	quand l’énoncé donne la somme
décomposer	(a − b) : b = (c − d) : d	quand l’énoncé donne la différence

Un exemple de la composition : si deux parts sont entre elles comme 3 : 4, en composant on obtient (3 + 4) : 4 = 7 : 4. Si la somme des deux parts vaut 84, on écrit 84 : x = 7 : 4 et la plus grande part tombe aussitôt, x = (84 · 4) : 7 = 48. C’est le résultat du quatrième exercice, où le total est partagé en 7 parts égales.

Grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles

C’est ici que se concentre la moitié des erreurs, car le schéma de la proportion semble marcher à tous les coups, mais la façon de l’écrire change.

	Proportionnelles	Inversement proportionnelles
Si l’une double	l’autre double	l’autre est divisée par deux
Reste constant	le quotient y : x	le produit x · y
Formule	y = k · x	y = k : x
Exemples	cahiers et dépense, heures de travail et salaire, ingrédients d’une recette	ouvriers et jours, vitesse et temps de parcours, nombre de personnes et durée d’un stock

Avec des grandeurs inversement proportionnelles, la proportion s’écrit en inversant l’un des deux rapports : 6 ouvriers sont à 4 ouvriers comme les jours des 4 sont aux jours des 6.

Les erreurs les plus fréquentes

La première : écrire une proportion directe là où le lien est inverse. Si tu réduis le nombre d’ouvriers et que tu obtiens un temps plus court, le résultat est faux quelle que soit la propreté du calcul. Avant de calculer, demande-toi toujours si le résultat doit être plus grand ou plus petit que la donnée de départ.

La deuxième : mélanger les unités. Dans une proportion entre longueurs, tu ne peux pas avoir des centimètres d’un côté et des mètres de l’autre. Convertis tout avant d’appliquer la propriété fondamentale.

La troisième concerne les aires. Si tu agrandis une figure avec un coefficient 1,6, les longueurs sont multipliées par 1,6 mais les aires par 1,6² = 2,56, et les volumes par 1,6³. Les aires ne sont pas proportionnelles aux côtés, mais à leurs carrés.

La quatrième est purement calculatoire : rater la division finale. Un rapport de nombres est une fraction, donc mieux vaut simplifier avant de multiplier, comme dans les opérations sur les fractions.

Proportions, pourcentages et équations

Un pourcentage est une proportion dont un terme est fixé à 100 : « 15 % de 240 » s’écrit 15 : 100 = x : 240. Si ce schéma te parle davantage, tu peux traiter avec des proportions tous les exercices sur les pourcentages, remises et hausses comprises.

De plus, appliquer la propriété fondamentale transforme toujours une proportion en une égalité de la forme a · x = b : à partir de là tu résous une équation du premier degré, et c’est pourquoi la dernière étape consiste toujours à diviser les deux membres par le coefficient de x.

Comment aborder les exercices

Les huit exercices ci-dessous suivent l’ordre dans lequel la notion s’apprend vraiment : d’abord le calcul du terme manquant et la vérification d’une proportion, puis les problèmes de proportionnalité directe, le partage d’un total et les échelles, ensuite le cas inverse qui piège le plus d’élèves, et enfin la moyenne proportionnelle et l’agrandissement à l’échelle, où le rapport des aires n’est pas celui des côtés. Chaque résultat est vérifié en refaisant le calcul dans l’autre sens.