Matemática

Equações do 1º grau: 8 exercícios resolvidos

Para resolver ax + b = 0 isole a incógnita e divida pelo coeficiente de x. Método em 3 passos, tabela dos casos e 8 exercícios resolvidos passo a passo.

Recomendado para: 8º ano · 9º ano

Uma equação do 1º grau na forma ax + b = 0, com a diferente de zero, resolve-se isolando a incógnita: leve os termos com x para um lado, os números para o outro e divida pelo coeficiente de x. Quando a é diferente de zero, a solução é sempre uma só.

Os dois princípios de equivalência

Todo o método se apoia em duas regras que permitem transformar a equação sem mudar as soluções.

Princípio	O que permite fazer	Consequência prática
Aditivo	Somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros	O atalho de trocar o sinal ao passar um termo para o outro lado
Multiplicativo	Multiplicar ou dividir os dois membros pelo mesmo número diferente de zero	Eliminar denominadores e dividir pelo coeficiente da incógnita no final

A restrição do segundo princípio é essencial: nunca divida por zero nem por uma expressão que possa valer zero. É por isso que ax = b só se resolve dividindo por a quando a é diferente de zero.

O método em três passos

1. Simplificar cada membro. Aplique a distributiva para eliminar parênteses e reduza os termos semelhantes. Se houver frações, multiplique todos os termos pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores: se o cálculo do mmc ainda travar você, vale rever antes as operações com frações.

2. Separar incógnitas e números. Leve os termos com x para o primeiro membro e os números para o segundo, trocando o sinal de cada termo que atravessa a igualdade.

3. Dividir pelo coeficiente. A equação fica na forma ax = b, e a solução é x = b/a.

Os três resultados possíveis

Depois de reduzir, toda equação do 1º grau chega a ax = b. O que acontece a partir daí depende só dos valores de a e de b.

Forma final	Exemplo	Tipo	Conjunto solução
ax = b, com a ≠ 0	3x = 12	Determinada	Uma solução: x = 4
0x = b, com b ≠ 0	0x = 11	Impossível	Vazio
0x = 0	0x = 0	Indeterminada (identidade)	Todos os números reais

Erros mais comuns

Esquecer de trocar o sinal ao passar um termo para o outro membro. Em 5x - 3 = 2x + 9, o -3 vira +3 do outro lado.
Dividir só um termo. Se 3x + 6 = 12, não se pode dividir apenas o 3x por 3: a divisão vale para os dois membros inteiros.
Errar o sinal na frente do parêntese. Em -2(x - 3) o resultado é -2x + 6, não -2x - 6.
Multiplicar só as frações pelo mmc. Em (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 o termo 1 também precisa ser multiplicado por 10.
Confundir x = 0 com equação impossível. Se você chegar a 3x = 0, a solução é x = 0, e ela é perfeitamente válida.
Parar antes de verificar. Substituir o valor encontrado na equação original custa poucos segundos e pega quase todos os erros de sinal.

Quando o grau da incógnita passa de 1 para 2 o método muda por completo: nesse caso o caminho é a fórmula das equações do 2º grau. E muitos problemas de desconto e acréscimo viram equações do 1º grau assim que você traduz o enunciado, como nos exercícios de porcentagem.

Nos exercícios abaixo o método é sempre o mesmo, mas a dificuldade cresce: começamos por equações imediatas, passamos por parênteses, frações e decimais, chegamos à classificação em determinada, impossível e indeterminada e terminamos com um problema do dia a dia que precisa ser traduzido em equação.

Exercícios resolvidos

1. Resolva: 2x + 6 = 0 base

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Passo o termo independente para o segundo membro trocando o sinal: 2x = -6.
Divido os dois membros pelo coeficiente de x: x = -6 : 2.
x = -3.
Verificação: 2 · (-3) + 6 = -6 + 6 = 0. Confere.

Resposta: x = -3

2. Resolva: 5x - 3 = 2x + 9 base

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Levo os termos com x para o primeiro membro e os números para o segundo, trocando o sinal de quem atravessa a igualdade: 5x - 2x = 9 + 3.
Reduzo os termos semelhantes: 3x = 12.
Divido por 3: x = 4.
Verificação: 5 · 4 - 3 = 17 e 2 · 4 + 9 = 17. Os dois membros dão o mesmo valor.

Resposta: x = 4

3. Resolva: 3(x - 2) = 2(x + 4) base

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Aplico a distributiva nos dois membros: 3x - 6 = 2x + 8.
Separo incógnitas e números: 3x - 2x = 8 + 6.
x = 14.
Verificação: 3 · (14 - 2) = 36 e 2 · (14 + 4) = 36. Confere.

Resposta: x = 14

4. Resolva: (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 intermedio

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Calculo o mínimo múltiplo comum dos denominadores 2 e 5: é 10.
Multiplico TODOS os termos por 10, inclusive o 1 do segundo membro: 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10.
Cuidado com o sinal de menos na frente do parêntese: 5x + 5 - 2x + 6 = 10.
Reduzo: 3x + 11 = 10, logo 3x = -1.
x = -1/3.
Verificação: (-1/3 + 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3 e (-1/3 - 3)/5 = (-10/3)/5 = -2/3. Então 1/3 - (-2/3) = 1. Confere.

