Proporções: 8 exercícios resolvidos e 4 propriedades

Uma proporção é a igualdade entre duas razões: 3 : 12 = 5 : 20 lê-se “3 está para 12 assim como 5 está para 20” e é verdadeira porque as duas razões valem 0,25. A regra que resolve todos os exercícios é uma só: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Os nomes dos termos

Numa proporção a : b = c : d os quatro números têm um nome preciso, e confundi-los é o erro que estraga todo o resto.

Termo	Posição em a : b = c : d	Nome
a	primeiro	antecedente da primeira razão, extremo
b	segundo	consequente da primeira razão, meio
c	terceiro	antecedente da segunda razão, meio
d	quarto	consequente da segunda razão, extremo

Os extremos são o primeiro e o último, os meios são os do centro. Daí a propriedade fundamental: b · c = a · d. É a mesma ideia da multiplicação cruzada: escrevendo a/b = c/d, multiplica-se em cruz.

Como se acha o termo desconhecido

Não é preciso decorar quatro fórmulas diferentes: o mecanismo é sempre o mesmo, muda apenas o par que você multiplica.

Incógnita	Fórmula	Exemplo
primeiro termo (extremo)	x = (b · c) : d	x : 12 = 5 : 20 → x = (12 · 5) : 20 = 3
segundo termo (meio)	x = (a · d) : c	3 : x = 5 : 20 → x = (3 · 20) : 5 = 12
terceiro termo (meio)	x = (a · d) : b	3 : 12 = x : 20 → x = (3 · 20) : 12 = 5
quarto termo (extremo)	x = (b · c) : a	3 : 12 = 5 : x → x = (12 · 5) : 3 = 20

Na prática: multiplique os dois termos conhecidos do tipo oposto ao da incógnita e divida pelo terceiro termo conhecido.

As quatro propriedades a lembrar

Além da propriedade fundamental existem quatro transformações que mantêm a proporção verdadeira. Servem principalmente nos problemas que dão a soma ou a diferença dos termos.

Propriedade	De a : b = c : d você obtém	Quando usar
inverter	b : a = d : c	para levar a incógnita ao numerador
permutar os meios	a : c = b : d	para comparar grandezas de mesma natureza
compor	(a + b) : b = (c + d) : d	quando o problema dá a soma
decompor	(a − b) : b = (c − d) : d	quando o problema dá a diferença

Um exemplo da propriedade de compor: se duas partes estão entre si como 3 : 4, compondo você obtém (3 + 4) : 4 = 7 : 4. Se a soma das duas partes é 84, escreve 84 : x = 7 : 4 e sai logo a parte maior, x = (84 · 4) : 7 = 48. É o mesmo resultado do quarto exercício, em que o total é dividido em 7 partes iguais.

Grandezas direta e inversamente proporcionais

É aqui que se concentra metade dos erros, porque o esquema da proporção parece funcionar sempre, mas o jeito de escrevê-la muda.

	Diretamente proporcionais	Inversamente proporcionais
Se uma dobra	a outra dobra	a outra cai pela metade
Fica constante	a razão y : x	o produto x · y
Fórmula	y = k · x	y = k : x
Exemplos	cadernos e gasto, horas de trabalho e salário, ingredientes de uma receita	operários e dias, velocidade e tempo de percurso, número de pessoas e duração de um estoque

Com grandezas inversamente proporcionais a proporção precisa ser escrita invertendo uma das duas razões: 6 operários estão para 4 operários assim como os dias dos 4 estão para os dias dos 6.

Os erros mais comuns

O primeiro é escrever uma proporção direta onde a relação é inversa: se você diminui os operários e obtém um tempo menor, o resultado está errado por mais limpa que seja a conta. Antes de calcular, pergunte sempre se o resultado deve ser maior ou menor que o dado de partida.

O segundo é misturar unidades de medida: numa proporção entre comprimentos não dá para ter centímetros de um lado e metros do outro. Converta tudo antes de aplicar a propriedade fundamental.

O terceiro tem a ver com as áreas. Se você amplia uma figura com fator 1,6, os comprimentos são multiplicados por 1,6, mas as áreas por 1,6² = 2,56 e os volumes por 1,6³. As áreas não são proporcionais aos lados, e sim aos quadrados deles.

O quarto é puramente de cálculo: errar a divisão final. Uma razão entre números é uma fração, então vale simplificar antes de multiplicar, como se faz nas operações com frações.

Proporções, porcentagem e equações

Uma porcentagem é uma proporção com um termo fixado em 100: “15% de 240” vira 15 : 100 = x : 240. Se esse esquema for mais confortável para você, dá para resolver com proporções todos os exercícios de porcentagem, descontos e aumentos incluídos.

Além disso, aplicar a propriedade fundamental transforma sempre uma proporção numa igualdade do tipo a · x = b: daí em diante você está resolvendo uma equação do primeiro grau, e é por isso que o último passo é sempre dividir os dois membros pelo coeficiente de x.

Como encarar os exercícios

Os oito exercícios abaixo seguem a ordem em que o assunto é realmente aprendido: primeiro o cálculo do termo desconhecido e a verificação de uma proporção, depois os problemas de proporcionalidade direta, a divisão de um total em partes e as escalas, em seguida o caso inverso que derruba mais gente, e por fim a média proporcional e a ampliação em escala, em que a razão entre as áreas não é a razão entre os lados. Cada resultado foi verificado refazendo a conta no sentido contrário.