Resposta: x = -1/3

5. Resolva: 0,4x + 1,2 = 0,1x + 3 intermedio

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Posso trabalhar direto com decimais ou multiplicar tudo por 10 para eliminá-los. Escolho a segunda opção: 4x + 12 = x + 30.
Separo: 4x - x = 30 - 12.
3x = 18, portanto x = 6.
Verificação com os decimais originais: 0,4 · 6 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6 e 0,1 · 6 + 3 = 0,6 + 3 = 3,6. Confere.

Resposta: x = 6

6. Resolva: (2x - 1)/3 - (x + 2)/4 = (x - 5)/6 intermedio

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O mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6 é 12.
Multiplico todos os termos por 12: 4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2(x - 5).
Aplico a distributiva: 8x - 4 - 3x - 6 = 2x - 10.
Reduzo o primeiro membro: 5x - 10 = 2x - 10.
Separo: 5x - 2x = -10 + 10, ou seja 3x = 0.
x = 0. Atenção: x = 0 é uma solução legítima, não é o mesmo que dizer que a equação não tem solução.
Verificação: (2 · 0 - 1)/3 - (0 + 2)/4 = -1/3 - 1/2 = -5/6 e (0 - 5)/6 = -5/6. Confere.

Resposta: x = 0

7. Classifique cada equação em determinada, impossível ou indeterminada, justificando. a) 2(x - 3) = 2x + 5; b) 3(x + 2) = 3x + 6; c) 7x - 4 = 3x + 8. avanzato

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a) Aplico a distributiva: 2x - 6 = 2x + 5. Passo os x para o primeiro membro: 2x - 2x = 5 + 6, ou seja 0x = 11. Nenhum número multiplicado por zero dá 11: equação impossível, conjunto solução vazio.
b) 3x + 6 = 3x + 6. Passando tudo: 0x = 0. Qualquer número serve: equação indeterminada, é uma identidade.
c) 7x - 3x = 8 + 4, logo 4x = 12 e x = 3. Uma única solução: equação determinada.
A regra geral: depois de reduzir, toda equação do 1º grau chega à forma ax = b. Se a for diferente de zero há uma solução; se a = 0 e b for diferente de zero é impossível; se a = 0 e b = 0 é indeterminada.

Resposta: a) impossível (0x = 11); b) indeterminada (0x = 0); c) determinada, x = 3

8. Uma corrida de aplicativo cobra R$ 5,50 de valor fixo mais R$ 2,20 por quilômetro rodado. Ao final, o aplicativo cobrou R$ 38,50. Quantos quilômetros foram percorridos? Monte a equação antes de resolver. avanzato

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Escolho a incógnita: seja k o número de quilômetros percorridos.
Monto a equação com o modelo valor fixo mais valor variável: 5,50 + 2,20k = 38,50.
Isolo o termo com a incógnita: 2,20k = 38,50 - 5,50 = 33,00.
Divido: k = 33,00 : 2,20 = 15.
Verificação: 5,50 + 2,20 · 15 = 5,50 + 33,00 = 38,50. Confere.
Checagem de sentido: o resultado é um número positivo de quilômetros, então é plausível. Se tivesse dado negativo, o erro estaria na montagem da equação.

Resposta: 15 quilômetros

Perguntas frequentes

Como resolver uma equação do 1º grau passo a passo?

São três passos. Primeiro simplifique cada membro: elimine os parênteses com a distributiva e, se houver frações, multiplique todos os termos pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Depois leve os termos com a incógnita para o primeiro membro e os números para o segundo, trocando o sinal de cada termo que atravessa a igualdade. Por fim divida os dois membros pelo coeficiente da incógnita. Sempre substitua o valor encontrado na equação original para conferir.

Quando a equação do primeiro grau não tem solução?

Quando, depois de reduzir, você chega a 0x = b com b diferente de zero, como em 0x = 11. Nenhum número multiplicado por zero dá um resultado diferente de zero, então o conjunto solução é vazio e a equação é chamada de impossível. Se você chegar a 0x = 0 a situação é oposta: qualquer número serve e a equação é indeterminada, ou seja, uma identidade. Cuidado para não confundir esses casos com x = 0, que é uma solução normal.

Por que troca o sinal quando passa um termo para o outro lado?

Porque na verdade não se passa nada: soma-se ou subtrai-se a mesma quantidade nos dois membros. Em x + 5 = 12, subtrair 5 dos dois lados dá x + 5 - 5 = 12 - 5, ou seja x = 7. O atalho de trocar o sinal é só uma forma rápida de escrever essa operação. É o primeiro princípio de equivalência: somar ou subtrair o mesmo número nos dois membros não muda as soluções.

Como resolver equação do 1º grau com fração?

Calcule o mínimo múltiplo comum dos denominadores e multiplique por ele todos os termos da equação, inclusive os que não têm fração. Em (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 o mmc é 10, então a equação vira 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10. O erro mais comum é esquecer de multiplicar o termo do segundo membro ou não trocar os sinais dentro do parêntese precedido de menos.

Qual a diferença entre equação e identidade?

Uma equação é verdadeira apenas para alguns valores da incógnita; uma identidade é verdadeira para todos. Em 2x = 6 só x = 3 funciona, então é uma equação determinada. Já 3(x + 2) = 3x + 6 vale para qualquer x, porque o segundo membro é apenas o primeiro com a distributiva aplicada: é uma identidade, e quando ela aparece num exercício a resposta correta é dizer que a equação é indeterminada.